高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数
学中的 许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证
明）在数学竞赛中显得 尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有
固定的模式，证法因题而异，灵活多 变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟
练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常 用方法开始。

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】
本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】
目录 §1 柯西不等式
§2 排序不等式
§3 切比雪夫不等式
★ ★ ★
§1。 柯西不等式
定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即


等式当且仅当
本不等式称为柯西不等式。
时成立。
思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。
证明1


∴右-左=
当且仅当定值时，等式成立。
时，不等式 思路2 注意到时不等式显然成立，当
左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2
当
当
时等式成立；
时，注意到






=1

故
当且仅当
且
（两次放缩等式成立条件要一致）

即 同号且 常数，
亦即
思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。
证明3 构造函数


由于
。
恒非负，故其判别式


即有
等式当且仅当 常数时成立。
若柯西不等式显然成立。
例1 证明均值不等式链：
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。
证 设本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法
(1)先证
注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真
欲证①,即需证
②
①

(11)再证
欲证③,只需证
, ③

而④即要证
④

⑤
(注意
由柯西不等式,知⑤成立.
(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是
)
即各正数彼此相等.
说明：若再利用熟知的关系(★)
（其中，结合代换，
即
当且仅当
式链

时，等式成立，
说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是
§２．排序不等式
定理２设有两组实数，满足
．


则

其中
(例序积和)
（乱序积和）
（须序积和）
是实数组一个排列，等式当且仅当或
时成立。
说明 本不等式称排序不等式，俗称
例序积和乱序积和须序积和。
证法一． 逐步调整法
首先注意到数组也是有限个数的集合，从而
也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小 值（极端性原理）。
设注意下面的两个和

注意

S（★）
由小到大的顺序排列，最小的和就对应
只要适当调整，如★所示就可越调
，

可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组
数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２??，n。
证法＝ 设

由
则显见





的一个k阶子集

等式当且仅当

式
即，


时,成立
这就证明了乱序积和≤顺序积和
注意列


这里

含义同上，于是有

，仿上面证明，得



又证明了例序积和≤乱序积和
综上排序不等式成立.
例2 利用排序不等式证明柯西不等式：

其中
证 不失一般性，设
得




（例序积和≤乱序积和)
相加即得
等式当且仅当
；
为常数时成立。
，则由排序不等式可




①
又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：
证 （i）设n=2，则
（ii）设n=k时，
显然成立

成立，即有
欲证n=k+1时，有



成立，只需证

考虑到归纳假设，只需证

（★）



而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对且
n
≥2时,命题成立,
正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的
证法就不存在循环论 证之嫌，否则此证法是不宜的。
例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。
证 设，易见
构造数列，使
则由★知于是由排序不等式,有
(乱序积和)

，
(例序积和)
即

从而
其中等式当且仅当
说明 这里构造了两个数列
值不等式的简捷、漂亮解法。
§3契比雪夫不等式
设
(i)若
数算术平均数之积：
(i=1,2?，n)
和

时成立
为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均
则顺序积和的算术平均数不小于这两组

（ⅱ）若
两组数算术平均数之积：
；
，则倒序积和的算术平均数不大于这

证明（i）由排序原理有


??

迭加可得

，
，
，

两边除以得


等式当且仅当
类似可证(ⅱ)成立
例4 设

证明 不妨令

由切比雪夫不等式，有


；
，求证

，则

即
从而得证

说明 大家较熟悉的美国竞赛题

1979年青海赛题

1978年上海赛题

都是本例的特殊情况或变形。








本周强化练习：



★★★1．设
求的最小值
★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立

解答或提示
1．不妨令
由切比雪夫不等式



当且仅当
2．设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,


(

)