高中数学竞赛试题(模拟)有答案

高中数学竞赛试题(模拟)
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只
有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的 偶函数，若
f(x)?g(x)?x?9x?12
，则
2
A．
3
2
0.5
B．
6

2
C．
23

3
D．
26

3< br>9.设
x?0.82,y?sin1,z?log
3
7
，则x、y、z 的大小关系为 ( )
f(x)?g(x)?
( )
A．
?x
2
?9x?12
B．
x
2
?9x?12
C．
?x
2
?9x?12
D．
x
2
?9x?12

2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=
sinx?cosx
④
y?
sinx
cosx

其中在
(0,
?
2
)
上为单调增函数的是 ( )
A．① B．② C．①和③ D．②和④
3.方程
x
2
?x?1?x
?
x
2
?1
?(x
2
?1)
?
x
的解集为A(其中π为无理数，π=3.141?，x为实数)，则
A中所有元素 的平方和等于 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4.已 知点P(x,y)满足
(x?4cos
?
)
2
?(y?4sin?
)
2
?4(
?
?R)
，则点P(x,y)所在区域的 面积为
A．36π B．32π C．20π D．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里 球
的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.已知数列{
a
n
}为等差数列，且S< br>5
=28，S
10
=36，则S
15
等于 ( )
A．80 B．40 C．24 D．-48
7.已知曲线C：
y??x
2
?2x
与直线
l:x?y?m?0
有两个交点，则m的取值范围是 ( )
A．
(?2?1,2)
B．
(?2,2?1)
C．
[0,2?1)
D．
(0,2?1)

8.过正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
的截面面积为S，S
max
和S
min
分别为S的最大值和最小
值，则
S
max
S
的值为 ( )
min
A．x10 .如果一元二次方程
x
2
?2(a?3)x?b
2
?9?0
中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二
次方程有两个正根的概率P= ( )
A．
11
18
B．
9
C．
1
6
D．
13
18

二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
设P是椭圆
x
2
16
?
y
2
11.
9
?1
上异于长轴端点 的任意一点，F
1
、F
2
分别是其左、右焦点，O为中心，
则
|PF
2
1
|?|PF
2
|?|OP|?
___________.
12.已知△ABC中，
AB?a,AC?b
，试用a
、
b
的向量运算式子表示△ABC的面积，即S
△ABC
=
____________________.
13.从3名男生和n名女生中，任选3人参 加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为
34
35
，则
n=______ ____.
14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1 人胜其余4
人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分 ，共68分）
15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若
f(f(x))?x
，则称x为f(x)的“稳
定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定 点”的集合分别记为A和B，即
A?{x|f(x)?x
}
B?{x|f[f(x)]?x}
.
(1). 求证：A
?
B < br>(2).若
f(x)?ax
2
?1(a?R,x?R)
，且
A ?B?
?
，求实数a的取值范围.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在 上衣及裤子
要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？
组 A B C D
上衣(件) 8 9 7 6
裤子(条) 10 12 11 7










17.设数列
{a
n
}
满足条件：
a
1
?1,a
2
?2
，且
a
n?2
?a
n?1
?a
n
(n?1,2,3,?
)
求证：对于任何正整数n，都有
n
a
1
n?1
?1?

n
a
n














18.在周长为定值的△ ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为
7
25
.
(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
(2).过点A作直线与(1)中的 曲线交于M、N两点，求
|BM|?|BN|
的最小值的集合.














19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ ABC内的任一点，OP与三
侧面所成的角分别为α、β、
?
.
求证：?
2
?
?
?
?
?
?
?3arcsin
3
3

参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA
二、填空题：
11. 25 12.
1
2
(|a|?|b|)
2
?(a?b)
2
13. 4 14. 1
三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A
?
B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A
?
B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
ax
2
?1?x
的实根.
由 A≠φ，知 a=0 或
?
?
a?0
1
4a?0
即
?
??1?
a??
4

B中元素是方程
a(ax
2
?1)
2
?1?x
即
a
3
x
4
?2a
2
x
2
?x?a?1?0
的 实根
由A
?
B，知上方程左边含有一个因式
ax
2
?x? 1
，即方程可化为

(ax
2
?x?1)(a2
x
2
?ax?a?1)?0

因此，要A=B，即要方程
a
2
x
2
?ax?a?1?0
①
要么没有实根，要么实根是方程
ax
2
?x?1?0
② 的根.
若①没有实根，则
?
2
2
?a?4a
2
( 1?a)?0
，由此解得
a?
3
4

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
a
2
x
2
?ax?a
，代入①有 2ax+1=0.
由此解得
x??
1
2a
,再代入②得
1
4a
?
1
2a
?1?0,
由此解得
a?
3
4
.
故 a的取值范围是
[?
13
4
,
4
]

16.解：A、B、 C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：
8976
10
,
12,
11
,
7
，且
6
7
?
8
10
?
9
12
?
7
11
①
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.

由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7- x)天做裤
子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即
y?9?
6x
7
.
令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9 (
9?
6x2
7
)=123+
7
x

因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即
μ
max
=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣， C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最
多，为125套.
17.证明：令
a
0
?1
,则有
a
a
k
k?1
?a
k
?a
k?1
，且
1
?
a
?
a
k?1
(k
?
1,2,
?
)

k?1
a
k?1
n
于是
n?
?
a
k
n
?
k?1
a
?
a
k?1< br>
k?1
k?1
a
k?1
由算术-几何平均值不等式，可得
1?
n
a
1
a
a
a
a
a
?
a
2
a
???
n
+
n
0
?1
???
n?1
23
a
n?1
aa

23
a
n?1
注意到
a
0
?a
1
?1
，可知
1?
1
n
a
?
1
n?1
n
a
，即
n
a
n?1
?1?
1

n
a
n?1
n
a
n
18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)
为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
因为
cosC?
|CA|
2
?|CB|
2
?6
2
2|CA||CB|
?
(|CA|?|CB|)< br>2
?2|CA||CB|?36
2|CA||CB|
?
2a
2
?18
|CA||CB|
?1

又
|CA|?|CB|? (
2a
2
)
2
?a
2
，所以
cosC?1?
18187
2
a
2
，由题意得
1?
a
2
?
25
,a?25
.
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
所以C点的轨迹方程为 < br>x
2
y
2
25
?
16
?1(y?0)

(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x
1
,y
1
) ,N(x
2
,y
2
).当直线MN的倾斜角不为90
0
时， 设其方

(
1
25
?
k
22
程为 y=k(x+3) 代入 椭圆方程化简，得
16
)x
2
?
3
8
k
2
x?(
9k
16
?1)?0

显然有 △≥0， 所以 < br>x??
150k
2
225k
2
?400
1
? x
2
16?25k
2
,x
1
x
2
?
16?25k
2

而由椭圆第二定义可得
|BM|?|BN|?(5?
3
5
x
39
1
)(5?
5
x
2< br>)?25?3(x
1
?x
2
)?
25
x
1< br>x
2
k
2
?
144
?25?
450k
2
81k
2
?144531k
2
?144531

531
16?25k
2
?
16?25k
2
?25?
16?25k
2
?25?
25
?
k
2
?
16
25
k
2
?
14416144
只要考虑
53 1
?
的最小值，即考虑
1?
25531
k
2
?1616
取最小值，显然.
25
k
2
?
25
当k=0时，
|BM|?|BN|
取最小值16.
当直线MN的倾斜角为90
0
时，x
1
=x
2
=-3,得
|BM|?|BN|?(
34
5
)
2
?16

但
x
2
y
2
25
?
16
?1( y?0)
，故
k?0
，这样的M、N不存在，即
|BM|?|BN|
的最小值的集
合为空集.
19.证明：由 题意可得
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?1
，且α 、β、
?
?(0,
?
2
)

所以
s in
2
?
?1?sin
2
?
?sin
2
?
?
1
2
(cos2
?
?cos2
?
)?c os(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)

因为
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
，所以
sin
2
?
?cos
2
(
?
?
?
)?sin
2
[
?
2< br>?(
?
?
?
)]

当
?
?
?
?
?
2
时，
?
?
?
?
?
?
?
2
.
当
?
?
?
?
?时，
?
?
?
22
?(
?
?
?
)
，同样有
?
?
?
?
?
?
?
2

故
?
?
?
?
?
?
?
2

另一方面，不妨设
?
?
?
?
?
，则
s in
?
?
3
3
,sin
?
?
3
3

令
sin
?
3
1
?
3
,si n
?
3
1
?1?(
3
)
2
?sin
2
?
，
则
sin
2
?
22
1?sin
?
?sin
?
1
?1

sin
2
?
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos(
?
1
?
?
1
)cos(< br>?
1
?
?
1
)

因为
?
1
?
?
1
?
?
?
?
，所以
co s(
?
1
?
?
1
)?cos(
?
?
?
)

所以
cos(
?
?
?
)?co s(
?
1
?
?
1
)

所以
?
?
?
?
?
1
?
?
1

如果运用调整法，只要α、β、
?
不全相等，总可通过调整，使
?
1
?
?
1
?
?
1
增大.
所以，当α=β=
?
=
arcsin
33
3
时，α+β+
?
取最大值 3
arcsin
3
.
综上可知，
?
3< br>2
?
?
?
?
?
?
?3arcsin
3