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2019届浙江省高中数学竞赛试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:27
tags:高中数学联赛

高中数学套题-高中数学要用的初中数学知识



2018-2019学年浙江省高中数学竞赛
一、填空题:本大题共10个 小题,每小题8分,共80分.
金榜题名,高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活,
每天 睡眠不足六个小时,十二节四十五分钟的课加上早晚自习,每天可以用完一支中性笔,在无数杯速溶咖啡的刺激下 ,依然活蹦乱跳,当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时,我看到了远方地
平线上渐渐升起的黎明充满自信, 相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上,觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标 ,比如说今天走1万步等,考试之前给自
己打气,告诉自己“我一定行”!

1.在 多项式
(x?1)
3
(x?2)
10
的展开式中
x
的系数为 .
最新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信
最新试卷 多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人 生,总有一次这样的成败,才算长大。
心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。
6

2.已知
log
7
(5a?3)?log
a< br>2
?1
5
,则实数
a?

2
3.设
f(x)?x
2
?ax?b

?
0,1?
中有两个实数根,则
a?2b
的取值范围为 .
sin
2
x?cos
2
x?cos
2
xcos
2< br>y?sin
2
xsin
2
y
4.设
x
,y?R
,且
?1
,则
sin(x?y)
x?y?

5.已知两个命题,命题
p
:函数
f(x)?log
a
x
(
x?0
)单调递增;命题
q
:函数
.若
p?q
为真命题,
p?q
为假命题,则实数
a
的取值范围
g(x) ?x
2
?ax?1

x?R

为 .
6.设
S

(0,)
中所有有理数的集合,对简分数
58
q
qq?1
?S
,定义函数
f()?

(p ,q)?1

pp
p

f(x)?
2

S
中根的个数为 .
3
2222
7.已知动点
P

M

N
分别在
x
轴上,圆
(x?1)? (y?2)?1
和圆
(x?3)?(y?4)?3
上,则
|PM|?|PN|
的最小值为 .
8.已知棱长为1的正四面体
P?ABC

PC
的中点为
D
,动点
E
在线段
AD
上,则直线
BE
与平面
ABC
所成的角的取值范围为 .
9.已知平面向量
a

b

c
,满足
|a |?1

|b|?2

|c|?3

0?
?
?1
,若
b?c?0
,则
|a?
?
b?(1?
?
)c|
所有取不到的值的集合为 .



10.已知
f(x)?
?
?
?2x,x?0,
2
?
x?1,x?0,
22
方程
f(x)?21?x?|f(x)?21?x|?2a*4 ?0
有三个

x
1
?x
2
?x
3
.若
x
3
?x
2
?2(x
2
?x
1
)
,则实数
a?

二、解答题:本大题共5个小题,满分120分,将答案填在答题纸上)
11.设
f
1
(x)?
的实数解.
x
2
?32

f
n?1
(x)?x
2
?
16
2 ,….对每个
n
,求
f
n
(x)
?3x
f
n
(x)

n?1

3
x
2
y
2
??1
的右焦点为
F
,过
F
的直线
y?k(x?2 )
交椭圆于
P

Q
两点12.已知椭圆
62
(k? 0)
.若
PQ
的中点为原点,直线
ON
交直线
x?3

M

(1)求
?MFQ
的大小;
(2)求
PQ
的最大值.
MF
13.设数列
?
a
n
?
满足:
|a
n?1
?2a
n
|?2< br>,
|a
n
|?2

n?
1,2,3,….
证明:如果
a
1
为有理数,则从某项后
?
a
n
?< br>为周期数列.
14.设
a
1

a
2
a
3

b
1

b
2

b3
?Z
?
,证明:存在不全为零的数
?
1

?
2

?
3
?
?
0,1,2
?
,< br>使得
?
1
a
1
?
?
2
a
2
?
?
3
a
3

?
1
b
1
?
?
2
b
2
?
?
3
b
3
同时被3整除.
15.设
?
?
?
a
1
, a
2
,…,a
n
?

?
1,2,…,n
?
的一个排列,记
F(
?
)?
?
aa
i?1
n
ii?1

a
n?1
?a
1
,求
min F(
?
)



















2017年浙江省高中数学竞赛答案
一、填空题
1.
?4128
2.2 3.
?
0,2
?
4.
2k
?
?
?
2

k?Z

6 .5 7.
210?3?1
8.
?
?
0,a rctan
14
?
?
7
?
?
9.
(??,
6
13
13?1)(4,??)
10.
17?3
2

三、解答题
11.证明:利用数学归纳法.
(1)
x?2

f
n
(x)?3x
的解.
n?1
时,
x?2

f
1
(x)?x
2
?32
?3x
的解.

n?k
时,设
fk
(2)?6
,则
f
k?1
(2)?4?
16
3
f
k
(2)?6
.
由此可得
x?2

f
n
(x)?3x
的解(对于所有的
n
).
(2)当x?2
时,
f
3
n
(x)?3x?
2
x
2


n?1
时,
f
2
3x?
32
1
(x)?x?32?
2
x(x?2)


(?2,1][2,??)
5.




n ?k
时,设
f
k
(x)?3x?
3
2
16
x
,则
f
k?1
(x)?x
2
?f
k
(x )?x
2
?8x
2
?3x

2
3
由此可 得
x?2
都不是
f
n
(x)?3x
的解(对于所有的
n
).
(3)当
0?x?2
时,
f
n
(x)?3x
. < br>当
n?1
时,
f
1
(x)?x
2
?32?x
2
?8x
2
?3x

0?x?2
).

n?k
时,设
f
k
(x)?3x
,则
f
k ?1
(x)?x
2
?
16
f
k
(x)?x
2
?1?3x

3
由此可得
0?x?2
都不是
f
n
(x)?3x
的解(对于所有的
n
).
因此,对每个< br>n

f
n
(x)?3x
的实数解为
x?2

?
x
2
y
2
?1,
?
?
2222
12.解:(1)联立
?
6
可得
(3k?1)x?12kx?12k ?6?0

2
?
y?k(x?2),
?

P点的坐标为
(x
p
,y
p
)

Q
点的 坐标为
(x
q
,y
q
)

12k
212k
2
?6

x
p
?x
q
?
2

x
p
x
q
?

3k?13k< br>2
?1
于是有
y
p
?y
q
?k(x
p
?x
q
)?4k?
?4k

3k
2
?1
1
6k
2
?2k
,
2
)
,因此
ON
的斜率
k
ON
??
, 因为
PQ
的中点为< br>N
,所以
N(
2
3k
3k?13k?1
因为直线ON
交直线
x?3

M
,所以
M(3,?)
, 故
MF
的斜率为
k
MF
??
即得
k
MF< br>?k
PQ
??1
,因此
MF

PQ
垂直,< br>?MFQ?
1
k
1

k
?
2

222
PQ
2
(x
p
?x
q
)?k(x< br>p
?x
q
)
2
(x?x)?4x
p
x
q
?
)??k
2
(x
p
?x
q
)
2
?k
2
?
(2)
I?(

pq
??< br>1
MF
1?
2
k
?
144k
4
2k
2
?1
?
k
2
?1
2
?k
?2
?24
2
?
?24k

2
22
( 3k?1)3k?1
(3k?1)
??
2
2

u?3k?1
,则
I?8
(u?1)(u?2)
1611116
?
11< br>2
9
?
??(??)??(?)?
?

2
2
?
3u
3u2u23
?
u416
?



由于
u?3k?1?1
,故
0?
2
1
?1
.
u
因此
I
max
?3
(当
u?4
时 取到最大值,也即
k??1
).
综上所述,
PQ
的最大值为
3

MF
13.证明 :(1)若
a
1
为有理数,则
?
a
n
?
为 一个有理数数列.
(2)对于任意的
n
,设
a
n
?
y

(y,x)?1
,由已知条件,有且仅有下述一个等式成立:
x2y?2x2y?2x
a
n?1
?2a
n
?2?
a
n?1
?2a
n
?2?
. (*)
xx

a
n

a
n?1
有相同的分母(不进行约分)
(3 )设
a
1
?
b
q

(p,q)?1
,则< br>a
n
?
n

b
n
为整数,由于
|a
n
|?2

n?
1,2,3,…,因
pp

?2p?b
n
?2p

(4)若存在两个自然数
k?l
,使得
a
k
?a
l
,则由(2)中得到的(*)递推公式以及
|a
n
|?2

n?
1,2,3,…,可得
?
a
n
?
从第
k
项开始是一个周期数列,周期为
l?k

(5)由(3)可知对于任意的
n
,(有限个),故总能找到
k?l,使得
b
k
?b
l

b
n
的值只有< br>4p?1
从而有
a
k
?a
l

综上所述, 如果
a
1
为有理数,则从某项后
?
a
n
?
为周期数列.
14.证明:不妨设
a
i
?k
k
(mod3 )

b
i
?l
i
(mod3)

k
i

l
i
?
?
0,1,2
?

i?1,2,3
.则要证
明结论正确,只要证明存在不全为零的数
?
1

?
2

?
3
?
?
0,1,2
?
,使得
?
1
k
1
?
?
2
k2
?
?
3
k
3
?
?
1
l1
?
?
2
l
2
?
?
3
l3
(mod3)?0(mod3)
.(*)

k
1
l
2
?k
2
l
1
?c(mod3)
,这里
c ?
?
0,1,2
?

情形(1)当
c?0
时,则
k
1
?l
1
?0
,或者
k
1
,< br>l
1
不全为零.

k
1
?l
1
? 0
,则取
?
1
?1

?
2
?
?< br>3
?0
,有(*)式成立.

k
1

l< br>1
不全为零,不妨设
k
1
?0
,则取
?
1< br>?k
2
,
?
2
??k
1
,
?
3
?0
,且



?
?
1
k
1
?
?
2
k
2
?
?
3
k
3
?k
2
k
1
?k
1
k
2
?0 (mod3),
即(*)式.
?
?
?
1
l
1?
?
2
l
2
?
?
3
l
3?k
2
l
1
?k
1
l
2
?0(mod 3),
情形(2)当
c?1
或2时,即
c
2
?1(mod3 )


c(k
2
l
3
?k
3
l
2
)?c
1
(mod3)

c(k
3
l< br>1
?k
1
l
3
)?c
2
(mod3)
,这里
c
1

c
2
?
?
0,1,2?


?
1
?c
1

?
2
?c
2

?
3
?1
,则
?
1
?
2

?
3
?
?
0,1,2
?
且不全为零,且
?
1
k
1
?
?
2k
2
?
?
3
k
3
?c
1
k< br>1
?c
2
k
2
?k
3
?c(k
2< br>l
3
?k
3
l
2
)k
1
?c(k< br>3
l
1
?k
1
l
3
)k
2
?k
3
(mod3)
?ck
3
(k
2
l
1
?k
1
l
2
)?k
3
(mod3)
?(1 ?c
2
)k
3
(mod3)?0(mod3)

类似可以 证明
?
1
l
1
?
?
2
l
2
?
?
3
l
3
?0(mod3)

综上所述,可 以取到不全为零的数
?
1

?
2

?
3< br>?
?
0,1,2
?
,使得(*)式成立.
15.解:问题等 价于圆周上放置
n
个数,使得相邻数的乘积之和为最小,最小值记为
T
n
不妨设
a
1
?n
,则数字1必与它相邻,否则设
a
j
?1

j?2

n
),则可将
a
2

a
3
,…,
a
j
的数字改变为
a< br>j

a
j?1
,…,
a
2
上的数字,则相邻 数的乘积和的该变量为
a
1
a
j
?a
2
a
j?1
?a
1
a
2
?a
j
a
j?1?(a
1
?a
j?1
)(a
j
?a
2
)?0

于是可确定
a
2
?1
.再说明数字2也必与数字
n
相邻,即
a
n
?2

事实上,若
a< br>j
?2

j?n
),则交换
a
n

a
n?1
,…,
a
j

a
j

a
j?1
,…,
a
n
,此时的目
标改变值为
a1
a
j
?a
n
a
j?1
?a
1
a
n
?a
j
a
j?1
?(a
1
?aj?1
)(a
j
?a
n
)?0

因此目标 取到最小值时,
a
1
?n

a
2
?1
,< br>a
n
?2
.由此出发,依次可得
a
3
?n?1

a
n?1
?n?2
. 在已安排好的两端数字,若剩下的数比两端数字都 小,则在剩下的数中找
两个最小的数字,按小对大,大对小放置;若剩下的数比两端数字大,则在剩下的 数字中找
两个最大的数,按大对小,小对大放置.由此规律即得
a
4
?3
a
n?2
?4

a
5
?n?3
,< br>a
n?3
?n?4
,….
下面用递推法计算
T
n



考虑
n?2
个数字,我们在
T
n
的数字排序中,将每个数字加1,再放置1,< br>n?2
这两个数字,

2

n?1
的中间插入
n?2
,1,即可得到
T
n?2

因此,
T
n ?2
?T
n
'?(n?1)?(n?2)?2(n?2)?2(n?1)

其中
T
n
'?
?
(a?1)(a
i
i?1
n
i?1
?1)?T
n
?n(n?2)

由此可 得
T
n?2
?T
n
?n
2
?4n?5

?
1
3
1
2
5
n?n?n?1,n?2m,
?
?
626
可以推出
T
n
?
?

1151
?
n
3
?n
2
?n?,n?2m?1.
?
262
?
6

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