高中数学联赛模拟试题

2017年全国高中数学联赛模拟试题04
第一试
（时间：8:00-9:20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 集合
A={x,y}
与
B={1,log
3
(x+2)}
恰有一个公共元为正数
1+x
，则
AUB=
．

2.若函数
f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?
3
?
?
在区间
?
1,2
?
上递增，则
a
的取值范围是___________.
2
?

3.已知
0?
?
?
?
?

4.在单调递增 数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?2
，
a
2
?4
，且
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n?1
成等差数列，
a
2n
，
a
2n?1
，
a
2n?2
成
等比数列，
n?1,2 ,3,L
.那么，
a
100
?
_________.

5. 已知点
P(1,2,5)
是空间直角坐标系
O?xyz
内一定 点，过
P
作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于
A,B,C
三点，则所有这样 的四面体
OABC
的体积的最小值为 ．
6.在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边为
a,b,c
，
a?5
，
b?4
，又知
cos(A?B)?
?
2
，且tan
?
?3tan
?
，则
u?
?
?
?
的最大值为________.
31
，
32
则
?ABC
的面积为 ．

7. 已知过两抛物线
C
1
:x?1?(y?1)
2
，C
2
:(y?1)
2
??4x?a?1
的交点的各自的切线互相 垂直，
则实数
a
的值为 ．

8. 若整数
a,b
既不互质，又不存在整除关系，则称
a,b
是一个“联盟”数对 ；设
A
是集
M?
?
1,2,L,2014
?
的n
元子集，且
A
中任两数皆是“联盟”数对，则
n
的最大值为 ．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.
2
a
n
?3
9. （本小题满分16分）设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
．求证：
2a
n
（1） 当
n?2
时，
a
n
严格单调递减．（2） 当
n?1
时，
|a
n?1
?3|?23



r
2
n
1?r
2
n
，这里
r? 2?3
．
y
2
x
2
2
PQ
10. （本 小题满分20分）设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与抛物线
x?2py(p?0)
有一个共同的焦点
F
，
ab
为它们的一条公 切线，
P
、
Q
为切点，证明：
PF?QF
．





11. （本小题满分20分）求证：（1）方程
x?x?1?0
恰有一个实根
?
，并且
?
是无理数；
（ 2）
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0)< br>的根．



2
3

2017年全国高中数学联赛模拟试题04
加试
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）如图，在锐角
?ABC
中，
AB?AC,D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点，
?ADE

的外接圆与
?BCE
的外接圆交于点
P
（异于点
E
），
?ADE
的外接圆与
?BCD
的外接圆交于点
Q
（异
于点
D
）。求证：
AP?AQ
.








二、（本小题满分40分）
求所有素数
p
，使得
p
2
?
p-1
k
2 p+1

k=1








三、（本小题满分50分）
2
设
n
是一个正整数，a
1
,a
2
,L,a
n
,b
1
,b< br>2
,L,b
n
,c
2
,c
3
,L,c
2n
是4
n
－1个正实数，使得
c
i?j
?a
i
b
j
,1?i,j?n
．
令
m?maxc
i，证明：
(
2?i?2n
m?c
2
?c
3
?L ?c
2n
2
a?a?L?a
n
b
1
?b
2
?L?b
n
)?(
12
)()
．
2nnn












四、（本小题满分50分）
n
个棋手参 加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果
赛后发现任 何m个棋手中都有一个棋手胜了其余
m
－1个棋手，也有一个棋手输给了其余
m
－1个棋手，就称
此赛况具有性质
P
（
m
）．对给定的
m
（
m
≥4），求
n
的最小值
f
（
m
），使得对具有性质
P
（
m
）的任何赛况，都
有所有
n< br>名棋手的得分各不相同．

2017年全国高中数学联赛模拟试题04
第一试参考解答
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 集合
A={x,y}
与
B={1,log
3
(x+2)}
恰有一个公共元为正数
1+x
，则
AUB=
．
解：由于
1+ x?x
，故
1+x=y
．由
log
3
(x+2)?1
知
x?1
，又因为
1+x>0
，所以
3
1+x
> e
1+x
>x+2
即
log
3
(x+2)<1+x
故只能是
y=1+x=1
，这样
A={0,1}
，
B={1,log
3
2}
，得
AUB={0,1,log
3
2}


3
?
?
在区间
?
1,2
?
上递 增，则
a
的取值范围是___________.
2
?
??
?
0?a?1,
?
a?1,
??
11
?
1
?
1
?2,?1,
，解：（ⅰ）当
0?a?1
时，只需
?
，解得
?a?
.（ⅱ）当
a?1
时，只需
?
解得< br>a?1
.
2a2a
84
??
11
??
4a ??0.a??0.
??
?2?2
?
11
?
综上，
a
的取值范围是
?
,
?
U
?
1,??
?< br>.
?
84
?
2.若函数
f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?

3.已知
0?
?
?
?
?
?
2
，且
tan
?
?3tan
?
，则
u?
?
?
?
的最大值为________.
解：因为
0?
?
?
??
所以
tan
?
?
?
?
?
?
?
2
，
tan
?
?3tan
?
，所以
0?
?
?
?
?
?
2
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
1?tan
?
?< br>?
?
?
tan
?
?tan
?
.
2 tan
?
?
1?3tan
2
?
2
1
?3t an
?
tan
?
?
?
3
，
u
的最 大值为.
6
3

4.在单调递增数列
?
a
n?
中，已知
a
1
?2
，
a
2
?4，且
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n? 1
成等差数列，
a
2n
，
a
2n?1
，
a
2n?2
成
等比数列，
n?1,2,3,L
.那么，
a100
?
_________.
解：因为
?
a
n?
单调递增，
a
1
?0
，所以
a
n
? 0
.因为
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n?1
成等差数列，
a
2n
，
a
2n?1
，< br>a
2n?2
成等
?
a
2n?2
?a
2n?a
2n
?a
2n?2
a
2n?1
?a
2n? 1
?
a
2n?1
?a
2n?1
?2a
2n
a??
比数列，所以
?
.因为，
2n
2
22
?< br>?
a
2n
?a
2n?2
?a
2n?1
所以< br>a
2n
?
a
2n?2
?a
2n?2
2
，数列
2
?
a
2n
是等差数列.易得
a
3
?6
，
a
4
?9
，所以
a
4
?a
2
?1
.
?
2
所以
a
2n
?n?1< br>，
a
2n
?
?
n?1
?
，
a
100
?51?2601
.

5. 已知点
P(1,2,5)< br>是空间直角坐标系
O?xyz
内一定点，过
P
作一平面与三坐标轴的正 半轴分别交于
A,B,C
三点，则所有这样的四面体
OABC
的体积的最小值 为 ．
解：设此平面的方程为
xyz
???1
，
a,b,c?0
分别是该平面在
x,y,z
轴上的截距，又点
P< br> 在平面
ABC
内，
abc
3
125125

??
，即故
???1
，由于
1????3
，得
V
O ABC
?abc?45
．当
???
，
?
abcabc
abc27abc6abc3

即
(a,b,c)?(3,6,15)
时，
V
OABC
的最小值为45．



6.在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边为
a,b,c
，
a?5
，
b?4
，又知
cos(A?B)?
则
?ABC的面积为 ．
31
，
32
aba?ba ?b
得
9?(sinA?sinB)?1?(sinA?sinB)
，
?? ?
sinAsinBsinA?sinBsinA?sinB
A?BA?BA?BA?BA?B A?B
故
18sin
，即
tan
．
cos?2sinco s?9tan
222222
A?B
1?tan
2
2
，又根据
a?b
知
A?B
，所以
tan
A?B
?
7
，从而 因为
cos(A?B)?
A?B
221
1?tan
2
2
A?B37CA?B7371157
，于是
tan?cot
，< br>sinC?
，
S?absinC?
．
tan??
27223 824
解法2：在边
AB
内取点
A
1
，使
CA1
?CA?4
，则
?ACB??CA
1
A??ABC?A?B< br>．由条件及余弦定理得，
1
解法1：由等比定理
CA
1
2?A
1
B
2
?BC
2
9
313
?，
A
1
B?4?5?2?4?5??
，进一步有
cosA?? cos?CA
1
B??
2CA
1
?A
1
B16322
22
1157
93
57
?
9
?
因此
c?AA
1
?A
1
B?2??4??6
，
h< br>c
?41?
??
?
，所以
S?ch
c
?．
24
4
162
?
16
?
7. 已知过两抛 物线
C
1
:x?1?(y?1)
2
，
C
2
:(y?1)
2
??4x?a?1
的交点的各自的切线互相垂直，则实数
a< br>的
值为 ．
aaaa
?1)
，
?1)
解：联立曲线
C
1
,C
2
的方程，求得交点坐标为< br>(,1?
由对称性，不妨只考虑交点
A(,1?
5555
处切线是否垂 直：在点
A
局部，
C
1
,C
2
所对应的解析式分别 为
C
1
:y?1?x?1
，
C
2
:y??4x?a ?1?1
．
1(?4x)
?
2
??
对
C
1
求导得
y
?
?
，对
C
2
求导得
y
?
?
，故两条曲线在点
A
处的斜率分别
2x?12?4x ?a?1?4x?a?1
1221
为与
?
，它们垂直当且仅当
??? ?1
，解得
a?0
．
aaaa
2?1?1?12?1
55 55
8.若整数
a,b
既不互质，又不存在整除关系，则称
a,b
是 一个“联盟”数对；设
A
是集
M?
?
1,2,L,2014
?
的
2
n
元子集，且
A
中任两数皆是“联盟”数对，则n
的最大值为 ．
解：称这种子集
A
为 “联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有
504
个元素．为此，取
A ?
?
2kk?504,505,L,1007
?
， 以下证，
504
就是
n
的最大值．今设
A
是元素个数最多的一个联盟子集，
若
a
j
是集
A
中的最小数，显然
a
j
?1
，如果
a
j
?1007
，则得
2a
j
?2 014
，即
2a
j
?M
，
A?
?
a
1
,a
2
,L,a
n
?
，
显然
2aj
?A
，（因
2a
j
与
a
j
有整除关 系）．今在
A
中用
2a
j
替代
a
j
，其它 元素不变，成为子集
A
?
，则
A
?
仍
然是联盟子集 ，这是由于对于
A
中异于
a
j
的任一元素
a
i，因
a
j
与
a
i
不互质，故
2a
j< br>与
a
i
也不互质；再说明
2a
j
与
a
i
没有整除关系：因
a
j
?
a
i
，则
2 a
j
?
a
i
；又若
a
i
2a
j< br>，设
2a
j
?ka
i
，（显然
k?1,2
， 否则
a
i
,a
j
有整除
关系），则
k?2
，于是
a
i
?a
j
，这与
a
j
的最小性矛 盾！因此
A
?
仍然是联盟子集，并且仍是
n
元集；重复以
上 做法，直至子集中的元素皆大于
1007
为止，于是得到
n
元联盟子集
B?
?
b
1
,b
2
,L,b
n
?
，其中
1007?b
j
?2014
．即
B?
?
1 008,1009,L,2014
?
，因任两个相邻整数必互质，故在这
1007个连续正整数
中至多能取到
504
个互不相邻的数，即
n?504
．又据前面所述的构造可知，
n
的最大值即为
504
．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.
2
a
n
?3
9. （本小题满分16分）设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
．求证：
2a
n
（1） 当
n?2
时，
a
n
严格单调递减．（2） 当
n?1
时，
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r2
n
，这里
r?2?3
．
2
a
n
? 3
解：（1）由
a
1
?1,a
n?1
?,n?1
及 归纳法易得
a
n
?0(n?N
*
)
，且
a
n
均为有理数…………4分
2a
n
2
a
n
?3< br>当
n?2
时，由均值不等式得，
a
n
?
?1
?3
，又因为
a
n
均为有理数，故当
n?2
时
a< br>n
?3

2a
n?1
22
a
n
?3 ?a
n
?3
从而
a
n?1
?a
n
??a< br>n
??0(n?2)
，所以当
n?2
时，
a
n
严格单调递减．…………8分
2a
n
2a
n
2
22a
n
?3(a
n
?3)
2
a
n
?3( a
n
?3)
2
a
n
?3
（2）由
a
n?1
?
得
a
n?1
?3?
,
a
n?1
?3?
…12分
?3??3?
2a
n
2a
n2a
n
2a
n
2a
n
a
n?1
?3< br>?
a
n
?3
?
a?3
a?3
2
n< br>?
?
?2?3
， 两式相除得，由此得
n?1
，其中
r?
1
?r
?
?
a
n?1
?3
?
a?3
a
1
?3
a
n?1
?3
?
n
?
解得
a
n?1
?3
2
1?r
2
1?r
n
2
n
，所以
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r
2
n
…………16分
y
2
x
2
2
10. （本小题满分20分）设椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与抛物线
x?2py(p?0)
有一个共同的焦点
F
，
PQ
ab
为它们的一条公切线，
P< br>、
Q
为切点，证明：
PF?QF
．
?
p
?
证：设
P
?
x
1
,y
1
?
在抛 物线上，
Q(x
2
,y
2
)
在椭圆上，焦点
F< br>?
0,
?
，则抛物线切线方程为
x
1
x?p
?
y?y
1
?
，
?
2
?
y
2yx
2
x
a
2
x
2
b
2
y< br>2
a
2
b
2
椭圆切线方程为
2
?
2
?1
它们为同一直线，
????y
1
y
2
??a< br>2
,x
1
x
2
?2b
2
.
①
ab
x
1
?ppy
pp1
2
p
y
1
?y
2
?p?
?
y
1
?y
2
?
?a
2
2
?
2
?
42
?k
FP< br>?k
FQ
?
② ………… 5分
2
x1
x
2
2b
pk
2
pk
2
,?PQ: y?kx?,
设公切线
PQ
方程为
y?kx?m
，代入抛物线方程 并由
??0?m??
22
?
x
1
?pk
?
与抛物线切线方程比较可得
?
1
2
………… 10分
y?pk1
?
?2
p
2
k
4
2222
?a2
?k
2
b
2
?p
2
k
4
? 4b
2
k
2
?a
2
?0
，将公切线方程代入椭圆方 程，并令
??0?m?a?kb?

4
p
2
?4b
2
p
2
2222

Q
两曲线有相同焦点，
?c??p?4c?4(a?b)
，代入上式解得k?
………… 15分
2
p
2
1p
2
?4 b
2
p
2
?4b
2
2a
2
a
2< br>2pa
2
2pa
2
p
?y
1
?p???,< br>，
y????????
2
2
22222
2p2pp
y
1
p?4b4a?4b?4b2

4a
2
?p
2
2b
2
?y
1
+y
2
? ?
，代入②式，得
?k
FP
?k
FQ
2pp
?PF ?QF
. ………… 20分
3
2
1
2
p2b
2
p???a
2
a
2
?b
2
?b
2?a
2
42p
????1

2b
2
2b
2
11. （本小题满分20分）求证：（1）方程x?x?1?0
恰有一个实根
?
，并且
?
是无理数；
（2）
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0 )
的根．
证明：（1）设
f(x)?x?x?1
，则
f'(x)? 3x?1
.
f(x)
在
?
??,?
32
?
?
?
?
3
?
33
?
上单调递增，在上单
? ,
???
???
3
??
33
?
?
3
?
3232
上单调递增，故
f
极大
(x)?f(?
,??
)??1?0,f(x)?f()???1?0

?
极小
?
3
?
33
3333
??
3
再由
f(1)??1?0 ,f(2)?5?0
知，方程
x?x?1?0
恰有一个实根
?
??
1,2
?
………… 5分
调递减，在
?
假设
?
?
m
32
，其中
m,n
是互素的正整数，则
m ?n(m?n)
，故
n
2
m
3
于是
n?1
，即
?
?m
是整数，这与
n
?
?
?
1, 2
?
矛盾，由此得
?
是无理数………… 10分
2
23
（2）假设
?
还满足
a
?
?b
?
? c?0(a,b,c?Z,a?0)
①，则又因为
?
?
?
?1?0< br>②，①乘以
?
减去②乘
以
a
得
b
?
?(a?c)
?
?a?0
，将其乘以
a
减去①乘以
b
得
a
2
?ac?b
2
222
??
?
?a
2
?bc?0
………… 15分
a
2
由于
?是无理数
a,b,c?Z,
所以
a?ac?b?a?bc?0
，因为a?0
，所以
bc?0
，
b?

c
a
3
a
a
22
代入
a?ac?b?0
得
3
? ?1?0
从而
?
?
这与
?
是无理数矛盾，
cc< br>c
2
因此
?
不是任何整数系数二次方程
ax?bx?c?0( a,b,c?Z,a?0)
的根. ………… 20分

2017年全国高中数学联赛模拟试题04
加试参考答案
一、（本小题满分40分）如图，在锐角
?ABC
中，
AB?AC,D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点，
?ADE

的外接圆与
?BCE
的外接圆交于点
P
（异于点
E
），
?ADE
的外接圆与
?BCD
的外接圆交于点
Q
（异
于点
D
）。求证：
AP?AQ
.



















二、（本小题满分40分）
求所有素数
p
，使得
p
解：对
k=1,2,L,
2
?
p-1
k
2p+1

k=1
p-1
，有
k
2p
=k
2
(modp)< br>（费马小定理），故
2
k
2p+1
+(p-k)
2p+1< br>?k
2p+1
(2p+1)pk
2p
-k
2p+1
汉 pk
2p
p
2
-1
鹤pk=p?(modp
2
)< br>．
24
k=1
22
p-1
2
pk
2
(modp
2
)
，
求和可知，
邋
k
k=1p-1
2p+1
当且仅当
24p-1
时，素数
p
满足< br>p
2
2
?
p-1
k
2p+1
，显然
p?5
．
k=1
当
p?5
时，
p
2
-1 =(p+1)(p-1)
必为3和8的倍数，故
24p
2
-1
．
因此所求素数
p
是一切大于3的素数．

三、（本小题满分50分）
设
n
是一个正整数，
a
1,a
2
,L,a
n
,b
1
,b
2
,L ,b
n
,c
2
,c
3
,L,c
2n
是4< br>n
－1个正实数，使得
c
i
2

?j
?a< br>i
b
j
,1?i,j?n
．
m?c
2
?c< br>3
?L?c
2n
2
a?a?L?a
n
b
1< br>?b
2
?L?b
n
)?(
12
)()
． < br>2?i?2n
2nnn
证明：令
X?maxa
i
,Y?max b
i
，分别用
a
i
'
?a
i
X,b
i
'
?b
i
Y,c
i
'
?c
i
XY
代替
a
i
,b
i
,c
i
，因此我们可 以
令
m?maxc
i
，证明：
(
1?i?n1?i?n假设
X?Y?1
.下面我们证明
m?c
2
?L?c
2n
?a
1
?L?a
n
?b
1
?L?b
n
故
(*)
m?c
2
?L?c
2n
1
a
1
?L?a
n
b
1
?L?b
n
?(?)
由平均不等式即得所需结论.
2n2nn
我们将证明
?r?0,( *)
中左边大于
r
的项不少于右边，因此对每个
k
，左边第
k
大的项比右边第
k
大的项大.
这就证明了(*).
若
r?1
，则(*)右边没有大于1的项；
若
r?1
，令
A?{1?i?n|a
i
?r},a?|A|,B?{1?i?n|b
i?r},b?|B|,
因为
X?Y?1
，所以
a
和
b< br>至少是1.又
a
i
?r,b
i
?r
，故
c< br>i?j
?a
i
b
j
?r.
所以
C?{2?i ?2n|c
i
?r}?A?B?{
?
?
?
|
??A,
?
?B}
.
因为若
A?{i
1
,K, i
a
},B?{j
1
,K,j
b
},i
1
?L?i
a
,j
1
?L?j
b
，则下面
a?b?1
个数互不相同且属于
A?B
：
i
1
?j
1
,i
1
?j
2
,L,i
1
?j
b
,i< br>2
?j
b
,L,i
a
?j
b
所以
| C|?a?b?1
.当然
|C|?1
.所以对某个
k
，
c< br>k
?r
.所以
M?r
.
所以在(*)中左边至少有
a?b
项大于
k
，而右边只有
a?b
项大于
k
.( *)得证.
四、（本小题满分50分）
n
个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一 局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果
赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了 其余
m
－1个棋手，也有一个棋手输给了其余
m
－1个棋手，就称
此 赛况具有性质
P
（
m
）．对给定的
m
（
m
≥4），求
n
的最小值
f
（
m
），使得对具有性质
P
（
m
）的任何赛况，都
有所有
n
名棋手的得分各不相同．
证： 先证明两个引理．
引理1 当
n
≥
m
时，如果< br>n
个棋手的赛况具有性质
P
（
m
），则必有一个棋手全胜．
当
n
＝
m
时，命题显然成立．
假设命题对
n成立，则对
n
＋1个棋手，从中任取
n
个棋手，由归纳假设，这
n
个棋手中必有一个棋手全
胜，不妨设
A
1
，
A
2
，…，
A
n
中
A
1
全胜．
对另一个棋手
A
n
＋1
：
若
A
1
胜
A
n
＋1
，则在
n
＋1个棋手中，
A
1
全胜；
若
A
1
平
A
n
＋1
， 考察棋手
A
1
，
A
2
，…，
A
n
－1
，
A
n
＋1
，这
n
个棋手中没有人全胜，不可 能；
若
A
n
＋1
胜
A
1
，考察棋手A
1
，
A
3
，
A
4
，…，
A
n
，
A
n
＋1
，这
n
个棋手中全胜的只能 是
A
n
＋1
，特别地，
A
n
＋1
胜
A
3
，
A
4
，…，
A
n
．同理，
A
n
＋1
也胜
A
2
，所以在这
n
＋1个 棋手中
A
n
＋1
全胜．
由归纳原理知，命题对任意
n
≥
m
成立．
类似地可证：
引理2 当
n
≥
m
时，如果
n
个棋手的赛况具有 性质
P
（
m
），则必有一个棋手全败．

回到原题．我们来证明：
当
n
≥2
m
－3时，所有棋手的得分必各不相同．
由引理 1，有一个棋手
A
1
胜了其余
n
－1个棋手，有一个棋手
A
2
胜了除
A
1
外的
n
－2个棋手，……，有一个棋手
A
n
－
m
＋1
胜了除
A
1，
A
2
，…，
A
n
－
m
外的
m
－1个棋手．
由引理2，有一个棋手
A
n
负于其余
n< br>－1个棋手，有一个棋手
A
n
－1
负于除了
A
n外的
n
－2个棋手，……，
有一个棋手
A
n
－
m
＋3
负于除
A
n
，
A
n
－1
， …，
A
n
－
m
＋4
外的
n
－
m< br>＋2个棋手，另外还有一棋手为
A
n
－
m
＋2
． < /p>

这样，这
n
个棋手
A
1
，
A
2
，…，
A
n
，编号小的棋手都战胜了编号大的棋手，所以他们的得分为n
－1，
n
－2，…，
1，0，各不相同．
对
n
＝2
m
－4，设
n
个棋手水平为：
1，2，…，
m
－3，
m
－2，
m
－2，
m
－1，…，2
m
－5，
其中水平编号小的棋手胜水平编号大的棋手，编号相等的棋 手打平．则对任取
m
个棋手，必有一最小编号为
i
（1≤
i
≤
m
－3），另一最大编号为
j
（
m
－1≤
j≤2
m
－5），从而在这
m
个棋手中编号为
i
的棋手全 胜，编号为
j
的棋手全败，所以这
n
个棋手具有性质
P
（< br>m
），但其中有两个棋手的得分相同．
综上可知，
f
（
m
）＝2
m
－3．