高中数学竞赛讲义第三讲三角函数答案 - 试题

第三讲 三角函数
一、三角函数竞赛的基本知识
常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，
两角和与差的三角函数 ，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，
有些还是不能不写。先从最基础的开始（ 这些必须熟练掌握）：
半角公式
sin
?
2
??
1?c os
?
?
1?cos
?

cos??

222
1?cos
?
1?cos
?< br>sin
?

??
1?cos
?
sin
?1?cos
?
tan
?
2
??
积化和差
si n
?
cos
?
?
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
??

cos
?
sin
?
?
1
?< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?< br>?
?
?
?

22
11
cos
?cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?

22
和差化积
sin
?
?sin
?
?2sin< br>?
?
?
2222
?
?
??
?
??
?
??
?
?
cos
?
?cos
?< br>?2coscossin

cos
?
?cos
?
??2sin

2222
cos
?
?
?

sin
?
?sin
?
?2cos
?
?
?
sin
?< br>?
?

万能公式
2tan
?
2tan
?< br>1?tan
2
?
sin2
?
?tan2
?
?
cos2
?
?

22
2
1?ta n
?
1?tan
?
1?tan
?
三倍角公式
si n3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin6 0
?
?
?
sin
?
sin60
?
?
?

cos3
?
?4cos
3
?
?3cos?
?4cos60
?
?
?
cos
?
cos60
?
?
?

二、某些特殊角的三角函数值
除了课本中的以外，还有一些
sin
????
????
cos tan
15
?

6?2

4
1
6?2

4
2?3

75
?

18
?

72
?


6?2

4
5?1

4
6?2

4

2?3



5?1

4

三、三角函数求值
给出一个复杂的式子，要 求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和 差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看
到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般 情况下直接使用不了的时候，
可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函 数除下去
举个例子
例1求值：
cos



延伸 求值：
cos10??cos50??sin40?sin80?

延伸：求值
cosA?cos(A?
22
2
?
4
?
6
?
2
?
?cos?cos
提示：乘以
2sin
，化简后再除下去。
7777
22
24
?
)?cos
2
(A?
?
)

33



四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是：x为锐角，则
s inx?x?tanx
；还有就是正余弦的有界性。
例2求证：x为锐角，sinx+tanx〉2x





例3设
x?y?z?



2
?12
，且
x?y?z?
?
2
，求乘积
cosxsiny cosz
的最大值和最小值。

例4若
(cos
?
)
2
?2msin
?
?2m?2?0
对
?
?R
恒成立，求实数m的取值范围。

延伸：已知
?
?(0,2
?
)
，而sinθ, cosθ是方程
x?kx?k?1?0
的两实根，求k和θ
的值。


例5已知
x
2
?9y
2
?4x?6y?4?0< br>，求下列各式的最值：
（1）S=4x-9y+3; (2)S=6xy+x-9y-2。



延伸：已知
A?{(x ,y):9x
2
?36y
2
?144},B?{k:k
2
? 5?ak?2b,(a,b)?A}
集合，
求集合B



2
（0，）
例6设
?
，
?
，
?
?
且满足
（sin
?
)
2
?（sin
?
)
2
?（sin
?
)
2
?1
，求证：
2
?
?



3
?
?
?
?
?
?
?
?

24
例7设
?
?
?
0,
?
?
22
?
?
?
?
不等式恒
,
sin2
?
?(22?a2)sin
?
??2a?3<
??
?
?
24
??
??
??
cos
?
?
?
?4
??
成立，求实数a的取值范围


延伸：求实数a的取值 范围，使得对任意实数x和任意
?
?[0，]
，都有
?
2
1
（x+3+2sin
?
cos
?
)
2
?(x?as in
?
?2cos
?
)
2
?

8

3

例8在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，且sinA sinB=cosB,S
?
ABC=
43
,
求三边a,b,c



例9在?ABC中，a,b,c分别表示三内角A、B、C的对边，且 a,b,3c成等比数列，又A-C=
试求三个内角的值


x?sinx ?2a?0
?
??
?
例10（1）已知x,y
?
?
?,
?
,a?R
且
{
3
1
求cos(x+2y)的 值；
4y?sin2y?a?0
?
44
?
2
3
2
?
，
2
(2)方程
x
2
?asin(cos2x) ?a
2
?0
仅有一解，求实数a的值.



4
例11求函数f(x)=?sinx?+sin2x+?cosx?的最大值和最小值.




例12求
cos




例13已知
?
,
?
为锐角，且
cos
?
?cos
?
?cos(
?
?
?
)?
2?
4
?
?cos
的值
55
3
求
?
,
?
的值。
2




例14已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+c osz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz的值
4