2011年高中数学联赛试题一二试

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题



一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上
．

1．设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B?{? 1,3,5,8}
，则集合
A?
．
2．函数
f(x)?
x
2
?1
的值域为 ．
x?1
3．设
a,b
为正实数，
11
??22
，
(a?b)
2
?4(ab)
3
，则
log
ab?
．
ab
4．如果
cos
5?
?sin
5
?
?7(sin
3
?
?cos< br>3
?
)
，
?
?[0,2
?
)
，那么
?
的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要 求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项
目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不 同安排方案数为 ．（用
数字作答）
6．在四面体
A BCD
中，已知
?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3< br>，
CD?2
，则四面
体
ABCD
的外接球的半径为 ．
7．直线
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点，
C
为抛物线上的一点，
?ACB?90?
，
则点
C
的坐标为 ．
8．已知a
n
?
C
n
3
200
?6
??
200?n
?
1
?
?
?
?
??
(n?
1,2,
?
,95)
，则数列
{a
n
}中整数项的个数为 ．
2
??
n
二、解答题：本大题共 3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．（本小题满分16分） 设函数
f(x)?|lg(x?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a?6b?21)?4lg2
，求
a,b
的值．
b?1
)
，
b?2
10．（本小题满分20分）已知数列
{ a
n
}
满足：
a
1
?2t?3(t?
R且
t??1)
，
a
n?1
?
(2t
n?1
?3)a< br>n
?2(t?1)t
n
?1
a
n
?2t
n< br>?1
(n?
N
*
)
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
t ?0
，试比较
a
n?1
与
a
n
的大小．
1
x
2
y
2
11．（本小题满分20分）作斜率为的直线
l
与椭圆
C
：
??1
交于
A,B
两点（如图所
3
364
示），且
P(32,2)
在直线
l
的左上方．
y
P
O
x
B
A

（1）证明：△
PAB
的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）如图，
P,Q
分别是圆内接四边形
ABCD
的对角线
AC,BD
的中点．若
?BPA??DPA
，证明：
?AQB??CQB
．
D
A
Q
P
B

二、（本题满分40分）证明：对任意 整数
n?4
，存在一个
n
次多项式
f(x)?x
n
?a
n?1
x
n?1
?
?
?a
1
x?a
0

C
具有如下性质：
（1）
a
0
, a
1
,?,a
n?1
均为正整数；
（2）对任意正整数
m
，及任意
k(k?2)
个互不相同的正整数
r
1
,r
2
,
?
,r
k
，均有
f(m)?f(r
1)f(r
2
)?f(r
k
)
．

三、（本题 满分50分）设
a
1
,a
2
,
?
,a
n< br>(n?4)
是给定的正实数，
a
1
?a
2
???a< br>n
．对任意正实
数
r
，满足
a
j
?a
i
a
k
?a
j
?r(1?i?j?k?n)
的三元数组< br>(i,j,k)
的个数记为
f
n
(r)
．
n
2
证明：
f
n
(r)?
．
4

四、（本题满分50分）设A是一个
3?9
的方格表，在每一个小方格内各填一个正整 数．称A
中的一个
m?n(1?m?3,1?n?9)
方格表为“好矩形”，若它的所 有数的和为10的倍数．称A中
的一个
1?1
的小方格为“坏格”，若它不包含于任何 一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大
值．