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北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
亲爱的中学生朋友:
欢迎你参加本次竞赛活动﹗
中国的未来需要众多的人才,人才的培养需要从青少年时代奠基,
打好数学基础有助
于从事各行业的发展。北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提
下丰
富数学爱好者的课余生活,激发学习兴趣,普及科学精神,提高能力水平。祝你插上数学的
翅膀,在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项
1.本次考试共有14个小题﹙6个选择,8个填空题﹚,把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时,请你私下本页,填好所要求填写的项目,交给监考员。
以下由考生填写
姓名__________________性别______考号_____________
校名______________________________年级___________
以下由评分者填写
本次考试该生所得分数是__________
北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
一 、选择题
﹙满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确
答案的英文字母代号填
入第一页指定地方,答对得6分,答错或不答均记0分﹚
1.设函数<
br>f
?
x
?
对
x?0
的一切实数均有
?
2008
?
f
?
x
?
?2f
?
?3x<
br>,则
f
?
2
?
等于
?
?
x
?
﹙A﹚2006. ﹙B﹚2008.
﹙C﹚2010. ﹙D﹚2012.
2.
cos31
0
,tan
46
0
,sin81
0
,sin113
0
的大小关系是 <
br>0
﹙A﹚
cos31?tan46
0
?sin81
0
?sin113
0
.
00
0
﹙B﹚
sin81<
br>?
cos31
?
sin113
00
0
?tan46<
br>0
.
0
﹙C﹚
cos31
?
sin113
?
sin81
?
tan46
.
第 0 页 共
4 页
﹙D﹚
tan46
?
sin81
?
cos31
?
sin113
.
3.已知
abc?0
,则在
下列四个选项中,表示
y?ax
2
?bx?c
的图像只可能是
0000
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
﹙A﹚
﹙B﹚ ﹙C﹚ ﹙D﹚
?
?
a
2
?1
?4.对非0实数
a
,存在实数
?
使得
cos
?
?
成立,则
cos
?
?
?
?
的值是
6
?
2a
?
﹙A﹚
3
3
11
.
﹙B﹚. ﹙C﹚
?
. ﹙D﹚
?
.
2
2
22
5.已知
?
,
?
分别满足
﹙A﹚
2<
br>
6.
?
?1g
?
?1004,
?
?10
?
?1004
,则
?
?
?
等于
1004
. ﹙B﹚
1004
.
﹙C﹚
22008
. ﹙D﹚
2008
.
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
cos0
?cos?cos?cos?cos?cos?cos
777777
等于
﹙A﹚
4
. ﹙B﹚
3
. ﹙C﹚
2
.
﹙D﹚
1
.
二
、填空题﹙满分64分,每小题8分,请将答案填入第一页指定地方﹚
1.求
1og
2
1
?
1og
3
1
?
1og
5
1
的值.
125323
2.如果
sin
?
?
?
?cos
?
?2
,试确定
tan
?
?
?<
br>??
的值.
?
3
?
3.在右图的圆中,弦
AB
,CD
垂直相交于
E
,若线段
AE,EB
和
ED
的
长分别是2厘米,
6厘米和3厘米,试求这个圆的面积.
4.以
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数,试确定
?
?
sin1
?
?
?
?
?
sin
2
?
?
?
?
?
sin3
?
?
?<
br>?
?
sin4
?
?
?
?
?
sin5
?
?
的值.
5.已知直角三角形
ABC
斜边
AB
的长等于
29
,
第 1 页 共 4 页
u
uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur
计算
AB?AC
?<
br>BC?BA
?
CA?CB
.
6.已知集合
A?
?
xx
2
?6x?8?0
,
B?
xx
2
?
ax?7?0
.若
A
I
B
?
?
,
???
确定实数
a
的取值范围.
7.分别以锐角三角形
ABC
的边
AB,BC,CA
为直径画圆,如图所示.
已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为
w
平方厘米,在
三角形内的阴影曲边三角形面积为
u
平方厘米,试确定三
角形
ABC
的面积.
lg
k
n2
8.已知正整数
n
与
k
使得
5
?<
br>2500?k
成立.试确定不小于的最小整数的值.
lgn
第 2 页 共 4 页
参考答案
1. A
2. C
3. B
对称轴
纵截距
【解析】
?<
br>?
f(2)?2f(1004)?3?2
?f(2)?2006
?<
br>f(1004)?2f(2)?3?1004
【解析】注意到:
cos31??sin5
9?
,
sin113??sin67?
sin59??sin67??sin81??1?tan46?
【解析】
A
a、b同号
c正
B
a、b同号
c负
C
a、b同号
c正
D
a、b异号
C负
a
2
?1111
4. A 【解析】注意到:
cos
???(|a|?)?|a|??1?cos
?
2|a|2|a||a|
我们有:
cos
?
?1
,
sin
?
?0
此时有:
cos
?
?
?
?
?
?
?
??
3
?cos
?
cos?sin
?
sin?
?
6
?
662
5. B
【解析
】令函数
f(x)?xlgx
,则
f(x)
是
(0,??)
上的增函数,注意到:
f(10
?
)?
10
?
?lg10
?
?
?
?10
?
?10
04?f(
?
)
,有
?
?10
?
此时有
?
?
?
?10?
?
?f(10)?1004
??
6. D
1.
【解析】注意到:
co
s
?
?cos
?
?cos
?
?cos
?
?
cos
?
?cos
?
?0
因此有:原式=1
1
7
6
7
2
7
5
7
3
7
4
7
log
2
111(?3)?lg5
?
?5
?
?lg2
?
?1
?
?lg3
?log
3
?
log
5
?????15
125323lg2lg3lg5
2.
?
?
?
?
?
??
sin
?
?co
s
?
?2sin
?
?
?
?
?2?sin
?
?
?
?
?1?
?
?2k
?
?(k?Z)<
br>
4
?
4
?
4
??
?
?
??
????
??
?
1?3
tan
?
?<
br>?
?
?tan
?
2k
?
??
?
?t
an
?
?
?
???2?3
34343
?????
?
1?3
tan?ADE?
AE2BE6
?
,
tan?BD
E???2
DE3DE3
2
2?
3
??8?sin?AD
B?
8
tan?ADB?
2
65
1?2?
3
3.
第 3 页 共 4 页
2R?
AB865
?
??65?S?
?
R
2
?
8
sin?ADB4
65
4.
5.
6.
sin1
、
sin2
、
sin3?(0,1)
,
sin4
、
sin5?(?1,0)
?
?
sin
1
?
?
?
?
?
sin2
?
?
?<
br>?
?
sin3
?
?
?
?
?
sin4
?
?
?
?
?
sin5
?
?
??2
uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuru
uuuruuuuruuuuruuuuruuuur
AB?AC
?
BC?BA
?
CA?CB
?
AB?AC
?
BC?BA
?
AB
?
AB
?|
AB
|?29
A?{x|2?x?4
}
,记
f(x)?x
2
?ax?7
,欲使
AIB?
?
需且只需:
?
??0
?
f(2)?0
?23
?
f(2)f(4)?0
或
?
f(4)?0
,整理
有
27?a?
4
?
?
2?
a
?4
?
?2
7.
如图所示,设红色区域面积为x,白色区域面积为y,三个半圆的面积之和为S,则:
?
S?w?y
1
?x?u?(w?u)
?
2
?
S?y?2x?3u
8. 当n = 1、2、3、4时,k
非正整数,当
n?5
时,有
5
n
?2500?5
4
?5
n?4
?4?k
2
此时有
5|k?5|k
,令
k?25t(t?N)
,有
5
?
422n?4
??
?4?t
2
?5
n?4
?(t
?2)?(t?2)
,
???
存在
?
、
?
?N,
?
?
?
,使得
5?t?2?t?2?5?4?5?5
若
?
?0
,则:
5|5?5
,矛盾
有
?
?0
,则:
?
?1?t?3?k?225,n?5?
??
l
gklg225
?
lgnlg5
注意到
3?
?
lg225
?
lg125lg225lg625
???4
,
?
?4
?
lg5lg5lg5
?
lg5
?
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