2005年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题及答案

2005年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
9月17日上午8：30－10：30
一、选择题（本题满分30分，每小题5分）
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、 （C）、（D）四个结论，其中有且只有一个是正确。请将正
确答案的代表字母填在题后的括号内。每小 题选对得5分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内），一律得0分。
1．已知正项非常值数列
{a
n
}
，
{b
n
}< br>满足：
a
n
,b
n
,a
n?1
成等差数列，
b
n
,a
n?1
,b
n?1
成等比数列。令
c
n
?b
n
，则下列关于数列
{c
n
}
的说法正确的是
（A）
{c
n
}
为等差数列 （B）
{c
n
}
为等比数列
（C）
{c
n
}
的每一项为奇数 （D）
{c
n
}
的每一项为偶数
2
解：由题可知，
2b
n
?a
n?1
?a
n
，
a
n?1< br>?b
n
b
n?1
，∴
a
n?1
?b
n
b
n?1

∴
2b
n
?b
n?1
b
n
?b
n
b
n?1
，即
2b
n
?b
n?1
?b
n?1
，∴
{c
n
}
为 等差数列，故选A
2
?0
，则
cosB?sinB
2．在△
ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
所对边的边长，若cosA?sinA?
a?b
的值是
c
（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2
解：由
co sA?sinA?
2
?
?0
得，
2sin(A?)?
cos B?sinB
4
2
2sin(B?)
4
?
?0
< br>即
sin(A?
?
4
)sin(B?
?
4
) ?1
，由正弦函数的有界性及
A,B
为三角形的内角可知，
sin(A?< br>∴
?
4
)?1
且
sin(B?
?
4
)?1
，从而
A?B?
?
4
，∴
C?
?
2

a?b
?sinA?sinB?2

c
3．函数
f(x)?9
x
?9
?x
?2(3
x
?3
?x)
的最小值是
（A）1 （B）2 （C）
?3
（D）
?2

解：
f(x)?9?9
令
t?3?3
x?x
x?x
?2(3
x
?3
?x
)?(3
x?3
?x
)
2
?2(3
x
?3
?x
) ?2

?2
，则
y?t
2
?2t?2?(t?1)
2
?3
，最小值为
?2
，故选D
x
2
y
2
4．双曲线
2
?
2
?1
的左焦点为
F
1
，顶点为
A
1
,A
2
，
P
是该双曲线右支 上任意一点，则分别以线
ab

段
PF
1
,A
1
A
2
为直径的两圆一定
（A）相交 （B）内切 （C）外切 （D）相离
C
为
PF
O
为
F
1
F
2
解：设双曲线的另一个焦点为
F
2
，线段
PF
在△F
1
F
2
P
中，
1
的中点为
C
，
1
的中点，
的中点，从而
OC?
11
|PF
2
|?(|PF
1
|?|A
1
A
2
|)
，从 而以线段
PF
1
,A
1
A
2
为直径的两圆一定内切 。
22
2
5．设
A?{1,2,?,10}
，若“方程
x ?bx?c?0
满足
b,c?A
，且方程至少有一根
a?A
”，就称 该
方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为< br>?1
时，有9个满足题意的“漂亮
方程”，当一根为
?2
时，有3 个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C。
6．设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是
1,2,3,4
的任一排列，
f
是
{1,2,3,4}
到
{1,2,3,4}
的映射，且 满足
f(i)?i
，记数
a
2
a
3
a
4

??
a
1

表
??
。若数表
M,N
的对应位置上至少有一个不同，就说
M,N
是两张
f(a) f(a) f(a) f(a)
1234
??
不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为
（A）144 （B）192 （C）216 （D）576
4
解：对于
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的一个排列，可以9个映射满足
f(i)?i
，而
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
共有
A
4
?24
个排
列，所以满足条件的数表共有
24?9?216
张，故选C。
二、填空题（本题满分30分，每小题5分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．函数
f(x)?sin2x?e
|sinx?cosx|
的最大值与最小 值之差等于
1?e
2|sin(x?)|
4
2
。
2
?
解：
f(x)?sin2x?e
|sinx?cosx|
?sin2x? e
当
x??
，从而当
x?
2
?
4
时取最大 值
1?e

?
4
时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于
1?e

8．设
0?x?2
?
，则满足不等式
sin(x?
?
6)?cosx
的
x
的取值范围是
?
3
?x?
4
?
。
3
解：由
sin(x?
?
6
)?c osx
，可得
sin(x?
?
3
)?0
，解得
?< br>3
?x?
4
?

3
9．如图，一个立方体，它的每个 角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图
形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 120 条。
解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共
2
C
24
?12?23?276
，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条
原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连
5?8
?20
条，6个面2
共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。

10．设
S?x
2
?y
2
?2(x?y)
，其中
x,y
满足
log
2
x?log
2
y?1
，则S
的最小值为
4?42
。
解：由
log
2
x ?log
2
y?1
，得
xy?2

又
S?x
2
?y
2
?2(x?y)?(x?y)
2
?2(x?y)?2xy ?(x?y)
2
?2(x?y)?4

?[(x?y)?1]
2?5?[2xy?1]
2
?5?(22?1)
2
?5?4?42

11．设△
ABC
内接于半径为
R
的⊙
O
，且AB?AC
，
AD
为底边BC
上的高，则
AD?BC
的 最大值为
R?5R
。
解：如图，设
?OBD?
?
，则AD?R?Rsin
?

A
1
BC?BD?Rcos
?
，
BD?2Rcos
?

2
AD?BC
＝
R?Rsin
?
?2Rcos
?
?R?5Rsin(
?
?< br>?
)

其中
tan
?
?2

所以
AD?BC
的最大值为
R?5R

B
O
j
D
C
12．设
r,s,t
为整数，集合
{a|a?2< br>r
?2
s
?2
t
,0?t?s?r}
中的数由小到大 组成数列
{a
n
}
：
7,11,13,14,?
，则
a
36
?
131 。
2
解：∵
r,s,t
为整数且
0?t?s?r
，∴
r
最小取2，此时符合条件的数有C
2
?1

2
r?3
，
s,t
可在< br>0,1,2
中取，符合条件有的数有
C
3
?3

2< br>同理，
r?4
时，符合条件有的数有
C
4
?6

2
r?5
时，符合条件有的数有
C
5
?10

2
r?6
时，符合条件有的数有
C
6
?15

2
r?7
时，符合条件有的数有
C
7
?21
因此，
a
36
是
r?7
中的最小值，即
a
36
?2
0
?2
1
?2
7
?131

三、解答题（本题满分80分，每小题20分）
13．如图，
BD, CE
是△
ABC
的两条高，
F
和
G
分
别是
DE
和
BC
的中点，
O
是△
ABC
的外心 。求证：
AO
∥
FG
。
证明：如图，连结
GD
和
GE

∵
?BDC??BEC?90?
，
BG?BC

D
F
H
A
B
G
C
E
1
BC?EG
，
2
又∵
DF?EF

∴
DF?DE

延长
OA
交
DE
于
H
，连结
OB

∵
?BDC??BEC?90?

∴
DG?
∴
B,C,E,D
四点共圆。
O
?DEB??DCB?
又∵
OA?OB

11
?AOB
，即
?AEH??AOB

22
1
?AOB

2
∴
?EAH??BAO?90??
?EAH??AEH?90?

于是，
AD?DE
，即
OA?DE

∴
AO
∥
FG
。
14．正方形
ABCD
的两顶点
A,B
在抛物线
y?x
2
上，
C,D
两点 在直线
y?x?4
上，求正方形的边
长
d
。
2
解 ：设
A,B
两点坐标分别为
A(t
1
,t
1
2)
、
B(t
2
,t
2
)
，显然
t1
?t
2

2
t
2
?t
1
2
∵
AB
∥
DC
，∴
1?
，即
t
1
?t
2
?1

t
2
?t
1
222
一方面，
d
2
?|AB|
2
?(t
1
?t
2
)
2
?(t
1
?t
2
)?(t
1
?t
2
)
2
[1?(t
1
?t
2
)
2
]


?2[(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
]

∴< br>t
1
t
2
?
1
(2?d
2
)
①
8
另一方面，
d?|AD|?
4
|t1
?t
1
2
?4|
2
2
?
|t
1
t
2
?4|
2
，∴
2d?(t
1
t< br>2
?4)
②
22
22
将①代入②，得d?68d?900?0
，即
(d?18)(d?50)?0

故
d?32
或
d?52

15． 设实数
a,b
满足条件
a?x
1
?x
2
?x
3
?x
1
x
2
x
3
，
ab?x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x1
，其中
x
1
,x
2
,x
3
?0，
a
2
?6b?1
求
P?
的是最大值。
2< br>a?a
解：
a?x
1
x
2
x
3
?x
1
?x
2
?x
3
?3
3
x
1x
2
x
3
?3
3
a
，∴
a?33
22
a
2
?(x
1
?x
2
?x3
)
2
?x
1
2
?x
2
?x
3
?2(x
1
x
2
?x
2
x
3
? x
3
x
1
)?3(x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x
1
)?3ab

从而，
a?3b

a
2
?6b?1a
2
?2a?1a?1113

P ????1??1??1?
22
aa9
a?aa?a
33
当且仅当< br>x
1
?x
2
?x
3
，
a?33
，< br>a?3b
时等号成立。
a
2
?6b?1
3
即
x
1
?x
2
?x
3
?3
，
a?33，
b?3
时，
P?
有最大值
1?
2
9
a?a
16．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试结果是：①没有0分；②没有两个同学 的语文、
数学成绩相同。
我们说“同学A比B的成绩好”，是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”。
证明：存在三个同学A、B、C，使得同学A比同学B的成绩好，同学B比C的成绩好。
证明 ：若同学A比B的成绩好，记为
A?B
。原问题等价于证明：存在三个同学A、B、C满足A?B?C

用
(a
i
,b
i
)
表示 第
i
个同学的语文、数学成绩（
i?1,2,?,20
）。
于是< br>(a
i
,b
i
)?(a
j
,b
j
) ?a
i
?a
j
,b
i
?b
j
且等号不能同 时成绩。
因为语文成绩
a
i
（
i?1,2,?,20
）在 1到10的整数值中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原
理知，下列情形之一必然出现： 情形1：某个分数值，至少有3人取得。即存在某个
m?{1,2,?,10}
，使得a
i
?a
j
?a
k
?m
（其中
i,j ,k
两两不等）。
情形2：每个分数值，恰好均有2人取得，即对任意的
f?{1, 2,?,10}
，存在不同的
i,j
，使得
a
i
?a
j
?f
。
同理，对于数学成绩
b
i
同样有两种情形：
情况
1
?
：存在某个
n?{1,2,?,10}
，使得b
i
?
?b
j
?
?b
k
?
? n
（其中
i
?
,j
?
,k
?
两两不等）。
情形
2
?
：对任意的
g?{1,2,?,10}
，存在不同 的
i
?
,j
?
，使得
b
i
?
?b
j
?
?g
。
下面进行讨论：

对情况形1 ：若
a
i
?a
j
?a
k
?m
，则由条件知
b
i
,b
j
,b
k
两两不等。不失一般性，不妨设
b
i
?b
j
?b
k
，
则
(ai
,b
i
)?(a
j
,b
j
)?(a
k
,b
k
)
，即存在三个同学存在三个同学A、B、C满足
A?B? C

对情况
1
?
：同理可证。
对情形2：有两个
a
i
?1
，不失一般性设
a
i
?a
j
?1
，于是得
(1,b
i
),(1,b
j
)
，且
b
i
?b
j
，不失一般性，
设
b
i
?b
j
，则
(1,b
i
)?(1,b
j
)
< br>这时，对于
b
i
，若出现情形
1
?
，则结论成立；若 出现情形
2
?
，则必有2人得10分，不妨设为
a
k
,a< br>l
，
易知
a
k
,a
l
中至少有一个不取1（ 否则与条件②矛盾），设为
a
k
，则
1?a
k
。
所以，故结论成立。
对于情形
2
?
，同理可证。
综上所述，结论成立。