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2001年全国高中数学联赛试题及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:32
tags:高中数学联赛

穿根法高中数学学吗-高中数学常用比较大小方法有哪些


二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10月4日上午8:00—9:40)
题号
得分
评卷人
复核人









13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意:1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D) 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请
将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分 ;不选、选错或选的代表字母超过一个(不
论是否写在括号内),一律得0分。
1、已知a为 给定的实数,那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子 集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
以上三个命题中正确的有
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,
?
)上单调递增的偶函数是
2
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A)k=8
3
(B)0

1
1
2
2 (D

)05、若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a 1x+a2x2+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为
(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001
6、已知6技玫瑰与3枝康乃馨和价格之和大于24元,而4技玫瑰与5枝康乃馨和 价格之和小于22元,
则2 枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是
(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高(C)价格相同 (D)不确定
填空题(本题满分24分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
1
的短轴长等于 。
2?cos
?
3
8、若复数z
1
,z
2
满足|z
1< br>|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=-I,则 z
1
z
2
= 。
2
7、椭圆
?
?
9、正方体ABCD—A
1
B
1C
1
D
1
的棱长为1 ,则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是 。
10、不等式
13
?2?
的解集为 。
log
1
x2
2
第1页 共8页


11、函数
y?x?x
2
?3x?2
的值域为 。
F
E
A
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图), 要求同一场块中种同一种植物,
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,则有 种
栽种方案。
二、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、设{a
n
}为等差数列,{b
n
}为等比数列,且
b
1
?a1

b
2
?a
2

b
3
?a
3
(a
1
2
),又
n???
B
C
D
22
2
lim(b
1
?b
2???b
n
)?2?1
,试求{a
n
}的首项与公差。
x
2
2
2
14、设曲线C
1
:
2
?y? 1
(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
a
(1) 求实数m的取值范围(用a表示);
(2) O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当01
时,试求⊿OAP的面积的最大值(用a表示 )。
2
15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、(a
1
> a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中
应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明 你的结论。








二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10月4日上午10:00—12:00)
学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、(本题满分50分)
如图:⊿ABC中,O为外心,三条高AD 、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于
点M,FD和AC交于点N。求证:(1)OB⊥DF,O C⊥DE;(2)OH⊥MN。

二、(本题满分50分)
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
?
x
i?1
n
2
i< br>?2
1?k?j?n
?
n
k
x
k
x
j
?1
,求
?
x
i
的最大值与最小值。
j
i?1
三、(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干 边长均为正整数的正方形,每个
正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。

第2页 共8页


2001年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
一.选择题:CBDDCA
二.填空题
7.
23
3
8.
2
7
?
3072
?i
1313
9.
6
6

10.
(0,1)?(1,2)?(4,??)
11.
[1,
3
)?[2,??)
2
12. 732
三.解答题
13.设所求公差为d,∵a
1
<a
2
,∴d>0.由此得
22

a
1
(a
1
?2d)
2?(a
1
?d)
4
化简得:
2a
1
?4a
1
d?d
2
?0

解得:
d?(?2?2)a
1
……………………………………………………… 5分

?2?2?0
,故a
1
<0

d?( ?2?2)a
1
,则
q?
2
a
2
2
a1
2
a
2
2
a
1
?(2?1)
2

d?(?2?2)a
1
,则
q??(2?1)
2
……………………………… 10分

lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
存在,故| q |<1,于是
q?(2?1)
2
不可能.
n???
从而< br>2
a
1
1?(2?1)
2
?2?1?a
1
2
?(22?2)(2?1)?2

所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
?
x
2
2
?
2?y?1
14.解:(1)由
?
a
消去y得:
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0

?
y
2
?2(x?m)
?

f(x) ?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
,问 题(1)化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根.
只需讨论以下三种情况:
a
2
?1
1°△=0得:
m?
,此时x
p
=-a
2
,当且仅当-a<-a
2
<a,即0<a<1时适合;
2
2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a;
3°f (-a)=0得m=a,此时x
p
=a-2a
2
,当且仅当-a<a -2a
2
<a,即0<a<1时适合.
第3页 共8页


f (a)=0得m=-a,此时x
p
=-a-2a
2
,由于-a-2a2
<-a,从而m≠-a.
a
2
?1
综上可知,当0<a<1时,
m?
或-a<m≤a;
2
当a≥1时,-a<m<a.……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S?
∵0<a<
1
ay
p

2
1
,故-a<m≤a时, 0<
?a
2
?aa
2
?1?2m
<a,
2
由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

显然当m=a时,x
p
取值最小.由于x
p
>0,从而y< br>p

1?
x
2
p
a
2
取值最大,此 时
y
p
?2a?a
2
,∴
S?aa?a
2

a
2
?1
1

m?
时,x
p
=-a
2
,y
p

1?a
2
,此时
S?a1?a
2

2
2
1
下面比较
aa?a
2

a1?a
2
的大小:
2
11

aa?a
2
?a1?a
2
,得
a?

2
3
111
故当0<a≤时,
aa?a
2

a1?a
2
,此时
S
max
?a1?a
2

2
32
111

?a?
时,
a a?a
2
?a1?a
2
,此时
S
max
?aa?a
2
.……… 20分
2
32
15.解:设6个电阻的组件(如图 3)的总电阻为R
FG
,当R
i
=a
i
,i=3,4, 5,6,R
1
、R
2
是a
1
、a
2
任意排列时,R
FG
最小 …………………………………………………… 5分
证明如下:
1.设当两个电阻R
1
、R
2
并联时 ,所得组件阻值为R,则
111
.故交换二电阻的位置,不改
??
RR
1
R
2
变R值,且当R
1
或R
2
变小时,R也减 小,因此不妨取R
1
>R
2

2.设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R
AB

显然R
1
R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3< br>?
12

R
1
?R
2
R
1
?R
2
+R
2
越大,R
AB
越小,所以为使R
AB

小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个.
3.设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为

R
CD

第4页 共8页


111
??
R
CD
RAB
R
4
?
R
1
R
2
?R
1
R
3
?R
1
R
4
?R
2
R
3
?R
2
R
4
R
1
R
2
R4
?R
1
R
3
R
4
?R
2
R
3
R
4
1?i?j?4

若记
S
1
?
?
RR
ij
,


S
2
?
1?i?j?k?4
?
R
i
Rj
R
k
,则S
1
、S
2
为定值,于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R3

S
1
?R
3
R
4
只有当 R
3
R
4
最小,R
1
R
2
R
3< br>最大时,R
CD
最小,故应取R
4
<R
3
,R
3
<R
2
,R
3
<R
l
,即得总电阻的阻值最< br>小 ………………………………………………………………………… 15分
4°对于图3 把由R
1
、R
2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
A B
代替.要使R
FG
最小,由3°必需使R
6
<R
5

且由1°应使R
CE
最小.由2°知要使R
CE
最小,必需使R
5
<R
4
,且应使R
CD
最小.
而由3 °,要使R
CD
最小,应使R
4
<R
3
<R
2且R
4
<R
3
<R
1

这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20分










2001年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准

一.证明:(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF=∠BAC
又∠OBC=
1
(180°-∠BOC)=90°-∠BAC
2
∴OB⊥DF.
(2)∵CF⊥MA
∴MC
2
-MH
2
=AC
2
-AH
2

∵BE⊥NA
∴NB
2
-NH
2
=AB
2
-AH
2

∵DA⊥BC
∴BD
2
-CD
2
=BA
2
-AC
2

∵OB⊥DF
∴BN
2
-BD
2
=ON
2
-OD
2

∵OC⊥DE
第5页 共8页


∴CM
2
-CD
2
=OM
2
-OD
2
⑤ …………………………………… 30分
①-②+③+④-⑤,得
NH
2
-MH
2
=ON
2
-OM
2
MO
2
-MH
2
=NO
2
-NH
2

∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分
另证:以BC所在直线为x轴,D为原点建立直角坐标系,
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),则
k
AC
??
∴直线AC的方程为
y??
aa
,k
AB
??

cb
ac
(x?c)
,直线BE的方程为
y?(x?b)

ca
c
?
y?(x?b)
?
a
2
c?bc
2
ac
2
?abc
?
a
,

?
得E点坐标为E(
2
)
222
a
a?c a?c
?
y??(x?c)
?
c
?
a
2
b ?b
2
cab
2
?abc
,
同理可得F(
2
)
a?b
2
a
2
?b
2
acc
?(x?)

2a2
b?c
直线BC的垂直平分线方程为
x?

2
acc
?
y??(x ?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2
,

?
得O()
22a
?
x?
b?c
?
2
?
直线AC的垂直平分线方程为
y?

k
OB
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b2
,k
DF
ab
2
?abcab?ac
?
2< br>?
2

2
ab?bca?bc

k
OB
k
DF
??1
∴OB⊥DF
同理可证OC⊥DE.
在直线BE的方程
y?
bc
c
)
(x?b)
中令x=0得H(0,
?
a
a
bc?a
2
bc
?
a
2
?3bc
2aa

k
OH
?

?
b?c
ab?ac
2
ab?ac
x
直 线DF的方程为
y?
2
a?bc
ab?ac
?
y?x
?
a
2
c?bc
2
abc?ac
2
?
a
2
?bc
,
2

?
得N (
2
)
22
a?2bc?ca?2bc?c
?
y??a
(x?c)
?
c
?
第6页 共8页


a
2
b?b
2
cabc?ab
2
同理可得M (
2
)
,
222
a?2bc?ba?2bc?b

k
MN
a(b
2
?c
2
)(a
2
?bc)ab?ac
???
222
(c?b)(a?bc)(a?3bc)a?3bc
∵k
OH
·k
MN
=-1,∴OH⊥MN.
二.解:先求最小 值,因为
(
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
nn
x
i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x< br>k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
ni
≥1
等号成立当且仅当存在i使得x
i
=1,x
j
=0,j=i

?
x
i?1
n
i
最小值为1. …………………………………………………………… 10分
再求最大值,令
x
k
?ky
k


?
ky
k?1
n
2
k
?2
1?k?j?n
?
ky
n
k
y
j
?1

?
y
1
?y
2
?
?
?y
n
?a< br>1
?
y
2
?
?
?y
n
?a
2
?

ky
k
, 令
?
??
?
?
y
n
?a
n
?

M?
?
x?
?
k
k?1k?1
n
222
则①?
a
1
?a
2
???a
n
?1
…………………………………………………… 30分
n

a
n ?1
=0,则
M?
nn
?
k?1
k(a
k
?a
k?1
)

nnn

?
?
k? 1
ka
k
?
?
k?1
ka
k?1
?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
n
k?1a
k
?
?
(
k?1
2
k?k?1)a
k
由柯西不等式得:

M?[
?
(
k ?1
n
k?k?1)](
2
1
2
?
k?1
n
2
2
a
k
)
1
?[
?
(
k?1
k?k?1)]

1
2
22
2
a
k
a
n
a
1
?
?
??
?
?
等号成立?

22
1
(k?k?1)(n?n?1)
22 2
a
1
?a
2
?
?
?a
n
2a
k

?
1?(2?1)
2
?
?
?(n?n?1)
2
k?k?1
[
?
(k?k?1)
2< br>

?a
k
?
?
(
k?1
n
(k=1,2,…,n)
1
2
k?k?1)
2
]
第7页 共8页


由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
,从而
y
k
?a
k
?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
?
(
k?1
n
k?k?1)
2
]
1
2
?0
,即x
k
≥0
所求最大值为
[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]< br>2
…………………………………………… 50分
1
三.解:记所求最小值为f (m,n),可义证明f (m,n)=rn+n-(m,n) (*)
其中(m,n) 表示m和n的最大公约数 …………………………………………… 10分
事实上,不妨没m≥n
(1)关于m归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为rn+n-(m,n)
当用m=1时,命题显然成立.
假设当,m≤k时,结论成立(k≥1). 当m=k+1时,若n=k+1,则命题显然成立.若n<k+1,从
矩形ABCD中切去正方形AA< br>1
D
1
D(如图),由归纳假设矩形A
1
BCD
1< br>有一种分法使得所得正方形边长之和恰
为m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原 矩形ABCD有

D

D
1
C
一种分法使得所得正方形边长之和为rn+n-(m,
n) …………………………………… 20分
n
(2)关于m归纳可以证明(*)成立.
当m=1时,由于n=1,显然f (m,n)=rn+n-(m,n)
假设当m≤k时,对任意1≤n≤m有f (m,n)=rn+n-(m,
m
A
1
A B
n)
若m=k+1,当n=k+1时显然f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n).
当1≤n≤k时,设矩形ABCD按要求分成 了p个正方形,其边长分别为a
l
,a
2
,…,a
p

不妨a
1
≥a
2
≥…≥a
p

显然a
1
=n或a
1
<n.
若a
1
<n,则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界).于
是a
1
+a
2
+…+a
p
不小于 AB与CD之和.
所以a
1
+a
2
+…+a
p
≥2m>rn+n-(m,n)
若a
1
=n,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别 为a
2
,…a
p
的正方形,由归
纳假设
a
2
+…+a
p
≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n)
从而a
1
+a
2
+…+a
p
≥rn+n-(m,n)
于是当rn=k+1时,f (m,n)≥rn+n-(m,n)
再由(1)可知f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50分

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