2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
2
（
x?0
）的图像上任意一点，过点
P
分别向
x
直线
y?x
和
y
轴作垂线，垂足分别为
A,B
， 则
PA?PB
的值是_____________.
1.设
P
是函 数
y?x?
6.设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且当< br>x?0
时，
f(x)?x
．若对任意的
x?[a,a?2]
，
不等式
f(x?a)?2f(x)
恒成立，则实数
a
的取值范围是_ ____________.
?
1?1
?sin?
的所有正整数
n
的和是_____________.
4n3
8．某情报站有
A,B,C, D
四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
7．满足
上周未使用 的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使
用
A
种 密码的概率是_____________.（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
9． （本小题满分16分）已知函数
f(x)?asinx?
131
cos2x?a??, a?R,a?0

2a2
（1）若对任意
x?R
，都有
f( x)?0
，求
a
的取值范围；
（2）若
a?2
，且存在< br>x?R
，使得
f(x)?0
，求
a
的取值范围．


10．（本小题满分２０分）已知数列
?
a
n
?
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
n
，
都有
(a
1
?a
2
?
3
?a
n
)
2
?a
1
3
?a
2
?
3
?a
n

（1）当
n?3
时，求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2< br>,a
3
;
（2）是否存在满足条件的无穷数列
{a
n
}
，使得
a
2013
??2012?
若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．




1

11．（本小题满分20分）
如图5，在平面直角坐 标系
XOY
中，菱形
ABCD
的边长为
4
，且
OB ?OD?6
．
（1）求证：
|OA|?|OC|
为定值；
（2） 当点A在半圆
(x?2)?y?4
（
2?x?4
）上运动时，求
点
C
的轨迹．






22







三、（本题满分50分）
,P
n
是平面上
n?1
个点，它 们两两间的距离的最小值为
d(d?0)
设
P
0
,P
1< br>,P
2
,
求证：
P
0
P
1
?P0
P
2
?







d
P
0
P
n
?()
n
(n?1 )!

3

2

四、（本题满分50分）
设
S
n
?1?
11
??
，
n
是正整数．证 明：对满足
0?a?b?1
的任意实数
a,b
，数列
n
中有 无穷多项属于
(a,b)
．这里，
[x]
表示不超过实数
x
的最大整数．
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
3
2
{S
n
?[S
n
]}














































[来源:学.科.网]

参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．
１． 设
P
是函数
y?x?
轴作垂线，垂
足分别为
A,B
，则
PA?PB
的值是 ．
2
（
x?0
）的图像上任意一点，过点
P
分别向直线
y?x
和
y
x
２． 设
?ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且满足
acosB?bcosA?
则
3
c
，
5

tanA
的值是 .
tanB
【答案】4
[来源:学&科&网Z&X&X&K]

３．设
x,y,z?[0,1]
，则
M?|x?y|?|y?z|?|z?x|
的最大值
是 .
【答案】
2?1
因为
[来源:学&科&网]

【解析】不妨 设
0?x?y?z?1,
则
M?y?x?z?y?z?x.

y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).

1
时上式等号同时成立.故
M
max
?2?1.

2
所以
M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1.

当且仅当
y?x?z?y,x?0,z?1,y?

4.抛物线
y? 2px(p?0)
的焦点为
F
，准线为ｌ，
A,B
是抛物线上的两个 动点，且满足
2
?AFB?
|MN|
?
．设线段ＡＢ的中点
M
在ｌ上的投影为
N
，则的最大值
|AB|
3
[来源:]< br>是 .
【答案】1

4 < /p>

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
MN?
222
A F?BF
.

2
在
?AFB
中,由余弦定理得
AB ?AF?BF?2AF?BFcos
?
3

?(AF?BF)
2?3AF?BF
?(AF?BF)
2
?3(
AF?BF
2
2
?()?MN.

2
当且仅当
AF?BF
时等号成立. 故
AF?BF
2
)
2
MN
的最大值为1.
AB

5．设同底的两个正三棱锥
P?ABC
和
Q?ABC
内接于同一个球．若正三棱锥
P?ABC
的
侧面与底面所成的角为
4 5
，则正三棱锥
Q?ABC
的侧面与底面所成角的正切值
是 ．

6. 设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且当x?0
时，
f(x)?x
．若对任意的
x?[a,a?2]
，< br>不等式
f(x?a)?2f(x)
恒成立，则实数
a
的取值范围是 ．
【答案】
[2,??).

?
７．满足
1?1
?sin?
的所有正整数
n
的和是 ．
4n3

【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当
x?(0 ,
?
6
)
时,
3
?
x?sinx?x,
由 此得

5

1
?
3
?
1
?,sin???,

1313412
?
124
??
1
?
3
?< br>1
sin??,sin???.
所以
101039
?
93?
1
???
1
?
sin??sin?sin?sin??sin .


1
?
1
故满足
?sin?
的正整数< br>n
的所有值分别为
10,11,12,
它们的和为
33
.
4n3
sin?

８．某情报站有
A,B,C,D
四种互不 相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种． 设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也
使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
??
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
９．（本小题满分１６分）已知函数
f(x)?asinx?

131
cos2x?a??,a?R,a?0

2a2
（１）若对任 意
x?R
，都有
f(x)?0
，求
a
的取值范围；
（２）若
a?2
，且存在
x?R
，使得
f(x)?0
，求
a
的取值范围．
１０．（本小题满分２０分）已知数列
?
a
n
?
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
n
，
都有

(a
1
?a
2
?
3
?a
n)
2
?a
1
3
?a
2
?
3
? a
n

（１）当
n?3
时，求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2
,a
3
;

6