2017全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A卷一试
一、填空题
1.设
f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意实数
x
有
f(x?3)?f( x?4)??1
.又当
0?x?7
时，
f(x)?log
2
(9?x)
，则
f(?100)
的值为__________.
2.若实数
x,y
满足
x?2cosy?1
，则
x?cosy
的取值范 围是__________.
2
x
2
y
2
??1
，
F
为
C
的上焦点，
A
为
C
的3.在平面 直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的方程为
:
910
右 顶点，
P
是
C
上位于第一象限内的动点，则四边形
OAPF
的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是
5.正三棱锥
P?ABC
中，
AB?1
，
AP?2
，过AB
的平面
?
将其体积平分，则棱
PC
与
平面
?
所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系
xOy
中，点集
K?(x,y)x,y??1,0,1
?
.在
K
中随机取出 三个点，则这
三点中存在两点之间距离为
5
的概率为__________.
7.在
?ABC
中，
M
是边
BC
的中点，
N是线段
BM
的中点.若
?A?
?
?
3
，
?ABC
的面积为
3
，则
AM?AN
的最小值为________ __.
8.设两个严格递增的正整数数列
?
a
n
?
,?
b
n
?
满足：
a
10
?b
10?2017
，对任意正整数
n
，有
a
n?2
?a
n?1
?a
n
，
b
n?1
?2b
n
，则
a
1
?b
1
的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设
k,m
为实数，不等式
x
2
? kx?m?1
对所有
x?
?
a,b
?
成立.证明：
b?a?22
.

10.设
x
1
,x
2
,x
3
是非负实数，满足
x
1
?x
2
? x
3
?1
，求
(x
1
?3x
2
?5x3
)(x
1
?
小值和最大值.















x
2
x
3
?)
的最
3511.设复数
z
1
,z
2
满足
Re(z
1)?0
，
Re(z
2
)?0
，且
Re(z
1< br>)?Re(z
2
)?2
（其中
Re(z)
表示
复数< br>z
的实部）.
（1）求
Re(z
1
z
2
)
的最小值；
（ 2）求
z
1
?2?z
2
?2?z
1
?z
2
的最小值.
22

2017年全国高中数学联赛A卷二试
一.如 图，在
?ABC
中，
AB?AC
，
I
为
?ABC< br>的内心，以
A
为圆心，
AB
为半径作圆
?
1
，
以
I
为圆心，
IB
为半径作圆
?
2
，过 点
B,I
的圆
?
3
与
?
1
,
?< br>2
分别交于点
P,Q
（不同于点
B
）.设
IP
与
BQ
交于
点
R
.证明：
BR?CR

二.设数列
?
a
n
?
定义为
a
1
?1
，
a< br>n?1
?
?
?
a
n
?n,a
n
?n ,
?
a
n
?n,a
n
?n,
n?1,2,?
.求满足
a
r
?r?3
2017
的正整数
r
的个 数.

三.将
33?33
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜 色的小方格的个数相等.若相
邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条 数的最小值.

四.设
m,n
均是大于1的整数，
m?n
，
a
1
,a
2
,?,a
n
是
n
个 不超过
m
的互不相同的正整数，
且
a
1
,a
2,?,a
n
互素.证明：对任意实数
x
，均存在一个
i(1?i ?n)
，使得
a
i
x?






2
x
，这里
y
表示实数
y
到与它最近的 整数的距离.
m(m?1)
2017年全国高中数学联赛A卷
一试答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2017年全国高中数学联赛A卷
二试答案

一.


二.

三.

四.