湖南省高中数学竞赛

湖南省2002年高中数学竞赛
试题及解答
2002.9.7 9：00-11;00
说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只 设6分及0分两档.其他各题评阅请严格
依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次. < br>2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分 档次,给予相应
的分数.
一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.) 1．定义在实数集R上的函数y=f（-x）的反函数是
y?f
（A）y=f（-x）是奇 函数
（B）y=f（-x）是偶函数
（C）y=f（-x）既是奇函数，也是偶函数
（D）y=f（-x）既不是奇函数，也不是偶函数
2．二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图象如图所示。记
N=|a+b+c|+|2a-b|
M=|a-b+c|+|2a+b|，
则（ ）
（A） M＞N （B）M=N
（C） M＜N （D）M，N的大小关系不能确定

3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ）
（A） 4或5或6或7
（B） 4或6或7或8
（C） 6或7 或8
（D） 4或5 或6
4．ABC中，若（sinA+sinB）（cosA+cosB）=2sinC，则（ ）
（A） △ABC是等腰三角形但不一定是直角三角形
（B） △ABC是直角三角形但不一定是等腰三角形
（C） △ABC既不是等腰三角形也不是直角三角形
（D） △ABC既是等腰三角形也是直角三角形
5．△ABC中，∠C=90
O< br>，若sinA，sinB是一元二次方程
x?px?q?0
的两个根，则下列关系中正确 的是（ ）
2
2
?1
(?x)
，则

< br>6．已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两 点，此椭圆的另一焦点
的轨迹为（）。
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）椭圆的一部分 （D）双曲线的一部分
二、填空题（本题共6个小题，每小题6分，满分36分。）
7．满 足条件{1，2，3}
?
X
?
|1，2，3，4，5，6|的集合X的个数为
————————
。

a
2
?x
2
8．函数
f(x)?
是奇函数的充要条件是
————————————

|x?a|?a

9．在如图所示的六块地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只咱其中一 种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种
甲种蔬菜，则共有种蔬菜的方案数为
———— —
。

10．定义在R上的函数y=f（x），它具有下述性质：
（Ⅰ）对任何x∈r，都有f（x
3
）=f
3
（x），
（Ⅱ）对任何x
1
，x
2
∈R，x
1
≠x
2
，都有f（x
1
）≠f（x
2
）
则f（0）+f（1）+f（-1）的值为
————
。
11．已知复数z满 足
z?z?z?z?3,且arg(z?1)?
?
3
,
则z=
——————



三、解答题（本题共6个小题，满分78分。） 13．（本题满分12分），如图，在棱长为a的正方体ABCD-A
1
B
1C
1
D中，E、
F分别是棱AB与BC的中点。
（Ⅰ）求二面角B- FB
1
-E的大小；
（Ⅱ）求点D到平面B
1
EF的距离；
（Ⅲ）在棱DD
1
上能否找一点M，使BM ⊥平面EFB
1
若能，试确定点M的位
置；若不能，请说明理由。
14．（ 本题满13分），设关于x的一元二次方程2x
2
-tx-2=0的两个根为α、β（α＜β）
（ Ⅰ ）若x
1
、x
2
为区间[α，β]上的两个不同的点，求证 ：4x
1
x
2
-t（x
1
+x
2
）-4＜ 0。‘
（Ⅱ）设
f(x)?
4x?t
,f(x)在区间[
?
,
?
]
上的最大值和最小值分别为
f
max
和f
min
,g(t)?f
max
?f
min
,求g(t)
的最
x
2
?1
小值。
15．（本题满分13分），已知a
1< br>=1，a
2
=3，a
n+2
=（n+3）a
n+1
- （n+2）a
n
，若当m≥n，a
m
的值都能被9整除，求n的
最小 值。
16．（本题满分13分），一台计算机装置的示意图如图，其中J
1
，J2
表示数据入
口，C是计算结果的出口，计算过程是由J
1
、J
2
分别输入自然数m和n，经过计
算后得自然数K由C输出，若此种装置满足以下三个性质：
①J
1
，J
2
分别输入1，则输出结果1；
②若J
1
输入任何固定自然数不变，J
2
输入自然数增大1，则输出结果比原来增大
2；
③若J
2
输入1，J
1
输入自然数增大1，则输出结果为原 来的2倍，试问：
（Ⅰ）若J
1
输入1，J
2
输入自然数n，则输出结果为多少
（Ⅱ）若J
2
输入1，J
1
输入自然数m，则输出结果为多少 （Ⅲ）若J
1
输入自然2002，J
2
输入自然数9，则输出结果为多少
17．（本题满分13分），以A为圆心，以
2cos
?（
?
4?
?
?
?
2
）为半径的圆外有一点B，已知|AB|=2
sin
?
，
设过点B且与圆外切于点T的圆的圆心为M。
（Ⅰ）当
?
取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；

（ Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最小值记为f（
?
）（不要求 证明），求f（
?
）
的取值范围。
（Ⅲ）若将题设条件中的
?的范围改为（
0?
?
?
?
4
），点
B的位置改 为圆A内，
有相同结构的有意义
b、c，其体对角线长为
其它条件不变，点M的轨迹记 为P，试提出一个和（Ⅱ）具
的问题（不要求解答）
18．（本题满分14分），设长方体的长、宽、高分别为a、
l，试证：
(l?a)(l?b)(l?c)?512abc

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