2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

高一数学竞赛训练试题（2）
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程
x?2mx? m?1?0
的根大于
?2
，且小于
4
，则实数
m
的 范围是 ．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．
3．设实数
x
，
y
满足x
2
-4x+y
2
+3＝0，则
x
2
?y
2
的最大值与最小值之差是 ．
4．若存在正实数
a
，
b
满足
(a?bi)
n
?(a?bi)
n
（
i
是虚数单位，
n?N
），则
n
的最小
值是 ．
5．若三角形
ABC
的三边
AB
，
BC
，
AC
成等差数列，则
?A< br>的取值范围是 ．
6．若数列
?
a
n
?
满足
a
4
?9
，
(a
n?1
?an
?1)(a
n?1
?3a
n
)?0
（
n?N
），则满足条件的
a
1
的
*
*
22
所有可 能值之积是 ．
7．已知
f(x)?x?94x?2013
，则
2
n?30
?
?
f(n)?
60
f(n)
?
?
．
8．设
x
，
y?
?
0,2
?
?
，且满足
2sinxcosy?sinx?cosy??
1
，则
x?y
的最大值
2
为 ． 9．复数z
1
，z
2
满足|z
1
|＝3，|z
2
|＝5，|z
1
+z
2
|＝6，则|z
1
-z< br>2
| ＝___________
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排 列得到一个四位数，这个四位数为完
全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个 四位数，这个数
仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边，设
a?c?2b,A ?C?
值．









?
3
．求
sinB
的

12．如图 ，梯形
ABCD
中，
B
、
D
关于对角线
AC
对称的点分别是
B'
、
D'
，
A
、
C
关
于对角线
BD
对称的点分别是
A'
、
C'
．证明： 四边形
A'B'C'D'
是梯形．

13．设 关于x的一元二次方程2x
2
－tx－2＝0的两个根为?、?，(t为实数，? ⑴ 若x
1
，x
2
为区间[?，?]上的两个不同点，求证：4 x
1
x
2
－t(x
1
＋x
2
)－4<0；
4x
－
t
⑵ 设f(x)＝
2
，f(x)在区间[?，?] 上的最大值与最小值分别为f
max
与f
min
，g(t)＝f
ma x
x+1
－f
min
，求g(t)的最小值．

14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必 存在四个同色点，恰为某
等腰梯形的顶点．

11．在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C
的对边，设
a?c?2b,A?C?
值．
分析 化角为边转化为三角关系处理．
解 由正弦定理及角变换求解．由
a?c?2b
，
得
sinA?sinC?2sinB
．再由三角形内角和定理及
A?C?< br>?
3
．求
sinB
的
?
3
得
A?
2
?
B
?
B
?,C??
，
3232

所以
sinA?sin(
2
?
B 3B1B
?)?cos?sin
，
322222
?
B3B1BsinC?sin(?)?cos?sin
，
322222
又
sinB ?2sin
BB
cos
，代入到
sinA?sinC?2sinB
中 得
22
3cos
BBBB
B3
?4sincos
，由cos?0
得
sin?
，
2222
24
从而
cos
39
B13
，所以
sinB?
．
?
824
13．设关于x的一元二次方程2x
2
－tx－2＝0的两个根为?、?，( t为实数，? ⑴ 若x
1
，x
2
为区间[?，?]上 的两个不同点，求证：4x
1
x
2
－t(x
1
＋x
2
)－4<0；
4x
－
t
⑵ 设f(x)＝
2
， f(x)在区间[?，?]上的最大值与最小值分别为f
max
与f
min
， g(t)＝f
max
x+1
－f
min
，求g(t)的最小值．
(湖南省2002年高中数学竞赛)
解 ⑴考察函数h(x)=2x
2
－tx－2．
由于?1
，x2
1
2
－tx
1
－2<0，2x
2
2
－tx
2
－2<0，
两式相加得2(x
1
2
＋x
2
2
)－t(x
1
＋x
2
)－4<0 ．
又4x
1
x
2
≤2(x
1
2
＋x2
2
)．
所以4x
1
x
2
－t(x
1
＋x
2
)－4≤2(x
1
2
＋x
2
2< br>)－t(x
1
＋x
2
)－4<0．
⑵ 由已知得2x
2
－2＝tx，所以2x
2
＋2＝tx＋4>0。
2 (4x
－
t)
2t
2
+16
对于t≠0，及tx＋4>0， f(x)＝=(4－)．
tx+4ttx+4
此时f(x)单调增．
所以 f
max
＝f(?)，f
min
＝f(?)．
2(t
2
+16)11
所以g(t)＝f(?)－f(?)＝(－ ) t
t
?
+4t
?
+4
t(
?－?
)< br>2(t
2
+16)
=(
2
)
t
t
??
+4t(
?
+
?
)+16
＝2(?－?)＝t
2
+16，对于t＝0，此结果也成立．
所以g(t)的最小值为4．