2001年全国高中数学联赛试卷及答案

二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10月4日上午8：00—9：40）
题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三
13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D） 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请
将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分 ；不选、选错或选的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内），一律得0分。
1、已知a为 给定的实数，那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子 集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0，
?
2
）上单调递增的偶函数是
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=8
3
（B）0k?83

5．若（1＋ｘ＋ｘ
2
）
1000
的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ
2000
，
则ａ
０＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的值为（ ）．
（A）3
333
（B）3
666
（C）3
999
（D）3
2001
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康 乃馨的价格之和小于22元，则2
枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高
（C）价格相同 （D）不确定
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
8、若复 数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
3
2
-I,则z
1
z
2
= 。
9、正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是 。
1
log
1
2
10、不等式
x
?2?
3
2
的解集为 。
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11、函数
y?x?x
2
?3x?2
的值域为 。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种
栽种方案。
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、设{a
n
}为等差数列，{b
n
}为等比数列，且
b
1
?a1
，
b
2
?a
2
，
b
3
?a
3
（a
1
2
）,又
lim(b
1< br>?b
2
???b
n
)?2?1
，试求{a
n
}的首项与公差。
22
F
E
A
B
C
D
2
n???




14、设曲线C
1< br>:
x
a
2
2
?y
2
?1
(a为正常 数)与C
2
:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
2
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
（2） O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于 点A，当01
2
时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。



15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中
应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？ 证明你的结论。







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二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
（10月4日上午10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、（本题满分50分）
如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD 、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求
证：（1）OB⊥DF，O C⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）
n
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
?
x
i
?2
i?1
2
?
1?k?j?n
k
j
n
x
k
x
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与最小值。
i?1
三、（本题满分50分）
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正 整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，
试求这些正方形边长之和的最小值。

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2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一．选择题：CBDDCA
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
２２２
讲解：M表示方程ｘ －3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所以Ｍ含有2个
２
元素．故 集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所 以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体
（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也 不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题
1正确，选Ｂ．
3．在四个函数ｙ＝ｓ ｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，
以π为周期、在（0， π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
讲解：可考虑用排除法．ｙ ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜
ｘ｜的最小正周期为2π，且 在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减
函数，排除Ｃ．故应 选Ｄ．
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）．
Ａ．
k?83
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或
k?83

讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解 三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，
应选结论Ｄ．
说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．
5．若（1＋ｘ＋ｘ< br>2
）
1000
的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ
2000
，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋… ＋ａ
1998
的值为（ ）．
Ａ．3
333
? Ｂ．3
666
? Ｃ．3
999
? Ｄ．3
2001
?
讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0．
３２
２２
令ｘ＝1，得
3
1000
＝ａ
０
＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋…＋ａ
2000
；
令ｘ＝ω，得
２
0＝ａ
０
＋ａ
1
ω＋ ａ
2
ω
＋…＋ａ
2000
ω
2000
；
２
令ｘ＝ω，得
２４６
0＝ａ
０
＋ａ
１ω＋ａ
２
ω＋ａ
３
ω＋…＋ａ
2000
ω
40 00
．
三个式子相加得
3
1000
＝3（ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋…＋ａ
1998
）．
ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋…＋ａ
1998
＝3
999
，选Ｃ．
第 4 页 共 13 页

6．已知6 枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则
2枝玫瑰 的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得，

?
6X?3Y?24
4X?5Y?22

?问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：
?解法1：为了整 体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝
（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝ （3ｂ－2ａ）／9．
?∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．
?∵ａ＞24，ｂ＜22，
?∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．
?∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ．

图1
?解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组 成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－
3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝ 2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值
为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞ 3у，选Ａ．
?说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
２
?已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（ ）．
?Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15
?Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3
?（2）如果由条件①、② 先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解
法1运用了整体的思想，解 法2则直观可靠，详见文［1］．

二．填空题
23
3
30
13
72
13
7． 8．
2
??i
9．
6
6

10．
(0,1)?(1,2
7
)?(4,??)
11．
[1,
3
2
)?[2,??)
12． 732
第 5 页 共 13 页

7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
?讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ
（焦 点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．
解法1：由
?
?
(0)?a?c?1
?
(
?
)?a?c?13
得
ａ＝2／3，从而ｂ＝
3
3
，故2ｂ＝
23
3

?解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ
2
／ｃ＝1及ｂ
2
＝ａ
2
－ｃ
2
，得
3
3
23
3
ｂ＝．从而2ｂ＝．
?说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
?8．若复数ｚ
１
、ｚ< br>２
满足｜ｚ
１
｜＝2，｜ｚ
３
｜＝3，3ｚ
１
－2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ，则ｚ
１
·ｚ
２
＝_____ _________．
?讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形 式似乎更符
合学生的思维特点，而且也不繁．
?令ｚ
１
＝2（ｃｏｓα＋ ｉｓｉｎα），ｚ
２
＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ
１
－
2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ及复数相等的充要条件，得
?
即
6(c os
?
?cos
?
)?32
6(sin
?
?sin
?
??1

?
?12sin((
?
?
?< br>)2)sin((
?
?
?
)2)?32

12cos ((
?
?
?
)2)sin((
?
?
?
)2 )??1
二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2．由万能公式，得
?ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．
故ｚ
１
·ｚ
２
＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］
? ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．
?说明：本题也可以利用复数的几何意义解．
?9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ
１
Ｂ１
Ｃ1
１
的棱长为1，则直线Ａ
１
Ｃ
１
与ＢＤ
１
的距离是
______________．
?讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．
第 6 页 共 13 页

图2
?为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ
１
Ｃ
１
和ＢＤ
１
都垂直，不妨先将其中一条直线置于
另一 条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
，则Ａ
１< br>Ｃ
１
⊥面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
，且
ＢＤ
１
面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
．设Ａ
１
Ｃ
１
∩ Ｂ
１
Ｄ
１
＝0，在面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
内作Ｏ Ｈ⊥ＢＤ
１
，垂足为Ｈ，
则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ
１
Ｃ
１
与ＢＤ
１
的距离．在Ｒｔ△ＢＢ
１
Ｄ
１
中，ＯＨ 等于斜边ＢＤ
１
上高的一半，即ＯＨ＝／6．
?10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2
ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
?讲解：从外形 上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ
1／2
ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏ
ｇ< br>1／2
ｘ＜0，或ｌｏｇ
1／2
ｘ＞0．
从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜2
2／7
，或0＜ｘ＜1．
?11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．
?讲解：先平方去掉根号． 由题设得（ｙ－ｘ）
２
＝ｘ
２
－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ
２
－2）／（2ｙ－3）．
由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ
２
－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．
由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
?说明：（1）参 考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验
证，确无必要．
?（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

图3
?12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两
块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
?讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、
Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
?（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法． 当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种
植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此 时共有4×3×3×3＝108种方法．
?（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ
４
2
种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种，则Ｂ有3
３
种方法，Ｄ、Ｆ各 有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有Ｐ
４
×3（3×2 ×2）
＝432种方法．
３３
?（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ
４
种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ
４
×2×2×2
＝19 2种方法．
第 7 页 共 13 页

?根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案．
?说明：本题是一个环形排列问题．

三．解答题
13．设所求公差为d，∵a
1
＜a
2
，∴d＞0．由此得

a
1
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得：
2a
1
2< br>?4a
1
d?d
2
?0

解得：
d?(?2?2)a
1
……………………………………………………… 5分
而
?2?2?0
，故a
1
＜0
a
2
2
若
d?(?2?2)a
1
，则q?
2
a
1
?(2?1)
2

若d?(?2?2)a
1
，则
q?
a
2
2
2a
1
?(2?1)
2
……………………………… 10分
2
但
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?
n???
2?1
存在，故| q |＜1，于是
q?(2?1)
不可能．
从而
a
1
2
2
?2?1?
1?(2?1)
a
1
?(2
22?2)(2?1)?2

所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
?
x
2
2
?
2?y?1
14．解：(1)由
?
a
?
2
?
y? 2(x?m)
消去y得：
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
设
f(x)?x2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
，问题(1) 化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
1°△＝0得：
m?
a
2
?1
2
，此时x
p
＝－a
2
，当且仅当－a＜－a
2
＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a ，此时x
p
＝a－2a
2
，当且仅当－a＜a－2a
2
＜a ，即0＜a＜1时适合．
f (a)＝0得m＝－a，此时x
p
＝－a－2 a
2
，由于－a－2a
2
＜－a，从而m≠－a．
综上可 知，当0＜a＜1时，
m?
a
2
?1
2
或－a＜m≤a；
当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S?
∵0＜a＜
1
2
1
2
ay
p

，故－a＜ m≤a时，0＜
?a
2
?aa
2
?1?2m
＜a，
第 8 页 共 13 页

由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

x
p
a
2
2
显然当m＝a时，x
p
取值最小．由于x
p
＞0，从而y
p
＝
1?
取值最大，此 时
y
p
?2a?a
2
，
∴
S?aa?a
2
．
当
m?
a
2
?1
2
时，x
p
＝－a
2
，y
p
＝
1?a
2
，此时
S?
1
2
a1?a
2
2
1
2
a1?a
2
．
下面比较
aa?a
2
与
令
aa?a
2
?
故当0＜a≤
当
1< br>3
?a?
1
3
1
2
1
2
的大小：
1
3
a1?a
，得
a?
1
2
1
2

2
时，
aa?a
2
≤
时，
aa?a2
?
a1?a
，此时
S
max
?
1
2
a1?a
2
．
a1?a
2
，此时
S
ma x
?aa?a
2
．……… 20分
15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R
FG
，当R
i
＝a
i
，i＝3，4，5，6，R
1
、R
2< br>是a
1
、a
2
的
任意排列时，R
FG
最小 …………………………………………………… 5分
证明如下：
1．设当两个电 阻R
1
、R
2
并联时，所得组件阻值为R，则
1
R
?
1
R
1
?
1
R
2
．故交换二电阻的位置 ，不改
变R值，且当R
1
或R
2
变小时，R也减小，因此不妨取R< br>1
＞R
2
．

2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R
AB


R
AB
?
R
1
R
2
R
1
?R2
?R
3
?
R
1
R
2
?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
?R
2

显然R
1
＋R
2
越大，R
AB越小，所以为使R
AB
最
小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R
CD


第 9 页 共 13 页

若记
S
1
?< br>?
R
i
R
j
,

S
2
?
?
R
i
R
j
R
k
，则S1
、S
2
为定值，于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R
3
S
1
?R
3
R
4

1?i?j?41?i?j?k?4
只有当R< br>3
R
4
最小，R
1
R
2
R
3
最大时，R
CD
最小，故应取R
4
＜R
3
，R
3
＜R
2
，R
3
＜R
l
，即得总电阻的阻值最
小 ………………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由 R
1
、R
2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
AB< br>代替．要使R
FG
最小，由3°必需使R
6
＜R
5
；
且由1°应使R
CE
最小．由2°知要使R
CE
最小，必需使R5
＜R
4
，且应使R
CD
最小．
而由3°， 要使R
CD
最小，应使R
4
＜R
3
＜R
2
且R
4
＜R
3
＜R
1
，
这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF＝∠BAC
又∠OBC＝
1
2
(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC
∴OB⊥DF．
(2)∵CF⊥MA
∴MC
2
－MH
2
＝AC
2
－AH
2
①
∵BE⊥NA
∴NB
2
－NH
2
＝AB
2
－AH
2
②
∵DA⊥BC
∴BD
2
－CD
2
＝BA
2
－AC
2
③
∵OB⊥DF
∴BN
2
－BD
2
＝ON
2
－OD
2
④
∵OC⊥DE
∴CM
2
－CD
2
＝OM
2
－OD
2
⑤ …………………………………… 30分
①－②＋③＋④－⑤，得
NH
2
－MH
2
＝ON
2
－OM
2
MO
2
－MH
2
＝NO
2
－NH
2

∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分
另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，
设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则
k
AC
??
∴ 直线AC的方程为
y??
a
c
(x?c)
，直线
a
c
,k
AB
??
a
b

c
a
(x?b)
BE的方程为
y?
第 10 页 共 13 页

?
y?
c
(x?b
2
由
?
?
?
a
)
得E点坐标为E(
ac?bc< br>2
ac
2
?abc
?
a
2
?c
2< br>,
a
2
?c
2
)
?
y??
a
(x?c)
?
c
a
2
同理可得F(
b?b
2
cab
2
?abc
a
2?b
2
,
a
2
?b
2
)
直 线AC的垂直平分线方程为
y?
a
?
c
(x?
c
2 a2
)

直线BC的垂直平分线方程为
x?
b?c
2

?
y
acc
由
?
?
??(x?)
?
2a2
bc?a
2
?
x?
b?c
得O(
b?c
2
,
2a
)
?
?
2
bc?a
2

k?
2abc?a
2
ab
2
?abc
OB
b?c
?ac?ab
,k
DF
??
ab?ac
a
2
b? b
2
ca
2
?bc

2
?b
∵
k
OB
k
DF
??1
∴OB⊥DF
同理可证OC⊥DE．
在直线BE的方程
y?
c
(x
a
? b)
中令x＝0得H(0，
?
bc
a
)
bc?a
2
?
bc
∴
k
aa
2< br>bc
OH
?
2
b?c
?
a?3
ab?ac< br>
2
直线DF的方程为
y?
ab?ac
a
2
?bc
x

?
y?
ab?ac
2
x
222
由
?
?
?
a?bc
得N (
ac?bc
?a
2
?2bc?
2
,
abc?ac
22
) < br>?
?
y??
a
c
(x?c)
ca?2bc?c
M (
a
2
b?b
2
同理可得
cabc?ab< br>2
a
2
?2bc?b
2
,
a
2
?2 bc?b
2
)
2
∴
k
a(b?c
2)(a
2
?bc)
MN
?
(c?b)(a
2
? bc)(a
2
?3bc)
??
ab?ac
a
2
?3 bc

∵k
OH
·k
MN
＝－1，∴OH⊥MN．
nn
二．解：先求最小值，因为
(
?x
2
i
)?
?
x
2
i
?2
?
k
i?1i?11?k?j?n
j
x
k
x
j
?1
第 11 页 共 13 页
n
?
?
x
i
≥1
i?1

等号成立当且仅当存在i使得x
i
＝1，x
j
＝0，j＝i
n
∴
?
x
i
最小值为1． …………………………………………………………… 10分
i?1
再求最大值，令
x
k
?
n
ky
k

① ∴< br>?
ky
k
2
?2
k?1
?
ky
1? k?j?n
k
y
j
?1

nn
设
M?
?
k?1
x
k
?
?
k?1
ky
k
?
y
1
?y
2
?
?
?y
n< br>?a
1
?
y
2
?
?
?y
n
?a
2
?
， 令
?
??
?
?
y
n
?a
n
?

22
???a
n
?1
…………………………………………………… 30分 则①?
a
1
2
?a
2
令
a
n?1
＝0，则
M?
nn
n
?
k?1
k(a
k< br>?a
k?1
)


?
nnn
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
ka
k?1
?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
k?1ak
?
?
(
k?1
k?k?1)a
k

由柯西不等式得：

M?[
?
(k?
k?1
nk?1)](
2
1
2
n
?
k?1
2
a
k
)
1
2
n
?[
?
k?1
(k? k?1)]
2
2
1

等号成立?
a
11
2
?
?
?
(k?
22
a
k
2
k?1)
2
?
?
?
(n?
a
k
(k?
2
a
n
2
n?1)
2

< br>?
a
1
?a
2
?
?
?a
n
1?(2?
2
2
1)?
?
?(n?
k?k?1
k? 1)]
2
1
2
n?1)
2
?
k?1)
2< br>

?a
k
?
[
n
(k=1，2，…，n)
?
(
k?1
k?
由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
，从而
y
k
?ak
?a
k?1
?
2
[
k?(k?1?
n
k?1)
2
1
2
?0
，即x
k
≥0
?
(
k?1
k?k?1)]
n
所求最大值为
[
?
(k?
k?1
k?1)]
2
1
2
…………………………………………… 50分
三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*)
其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 …………………………………………… 10分
第 12 页 共 13 页

事实上，不妨没m≥n
(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)
当用m＝1时，命题显然成立．
假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)． 当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从
矩形ABCD中切去正方形AA< br>1
D
1
D(如图)，由归纳假设矩形A
1
BCD
1< br>有一种分法使得所得正方形边长之和恰
为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原 矩形ABCD有

D

D
1
C
一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，
n) …………………………………… 20分
n
(2)关于m归纳可以证明(*)成立．
当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)
假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，
m
A
1
A B
n)
若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．
当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成 了p个正方形，其边长分别为a
l
，a
2
，…，a
p

不妨a
1
≥a
2
≥…≥a
p

显然a
1
＝n或a
1
＜n．
若a
1
＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于
是a
1
＋a
2
＋…＋a
p
不小于 AB与CD之和．
所以a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥2m＞rn＋n－(m，n)
若a
1
＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别 为a
2
，…a
p
的正方形，由归
纳假设
a
2
＋…＋a
p
≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)
从而a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥rn＋n－(m，n)
于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)
再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)． ………………………………………… 50分
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