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北京市高一数学竞赛(解析版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:25
tags:高中数学联赛

高中数学数列百度文库-高中数学理科需要学的几本书


北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
亲爱的中学生朋友:
欢迎你参加本次竞赛活动﹗
中国的未来需要众多的人才,人才的培养需要从青少年时代奠基, 打好数学基础有助
于从事各行业的发展。北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提 下丰
富数学爱好者的课余生活,激发学习兴趣,普及科学精神,提高能力水平。祝你插上数学的
翅膀,在科学探索的空间展翅翱翔。
注意事项
1.本次考试共有14个小题﹙6个选择,8个填空题﹚,把答案填写在下面标有题号的空格内。
2.不允许使用计算器。
3.监考员宣布考试结束时,请你私下本页,填好所要求填写的项目,交给监考员。
以下由考生填写
姓名__________________性别______考号_____________
校名______________________________年级___________

以下由评分者填写
本次考试该生所得分数是__________

北京市中学生数学竞赛
高一年级初赛试题
一 、选择题
﹙满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确 答案的英文字母代号填
入第一页指定地方,答对得6分,答错或不答均记0分﹚
1.设函数< br>f
?
x
?

x?0
的一切实数均有
?
2008
?
f
?
x
?
?2f
?
?3x< br>,则
f
?
2
?
等于
?
?
x
?
﹙A﹚2006. ﹙B﹚2008. ﹙C﹚2010. ﹙D﹚2012.
2.
cos31
0
,tan 46
0
,sin81
0
,sin113
0
的大小关系是 < br>0
﹙A﹚
cos31?tan46
0
?sin81
0
?sin113
0
.
00
0
﹙B﹚
sin81< br>?
cos31
?
sin113
00
0
?tan46< br>0
.
0
﹙C﹚
cos31
?
sin113
?
sin81
?
tan46
.
第 0 页 共 4 页


﹙D﹚
tan46
?
sin81
?
cos31
?
sin113
.
3.已知
abc?0
,则在 下列四个选项中,表示
y?ax
2
?bx?c
的图像只可能是
0000
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
﹙A﹚ ﹙B﹚ ﹙C﹚ ﹙D﹚

?
?
a
2
?1
?4.对非0实数
a
,存在实数
?
使得
cos
?
?
成立,则
cos
?
?
?
?
的值是
6
?
2a
?
﹙A﹚
3
3
11
. ﹙B﹚. ﹙C﹚
?
. ﹙D﹚
?
.
2
2
22
5.已知
?
,
?
分别满足
﹙A﹚
2< br>
6.
?
?1g
?
?1004,
?
?10
?
?1004
,则
?
?
?
等于
1004
. ﹙B﹚
1004
. ﹙C﹚
22008
. ﹙D﹚
2008
.
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
cos0 ?cos?cos?cos?cos?cos?cos
777777
等于
﹙A﹚
4
. ﹙B﹚
3
. ﹙C﹚
2
. ﹙D﹚
1
.
二 、填空题﹙满分64分,每小题8分,请将答案填入第一页指定地方﹚
1.求
1og
2
1
?
1og
3
1
?
1og
5
1
的值.
125323
2.如果
sin
?
?
?
?cos
?
?2
,试确定
tan
?
?
?< br>??
的值.
?
3
?
3.在右图的圆中,弦
AB ,CD
垂直相交于
E
,若线段
AE,EB

ED
的 长分别是2厘米,
6厘米和3厘米,试求这个圆的面积.
4.以
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数,试确定
?
?
sin1
?
?
?
?
?
sin 2
?
?
?
?
?
sin3
?
?
?< br>?
?
sin4
?
?
?
?
?
sin5
?
?
的值.
5.已知直角三角形
ABC
斜边
AB
的长等于
29

第 1 页 共 4 页


u uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur
计算
AB?AC
?< br>BC?BA
?
CA?CB
.
6.已知集合
A?
?
xx
2
?6x?8?0
,
B?
xx
2
? ax?7?0
.若
A
I
B
?
?

???
确定实数
a
的取值范围.
7.分别以锐角三角形
ABC
的边
AB,BC,CA
为直径画圆,如图所示.
已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为
w
平方厘米,在
三角形内的阴影曲边三角形面积为
u
平方厘米,试确定三
角形
ABC
的面积.




lg k
n2
8.已知正整数
n

k
使得
5
?< br>2500?k
成立.试确定不小于的最小整数的值.
lgn


第 2 页 共 4 页


参考答案
1. A
2. C

3. B

对称轴
纵截距
【解析】
?< br>?
f(2)?2f(1004)?3?2
?f(2)?2006

?< br>f(1004)?2f(2)?3?1004
【解析】注意到:
cos31??sin5 9?

sin113??sin67?


sin59??sin67??sin81??1?tan46?

【解析】
A
a、b同号
c正
B
a、b同号
c负
C
a、b同号
c正
D
a、b异号
C负
a
2
?1111
4. A 【解析】注意到:
cos
???(|a|?)?|a|??1?cos
?

2|a|2|a||a|








我们有:
cos
?
?1

sin
?
?0

此时有:
cos
?
?
?
?
?
?
?
??
3

?cos
?
cos?sin
?
sin?
?
6
?
662
5. B




【解析 】令函数
f(x)?xlgx
,则
f(x)

(0,??)
上的增函数,注意到:




f(10
?
)? 10
?
?lg10
?
?
?
?10
?
?10 04?f(
?
)
,有
?
?10
?

此时有
?
?
?
?10?
?
?f(10)?1004

??
6. D

1.

【解析】注意到:
co s
?
?cos
?
?cos
?
?cos
?
? cos
?
?cos
?
?0

因此有:原式=1
1
7
6
7
2
7
5
7
3
7
4
7
log
2
111(?3)?lg5
?
?5
?
?lg2
?
?1
?
?lg3
?log
3
? log
5
?????15

125323lg2lg3lg5
2.
?
?
?
?
?
??
sin
?
?co s
?
?2sin
?
?
?
?
?2?sin
?
?
?
?
?1?
?
?2k
?
?(k?Z)< br>
4
?
4
?
4
??

?
?
??
????
??
?
1?3
tan
?
?< br>?
?
?tan
?
2k
?
??
?
?t an
?
?
?
???2?3

34343
????? ?
1?3
tan?ADE?
AE2BE6
?

tan?BD E???2

DE3DE3
2
2?
3
??8?sin?AD B?
8

tan?ADB?
2
65
1?2?
3
3.

第 3 页 共 4 页



2R?
AB865
?

??65?S?
?
R
2
?
8
sin?ADB4
65
4.

5.
6.
sin1

sin2

sin3?(0,1)

sin4

sin5?(?1,0)

?
?
sin 1
?
?
?
?
?
sin2
?
?
?< br>?
?
sin3
?
?
?
?
?
sin4
?
?
?
?
?
sin5
?
?
??2

uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuru uuuruuuuruuuuruuuuruuuur
AB?AC
?
BC?BA
?
CA?CB
?
AB?AC
?
BC?BA
?
AB
?
AB
?|
AB
|?29

A?{x|2?x?4 }
,记
f(x)?x
2
?ax?7
,欲使
AIB?
?
需且只需:

?
??0
?
f(2)?0
?23
?
f(2)f(4)?0

?
f(4)?0
,整理 有
27?a?

4
?
?
2?
a
?4
?
?2
7.




如图所示,设红色区域面积为x,白色区域面积为y,三个半圆的面积之和为S,则:
?
S?w?y
1
?x?u?(w?u)

?
2
?
S?y?2x?3u
8. 当n = 1、2、3、4时,k 非正整数,当
n?5
时,有
5
n
?2500?5
4
?5
n?4
?4?k
2





此时有
5|k?5|k
,令
k?25t(t?N)
,有
5
?
422n?4
??
?4?t
2
?5
n?4
?(t ?2)?(t?2)

???
存在
?

?
?N
?
?
?
,使得
5?t?2?t?2?5?4?5?5


?
?0
,则:
5|5?5
,矛盾

?
?0
,则:
?
?1?t?3?k?225,n?5?
??
l gklg225
?

lgnlg5
注意到
3?
?
lg225
?
lg125lg225lg625
???4

?
?4

?
lg5lg5lg5
?
lg5
?
第 4 页 共 4 页

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