全国高中数学联合竞赛试试题及答案

全国高中数学联合竞赛一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
5 ?4x?x
2
1．函数
f(x)?
在
(??,2)
上的最小 值是 （ C ）
2?x
A．0 B．1 C．2 D．3
1?(4?4x?x
2
)1
1
[解] 当
x?2< br>时，
2?x?0
，因此
f(x)?
?(2?x)

??(2?x)
?2?
2?x
2?x2?x

?2
，当且仅当
1
?2?x
时上式取等号．而此方程有解
x?1?(??,2)< br>，因此
f(x)
在
(??,2)
上的最小值为2．
2?x2．设
A?[?2,4)
，
B?{xx
2
?ax?4?0}，若
B?A
，则实数
a
的取值范围为 （ D ）
A．
[?1,2)
B．
[?1,2]
C．
[0,3]
D．
[0,3)

[解] 因
x?ax?4?0
有两个实根
2
aa
2
x
1
??4?
24
2
aa
，
x
2
??4?< br>，
24
2
2
aa
aa
故
B?A
等 价于
x
1
??2
且
x
2
?4
，即
?4???2
且
?4??4
，解之得
0?a?3
．
24< br>24
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方 多2分或打满6局时停止．设
甲在每局中获胜的概率为
2
1
，乙在每局中获胜 的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数
?
的期
3
3
望
E
?
为 ... （ B ）
241670
266274
. B. . C. . . D.
81243
8181
[解法一] 依题意知，
?
的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
215
()
2
?()
2
?
．
339
A.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该 轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影
响．从而有
4520416
5
，.. ..
P(
?
?6)?()
2
?
，
P(
?
?2)?
，....
P(
?
?4)?()()?
99819 81
9
52016266
故
E
?
?2??4?
．
?6??
9818181
[解法二] 依题意知，
?
的所有可能值为2，4，6.
令
A
k
表示甲 在第
k
局比赛中获胜，则
A
k
表示乙在第
k
局比赛 中获胜．
由独立性与互不相容性得
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm
2
，则这三个正方体的体积之和为
（ A ）
A. 764 cm
3
或586 cm
3
B. 764 cm
3
.
C. 586 cm
3
或564 cm
3
D. 586 cm
3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为
a,b,c
，则有
22222
5
， < br>9
P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4< br>)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)
211220
，
?2[()
3
()?()
3
()]?
333381
P(
?
?6)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A< br>4
)

2
．
?4()
2
()
2
?
， 故
E
?
?2??4??6??
33819818181
P(
?
?2)?P (A
1
A
2
)?P(A
1
A
2
)?
6
?
a
2
?b
2
?c
2
?
?5 64
，
a
2
?b
2
?c
2
?94
，不妨设
1?a?b?c?10
，从而
3c?a?b?c?94
，
c ?31
．故
6?c?10
．
c
只能取9，8，7，6．
2 22
若
c?9
，则
a?b?94?9?13
，易知
a?2< br>，
b?3
，得一组解
(a,b,c)?(2,3,9)
．
若
c?8
，则
a?b?94?64?30
，
b?5
．但
2b
22
2
?30
，
b?4
，从而
b?4
或5．若
b?5
，则
a
2
?5
无

解，若
b?4
，则
a
2
2
?14
无解．此时无解．
2
若
c?7
，则
a
2
?b
2
?9 4?49?45
，有唯一解
a?3
，
b?6
．
若
c?6
，则
a?b?94?36?58
，此时
2b
此时
a< br>2
故
b?6
，但
b?c?6
，故
b?6
，< br>?a
2
?b
2
?58
，
b
2
?29
．
?58?36?22
无解．
?
a?2,
?
a? 3,
??
综上，共有两组解
?
b?3,
或
?
b?6 ,

?
c?9
?
c?7.
??
体积为
V
1
2
?2
3
?3
3
?9
3
? 764
cm
3
或
V
2
?3
3
?6
3
?7
3
?586
cm
3
．
?
x?y? z?0,
5．方程组
?
的有理数解
(x,y,z)
的个数为 （ B ）
?
xyz?z?0,
?
xy?yz?xz?y?0
?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若
z?0
，则
?
?
x?y?0，?
x?0，
?
x??1，
解得
?
或
?

?
xy?y?0.
?
y?0
?
y?1.
若
z?0
，则由
xyz?z?0
得
xy??1
． ①
由
x?y?z?0
得
z??x?y
． ②
将②代入
xy?yz?xz?y?0
得
x
2
?y
2
?xy?y?0
． ③
1
由①得
x??，代入③化简得
(y?1)(y
3
?y?1)?0
.
y
易知
y
3
?y?1?0
无有理数根，故
y?1
，由①得< br>x??1
，由②得
z?0
，与
z?0
矛盾，故该方程组共有两 组
?
x?0,
?
x??1,
?
有理数解
?
?
y?0,
或
?
y?1,

?
z?0
?< br>z?0.
??
6．设
?ABC
的内角
A,B,C
所对 的边
a,b,c
成等比数列，则

sinAcotC?cosA
的取值范围是（ C ）
sinBcotC?cosB
5?1
)

2
5?15?15?1
C.
(,)
D.
(,??)

222
[解] 设
a,b,c
的公比为
q
，则
b?aq,c?aq
2
，而
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC

?
si nBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC
sin(A?C)sin(
?< br>?B)sinBb
?????q
．
sin(B?C)sin(
?
?A)sinAa
A.
(0,??)
B.
(0,
因此，只需求
q
的取值范围．
因
a,b,c
成等比数列，最大边只能是
a
或
c
，因此
a,b,c
要构 成三角形的三边，必需且只需
a?b?c
且
b?c?a
．即有不等式组 ?
1?
?
?
?
a?aq?aq,
?
?
q?q?1?0,
?
2
即
?
解得
?
?
22
?
?
aq?aq?a
?
?
q?q?1?0.
?q?
?
?
5?15?1
?q?
从而，因此所求的取值范围是(
22
22
5
?q?
5?1
,
2
5? 15?1
或q??.
22
5?15?1
,)
．
22

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

其中< br>a,b
为实数，
f
1
(x)?f(x)
，
f
n?1
(x)?f(f
n
(x))
，
f(x)?ax?b
，
n?1,2,3,
则
a?b?
. 5 .
[解] 由 题意知
f
n
(x)?a
n
x?(a
n?1
?an?2
??a?1)b

7．设
n
，若
f
7< br>(x)?128x381?
，
a
n
?1
?ax??b
，
a?1
a
7
?1
7
由
f
7
( x)?128x?381
得
a?128
，
?b?381
，因此
a?2
，
b?3
，
a?b?5
．
a?1
18．设
f(x)?cos2x?2a(1?cosx)
的最小值为
?
，则
a?
?2?3
．
2
2
[解]
f(x)?2cosx?1?2a?2acosx

a1
?2(cosx?)
2
?a
2
?2a?1
，
22
(1)
a?2
时，
f(x)
当
cosx?1
时取最小值
1?4a
；
(2)
a??2
时，
f(x)
当
cosx??1
时取最小值1；
a
1
(3)
?2?a?2
时，
f(x)
当
cosx?
时取最小值
?a
2
?2a?1
．
2
2
1
又
a?2
或
a??2
时，
f(x)
的 最小值不能为
?
，
2
11
故
?a
2
?2 a?1??
，解得
a??2?3
，
a??2?3
(舍去)．
22
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法 共有. 222..种．
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用
?
表示名额．如
|????|??|??|

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“
?
”与每个“
|
”都视为一个位置，由于左右两端必须是 “｜”，故不同的分配方法相当于
24?2?26
个
位置（两端不在内）被2个“｜” 占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
?
”之间 的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有
C
2
种．
23
?2 53
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二].设分配给3个学校 的名额数分别为
x
1
,x
2
,x
3
，则每校至少有 一个名额的分法数为不定方程
x
1
?x
2
?x
3
?24
．
的 正整数解的个数，即方程
x
1
?x
2
?x
3
?21
的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
212
．
H
3
?C
21
23
?C
23
?253又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
10．设数列
{an
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
[解]
a
n?1
?S
n?1
?S
n
?
?a
n
?
n?1
，
n?1,2,
n(n?1)< br>，则通项
a
n
=
11
．
?
2
n< br>n(n?1)
nn?1
?a
n?1
??a
n
，
(n?1)(n?2)n(n?1)
n?2?211
即 2
a
n?1
????a
n

(n?1)(n?2)n?1n(n?1)
?21
=，
?a
n
?
(n?1)(n?2)n(n?1)
11
由此得 2
(a
n?1
?
．
)?a
n
?
(n?1 )(n?2)n(n?1)
11
1
令
b
n
?a
n< br>?
，
b
1
?a
1
??
(
a
1
?0
)，
22
n(n?1)
有
b
n?1
?
1
1
11
，故，所以．
b?
a ??
b
n
n
n
n
n
2
n(n?1)
2
2
答12图1

11．设
f(x)
是定义在R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满足
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，
f(x?6)?f(x)?63?2< br>x
，则
f(2008)
=
2
2008
?2007．
[解法一] 由题设条件知
f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x? 2))?(f(x?6)?f(x?4))?(f(x?6)?f(x))

??3?2
x?2
?3?2
x?4
?63?2
x
?3?2
x
，
因此有
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，故
f(2008 )?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)??f(2)?f(0)?f(0)< br>
?3?(2
2006
?2
2004
??2
2
?1)?f(0)

4
1003?1
?1
?3??f(0)

4?1
2008
?2?2007
．
[解法二] 令
g(x)?f(x)?2
x
，则
g(x?2)?g(x)?f(x?2 )?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0
，
g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f(x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0
，
即
g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)
，
故
g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)
，
得
g(x)
是周期为2的周期函数，
所以
f(2008)?g(2 008)?2
2008
?g(0)?2
2008
?2
2008
?2007
．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
46
的正四面 体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触
到的容器内壁的面积是
723
．
[解] 如答12图1，考虑小球 挤在一个角时的情况，记小球半径为
r
，作平面
A
1
B
1< br>C
1
平面
ABC
，与小球相切于点
D
，
则小 球球心
O
为正四面体
P?A
1
B
1
C
1< br>的中心，
PO?面A
1
B
1
C
1
，垂足D
为
A
1
B
1
C
1
的中心．
因
V
P?ABC
?
111
1
S
?A
1< br>B
1
C
1
?PD

3
?4?V
O?A
1
B
1
C
1

1
?4??S
?A
1
B
1
C
1
? OD
，
3
故
PD?4OD?4r
，从而
PO?PD?OD ?4r?r?3r
．
记此时小球与面
PAB
的切点为
P
1
，连接
OP
，则
1
2222
．
PP
1
?PO?OP
1
?(3r)?r?22r
考虑小球与正四面体的一个面(不妨 取为
PAB
)相切时的情况，易知小球在面
PAB
上最靠近边的切点的轨迹仍 为
正三角形，记为
P
，如答12图2．记正四面体
1
EF
的棱长为
a
，过
P
1
作
PM?PA
于
M< br>．
1
因
?MPP
1
?
?
P?
1
EP?2Ar
小球与面
PAB
不能接触到的部分的面积为（如答12图2 中阴
6
P?M2?
．
6a

，有
PM?PP
1
?cosMPP
1
?22r?
3
?6r
，故小三角形的 边长
2
影部分）
S
?PAB
?S
?P
1
EF
3
2
2
?(a?(a?26r)
2
)
?32a r?63r
．.........
4
答12图2

又
r?1
，
a?46
，所以
S
?PAB
?S
?PEF
?243?63?183
． 1
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
723．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为
?
，求证：
cos
?
1?
?
2
......．
?
sin
?
?sin3
?
4
?
[证]
f(x)
的图象与直线
y?kx

(k?0)
的三
3
?
内相切，其个交点如答13图所示，且在
(
?
,)
2< br>3
?
． 切点为
A(
?
,?sin
?
)，
?
?(
?
,)
2
…5分
3
f
?
(x)??cosx
，
x?(
?
,
?
)
，所以
2
sin
?
，即
?
? tan
?
． …10分
?cos
?
??
?
由于
因此
答13图
cos
?
cos
?

?
sin
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?
1
…15分
?
4sin
?
cos
?
cos
2
?
?sin
2
?

?
4sin
?
cos
?
1?tan
2
?< br>
?
4tan
?
1?
?
2
．....... ............. …20分
?
4
?
14．解不等式 log
2
(x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6
?1)?1?log
2
(x
4
?1)
．
[解法一] 由
1?log
2
(x
4
?1)?log
2
(2x
4
?2)
，且
log
2
y
在< br>(0,??)
上为增函数，故原不等式等价于
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6
?1?2x
4
?2
．..............
1210864
即......
x?3x?5x?3x?2x?1?0
．..............…5分
12108
分组分解...
x?x?x

?2x
10
?2x
8
?2x
6

?4x
8
?4x
6
?4x
4

?x
6
?x
4
?x
2

?x
4
?x
2
?1?0
，
(x
8
?2x
6
?4x
4
?x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)?0
，.......... ..…10分
所以...
x
4
?x
2
?1?0
，
(x
2
?
?1?5
2
?1?5
)(x?)?0
． …15分
22
?1?5
?1?5?1?5
，即
x??
或< br>x?
．
2
22
所以
x
2
?
5?1 5?1
)(,??)
． . …20分
22
[解法二] 由
1?log
2
(x
4
?1)? log
2
(2x
4
?2)
，且
log
2
y
在
(0,??)
上为增函数，故原不等式等价于
故原不等式解集为
(??,?
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x6
?1?2x
4
?2
．..............…5分

即
21
?
6
?x
6
?3x
4
?3x
2
?1?2x
2
?2?(x
2
?1)< br>3
?2(x
2
?1)
，
2
xx
11
(
2
)
3
?2(
2
)?(x
2
?1)< br>3
?2(x
2
?1)
， . …10分
xx
令
g(t)?t
3
?2t
，则不等式为
1
g(
2
)?g(x
2
?1)
，
x
3
显然
g(t)?t?2t
在
R
上为增函数，由 此上面不等式等价于
1
?x
2
?1
， …15分
2
x
5?1
5?1
2
即
(x
2
)
2
?x
2
?1?0
，解得
x
2
?
.(
x??
舍去)，
2
2
5?15?1
)(,??)
． . …20分
22
15．如题15图，
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点，点
B,C
在
y
轴上，圆
(x?1)2
?y
2
?1
内切于
?PBC
，求
?PBC< br>面
故原不等式解集为
(??,?
积的最小值．
[解] 设
P (x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
，不妨设
b ?c
．
y
0
?b
x
，
x
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．
又圆心
(1,0)
到
PB
的距离为1，
y
0
?b?x
0
b
?1
， …5分
22
(y
0
?b)?x
0
直线
PB
的方程:
y?b?
222
故
(y
0
?b)
2?x
0
?(y
0
?b)
2
?2x
0
b (y
0
?b)?x
0
b
，
易知
x
0?2
，上式化简得
(x
0
?2)b
2
?2y
0
b?x
0
?0
，
同理有
(x
0
?2) c
2
?2y
0
c?x
0
?0
． ............. …10分
所以
b?c?
?x0
?2y
0
，
bc?
，则
x
0
?2
x
0
?2
2
22
4x
0
?4y
0
?8x
0
．
(b?c)?
(x
0
?2)
2
2
因
P(x
0
,y
0
)
是抛物线上的点 ，有
y
0
?2x
0
，则
2
2x
0
4x
0
，
b?c?
． ...... …15分
(b?c)?
x
0
?2
(x
0< br>?2)
2
x
0
14
所以
S
?PBC
?(b?c)?x
0
??x
0
?(x
0
?2)??4

2x
0
?2x
0
?2
2
题15图
?24?4?8
．
当
(x
0
?2)
2
? 4
时，上式取等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．
因此
S
?PBC
的最小值为8． …20分