2019学年浙江省高中数学竞赛

2019学年浙江省高中数学竞赛
一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.
1. 在多项式
(x? 1)
3
(x?2)
10
的展开式中
x
6
的系数为
2. 已知
log
7
(5a?3)?log
a
2
? 1
5
，则实数a=
3. 设
f
?x
?
?x
2
?ax?b
在
?
0,1
?
中两个实数根，则
a
2
?2b
的取值范围为
sin
2
x?cos
2
x?cos
2
xcos2
y?sin
2
xsin
2
y
?1
，则x-y = 4. 设
x,y?R
，且
sin(x?y)
5. .已知两个命题，命题P：函数
f
?
x
?
?log
a
x(x?0)
单调递增；命题q：函数
g(x)?x
2
?ax?1(x?R )
.若
p?q
为真命题，
p?q
为假命题，则实数a的取值范围为
q
?
5
?
6. 设S是?
0,
?
中所有有理数的集合，对简分数
?S,
?
p, q
?
?1
，定义函数
p
?
8
?
?
q
?
q?12
?
在S中根的个数为
??
f
?
?,则fx?
?
p
?
p3
??
7. 已知动点P，M，N分别在x轴上，圆
?
x?1
?
?
?
y?2
?
?1
和圆
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?3
2222
上，则
PM?PN
的最 小值
8. 已知棱长为1的正四面体
P?ABC
, PC的中点为D，动点E在线段AD上，则
直线BE与平面ABC所成的角的取值范围为
9. 已知平面向量
a
，
b
，
c
，满足
a ?1
，
b?2
，
c?3
，
0?
?
?1，若
b?c?0
，
???
???
???
??
则
a?
?
b?(1?
?
)c
所有取不到值的集合为
?
?2x,x?0
10. 已知
f
?
x
?
?
?
2
，方程
f
?
x
?
?x1?x
2
?f
?
x
?
?21?x
2
?2a?4?0有三
?
x?1,x?0
个根
x
1
?x
2
?x
3
.若
x
3
?x
2
?2(x
2?x
1
)
，则实数a=
二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上
11. 设
f
1
(x)?x
2
?32,f
n?1
(x)?x
2< br>?
16
f
n
(x),n?1,2,?.
对每个n，求
f
n
(x)?3x
的
3

实数解。
x
2
y
2
?1
的右焦点为F，过F的直线
y?k(x?2)
交椭圆于P，Q两12. 已知椭圆
?
62
点（
k?0
），若PQ的 中点为原点，直线ON交直线x=3于M.
（1）求∠MFQ的大小；
PQ
（2）求的最大值.
MF
13. 设数列
?
a
n
?
满足：a
n?1
?2a
n
?2,a
n
?2,n?1,2,3,?，证明：如果
a
1
为有理数，
则从某项后
?
a
n
?
为周期数列。
14. 设
a
1
,a
2
,a
3
;b
1
,b
2
,b
3
?Z
?
，证明：存在不全为零的数
?
1
,
?< br>2
,
?
3
?
?
0,1,2
?
，使得
?
1
a
1
?
?
2
a
2
?
?
3
a
3
和
?
1
b
1
?
?
2
b
2
?
?
3
b
3
同 时被3整除.
1,2,?,n
?
的一个排列，记
F
?
?< br>?
?
?
a
i
a
i?1
,a
n?1< br>?a
1
，求15. 设
?
?
?
a
1
,a
2
,?,a
n
?
为
?
i?1
n
minF
?
?
?
.









答案：
一、填空题
1. -4128 2.2 3.
?
0,2
?
4.
2k
?
?
?
2
(k?Z)
5.
(?2,1]?[2,??)

?
6
14
?
6.5 7.
210?3?1
8.
?
0,arctan
13?1)?(4,??)

?
9.
(??,
7
?
13
?
10.
17?3

2
二、解答题
11. 证明：利用数学归纳法.
（1）x=2是
f
n
(x)?3x
的解
当n=1时，x= 2是
f
1
(x)?x
2
?32?3x
的解.

当n=k时，设
f
k
(2)?6
则
f
k?1(2)?4?
16
f
k
(2)?6
.
3
由此 可得x=2是
f
n
(x)?3x
的解（对于所有的n）.

3
2
x
.
2
3
当n=1时，
f
1
(x)?x
2
?32?3x?x
2
(x?2)
.
2
（2）当x>2时，
f
n
(x)?3x?
当n=k时，设
f
k
(x)?3x
，则
f
k?1
(x)?x
2< br>?
16
f
k
(x)?x
2
?1?3x
. < br>3
由此可得0f
n
(x)?3x
的解（对于所 有的n）.
因此，对于每个n，
f
n
(x)?3x
的实数解为x=2
?
x
2
y
2
?1
?
?
12. 解 ：（1）联立
?
6
，可得
(3k
2
?1)x
2?12k
2
x?12k
2
?6?0
.
2
?< br>y?k(x?2)
?
设P点的坐标为
?
x
p
,yp
?
，Q的坐标为
?
x
q
,y
q
?< br>.

12k
2
12k
2
?6
则
x< br>p
?x
q
?
2
,x
p
x
q
?
.
3k?13k
2
?1
于是有
y
p
? y
q
?k
?
x
p
?x
q
?
?4k ?
?4k
.
3k
2
?1
?
6k
2
?2k
?
1
?
,
因为PQ的中点为N，所以
N
?
，因此ON的斜率为，
k??
MF
?
3k
2
?1 3k
2
?1
?
k
??
即得
k
MF
k
PQ
??1
，因此MF与PQ垂直，∠MFQ=
2
?
.
2
2
?
x
p
?x
q
?
?k
2
(x
p
?x
q
)
2
?
PQ
?
2
?k
2
(x
p
?x
q
)
2?k
2
?
x
p
?x
q
?
?4x
p
x
q
（2）
I?
??
?
1
?
MF
?
1?
2
k
??
?
144k
22k
2
?1
?
k
2
?1
2
?k
?
2
?24
2
?
?24k
.
2
22
(3k?1)3k?1
3k?1
??
2
??
令
u?3k

2
?
u?1
?
(u?2)
??
16
(
1
?1
，则
I?8
3u
2
21116
?
?
11
?
9
?
??)?????
?
?
?
，
2
3u2u23
?
?< br>?
u4
?
16
?
?

13. 证明：（ 1）若
a
1
为有理数，则
?
a
n
?
为一个 有理数数列
y
,(y,x)?1
，由已知条件，有且仅有下述一个等式
x< br>2y?2x2y?2x
成立：
a
n?1
?2a
n
?2 ?
或
a
n?1
?2a
n
?2?
.
a
n
与
a
n?1
有相同的分母
xx
（不约分）.
（2）对于任意的n，设
a
n
?
（3）设
a
1
?< br>b
q
,(p,q)?1
，则
a
n
?
n
,b
n
为整数，由于
a
n
?2,n?1,2,3,?,
因 此
pp
?2p?b
n
?2p

（4）若存在两个自然数k?l
，使得
a
k
?a
i
，则由（2）中得到的
a
n?1
?2a
n
?2?
2y?2x2y?2x
或
a
n?1
?2a
n
?2?
递推公式以及
a
n?2
，
xx
n=1,2,3，…，可得
?
a
n
?
从k项开始是一个周期数列，周期为
l?k

（5）由（3）可知对于任意 的n，
b
n
的值只有4p+1（有限个），故总能找到
k?l
，使得
b
k
?b
l
，从而由
a
k
?a< br>l
.
综上所述，如果
a
l
为有理数，则从某项后
?
a
n
?
为周期数列.
14.证明：不妨设
a
i< br>?k
k
(mod3),b
i
?l
i
(mod3),k
i
,l
i
?
?
0,1,2
?
,i?1,2 ,3
．则要证明结论
正确，只要证明存在不全为零的数
?
1
,
?
2
,
?
3
?
?
0,1,2
?
，使得
?
1
k
1
?
?
2
k
2?
?
3
k
3
?
?
1
l
1?
?
2
l
2
?
?
3
l
3(mod3)?0(mod3)
．(*)
记
k
1
I
2
?k
2
I
1
?c(mod3)
，这里
c?
?
0,1,2
?
．
情形（1）当时，则
k
1
?l
1
?0
，或者
k
1
,l
1
不全为零． < br>若
k
1
?l
1
?0
，则取
?
1?1,
?
2
?
?
3
?0
，有（*）式成立．
若
k
1
,l
1
不全为零，不妨设
k
1?0
，则取
?
1
?k
2
,
?
2
??k
1
,
?
3
?0
，且
?
?
1
k
1
?
?
2
k
2
?
?
3
k
3
?k
2
k
1
?k
1
k< br>2
?0(mod3)
即(*)式.
?
?
l?
?l?
?
l?kl?kl?0(mod3)
332112
?
112 2
情形（2）当c=1或2时，即
c
2
?1(mod3)
．
记
c(k
2
l
3
?k
3
l
2
) ?c
1
(mod3),c(k
3
l
1
?k
1
l
3
)?c
2
(mod3)
，这里
c
1
,c
2
?
?
0,1,2
?
．

令< br>?
1
?c
1
,
?
2
?c
2
,
?
3
?1
，则
?
1
,
?
2,
?
3
?
?
0,1,2
?
且不全为零，且 < br>?
1
k
1
?
?
2
k
2
?< br>?
3
k
3
?c
1
k
1
?c
2
k
2
?c
3
k
3
?c(k
2
l
3
?k
3
l
2
)k
1
?c(k
3
l
1
?k
1
l
3
)k
2
?k3
(mod3)

?ck
3
(k
2
l
1
?k
1
l
2
)?k
2
(mod3)?(1?c< br>2
)k
3
(mod3)?0(mod3)

类似可以证明?
1
l
1
?
?
2
l
2
??
3
l
3
?0(mod3)
．
综上所述，可以取到不 全为零的数
?
1
,
?
2
,
?
3
?
?
0,1,2
?
，使得（*）式成立
15.解：问题等价于圆周上 放置
r
i
个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值
记为
T
n
．不妨设
a
1
?n
，则数字1必与它相邻，否则设
a< br>j
=1（
j?2
，
r
i
），则可
将
a
2
,a
3
,?,a
j
，的数字改变为
a
j
,a
j?1
,?,a
2
上的数字，则相邻数的乘积和的该变
量为
a
1
a
j
?a
2
a
j?1
?a
1
a
2
?a
j
a
j?1
?(a
1
?a
j?1
)(a
j
?a
2
)?0
．
于是可确定
a
2
?1
．再说明数字2也必与数字
r
i
相邻，即
a
n
?2
．
事实上，若
a
j
=2（
j?n
），则交换
a
n
,a
n?1
,?,a
j
为
a
j
,a
j?1
,?,a
n
，此时的目标改
变值为
a
1
a
j
?a
n< br>a
j?1
?a
1
a
n
?a
j
aj?1
?(a
1
?a
j?1
)(a
j
?an
)?0
.
因此目标取到最小值时，
a
1
?n,a< br>2
?1,a
n
?2
．由此出发，依次可得
a
3
?n?1,a
n?1
?n?2
． 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都 小，
则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端
数字大，则 在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律
即得
a
4
?3,a
n?2
?4,a
5
?n?3,a
n?3
?n?4, ?
．
下面用递推法计算
T
n
．
考虑n+2个数字，我 们在
T
n
的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这
两个数字，在 ，n+1的中间插入n+2，1，即可得到
T
n?2
．
因此，
T< br>n?2
?T
n
?(n?1)?(n?2)?2(n?2)?2(n?1)
，
其中
T
n
?
?
(a
i
?1)(a< br>i?1
?1)?T
n
?n(n?2)
，
i?1
n< /p>

2
由此可得
T
n?2
?T
n
?n?4 n?5
，
?
1
3
1
2
5
n?n?n?1 ,n?2m
?
?
626
可以推出
T
n
?
?

1151
?
n
3
?n
2
?n?,n?2 m?1
?
262
?
6