高中数学竞赛平面几何定理

高中数学竞赛专题讲座
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1． 勾 股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平
方和，减去这两 边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平
方等于其他两边的平方和，加上 这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有
AB
2
?AC
2
?2(AP
2
?BP
2
)
；
中 线长：
m
a
?
2b
2
?2c
2
?a
2
2
．
4． 垂线定理：
AB?CD?AC
2
?AD< br>2
?BC
2
?BD
2
．
高线长：
h
a
?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)?
bc
sinA?cs inB?bsinC
．
aa
5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成
比例．
如 △ABC中，AD平分∠BAC，则
BD
DC
?
AB
AC
； （外角平分线定理）．
角平分线长：
t
a
?
2
sinA< br>b?c
sinB
bcp(p?a)?
2bcA
．
cos
（其中
p
为周长一半）
b?c2
6． 正弦定理：< br>a
?
b
?
c
?2R
，（其中
R
为三 角形外接圆半径）．
sinC
7． 余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
8． 张角定理：
sin?BAC
?
sin?BAD
?
sin?DAC
．
ADACAB
9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有
AB2
·DC+AC
2
·BD－AD
2
·BC＝BC·DC·BD．
10．
11．
12．
13．
圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）
弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．
圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）
布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角
线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．
14． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d
2< br>－
r
2
就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A
、B，则PA·PB= |d
2
－r
2
|．“到
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两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直 线，如果此二圆相交，则该轨迹
是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”． 三个圆两两的
根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
15． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即
AC·BD=AB ·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．
16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB
于P、Q，求证：MP=QM．
17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于
到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于 到
另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它
对三 条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三
角形有一内角不小于 120°时，此角的顶点即为费马点．
18． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ ABD、△BCE、△CAF，则
AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿 破仑定理． 以△ABC
的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C
1
、⊙A
1
、⊙B
1
的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C
1
、⊙A
1
、⊙B
1
三圆共点，外拿破仑三
角形是一个等边三角形； △ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、
△CAF，它们的外接圆⊙C2
、⊙A
2
、⊙B
2
的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙
C
2
、⊙A
2
、⊙B
2
三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个 拿破仑三
角形还具有相同的中心．
19． 九点圆（Nine point round或 欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶
点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连 线的中点，这九个点在同一个圆上，
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．
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20． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧
拉线）上．
21． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的
距离为d，则d
2
=R
2
－2Rr．
22．
23．
G(
锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．
重心：三 角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；
x
A
?x
B
?x
C
y
A
?y
B
?y
C

,)
33
重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D 为BC的中点，
则
AG:GD?2:1
；
（2）设G为△ABC的重心， 则
S
?ABG
?S
?BCG
?S
?ACG
?S?ABC
；
（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E， 过G作
PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，
则< br>DEFPKH2DEFPKH
???;???2
；
BCCAAB3BCCAAB
1
3
（4）设G为△ABC的重心，则
①
BC
2
?3GA
2
?CA
2
?3GB
2
?AB
2
?3GC
2
；
②
GA
2?GB
2
?GC
2
?(AB
2
?BC
2
?CA
2
)
；
③
PA
2
?PB
2?PC
2
?GA
2
?GB
2
?GC
2
?3PG
2
（P为△ABC内任意一点）；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点 是重心，即
GA
2
?GB
2
?GC
2
最小； < br>⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，
则G为△ABC的 重心）．
24． 垂心：三角形的三条高线的交点；
1
3
abcabcx
A
?x
B
?x
C
y
A
?y
B
?y
C
cosAcosBcosCcosAcosBcosC
H(,)
abcabc
????
cosAcosBcosCcosAcosBcosC< br>垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；
（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；
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（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；
（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则
?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO ??HCA
．
25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；
I(
ax
A
?bx
B
?cx
C
ay
A
?by< br>B
?cy
C
,)

a?b?ca?b?c
内心性质： （1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；
（2）设I为△ABC的 内心，则
?BIC?90???A,?AIC?90???B,?AIB?90???C
； < br>（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；
反之，若< br>?A
平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，
则I为△ ABC的内心；
（4）设I为△ABC的内心，
BC?a,AC?b,AB?c,

?A
平分线交BC于D，交△ABC外
接圆于点K，则
AIAKIKb?c< br>；
???
IDKIKDa
1
2
1
2
12
（5）设I为△ABC的内心，
BC?a,AC?b,AB?c,
I在
BC,AC,AB
上的射影分别为
D,E,F
，
内切圆半径为
r，令
1
p?(a?b?c)
，则①
S
?ABC
?pr< br>2
；②
AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c
；③< br>abcr?p?AI?BI?CI
．
26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外 接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相
sin2Ax
A
?sin2Bx
B< br>?sin2Cx
C
sin2Ay
A
?sin2By
B
?sin2Cy
C
,)

sin2A?sin2B?sin2Csin2A?sin2B?sin2C
等；
O(
外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；
（2）设O为△ABC的外心 ，则
?BOC?2?A
或
?BOC?360??2?A
；
（3）
R?
接圆半径之和．
27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交 点——旁切圆圆心；设△ABC的三边
1
(a?b?c)
，分别与
BC,AC ,AB
外侧相切的旁切圆圆心记为
2
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abc
4S
?
；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外
BC?a,AC?b,AB?c ,
令
p?

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I
A
,I
B
,I
C
，其半径分别记为
r
A
,r
B< br>,r
C
．
旁心性质：（1）
?BI
A
C?90?? ?A,?BI
B
C??BI
C
C??A,
（对于顶角B，C也有类似 的
式子）；
（2）
?I
A
I
B
I
C?(?A??C)
；
（3）设
AI
A
的连线交△ABC的外接 圆于D，则
DI
A
?DB?DC
（对于
BI
B
,C I
C
有同样的
结论）；
（4）△ABC是△I
A
I
B
I
C
的垂足三角形，且△I
A
I
B
I
C
的外接圆半径
R'
等于△ABC的直径
为2R．
28． 三角形 面积公式
ott
1
2
1
2
1
2
：
t
S
?ABC
?
11abc
ah
a
?absinC ??2R
2
sinAsinBsinC
?
224R
4(
a< br>2
?b
2
?c
2

A?ccB?coCo)
?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)
，其中
h
a
表示
BC< br>边上的高，
R
为外接圆半径，
r
为内切圆半
径，
p?
1
(a?b?c)
．
2
29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：
ABCABCABCABC
r?4Rsi nsinsin;r
a
?4Rsincoscos,r
b
?4Rcossin cos,r
c
?4Rcoscossin;
222222222222
ra
?
rrr1111

,r
b
?,r
c
?;???.
BCACAB
r
a
r
b
r
c
r
tantantantantantan
222222

30． 梅涅劳 斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不
BPCQAR< br>???1
．（逆定理也成
PCQARB
经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q、R则有
立）
31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交 边CA于Q，∠C的
平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．
32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的
切 线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．
33． 塞瓦(C eva)定理：设X
、
Y
、
Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点 ，则AX、
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AZBXCY
B Y、CZ所在直线交于一点的充要条件是
ZB
·
XC
·
YA
=1．
34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别
是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．
35．
36．
塞瓦定理的逆定理：（略）
塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三 角形的三条高线
交于一点，三角形的三条角分线交于一点．
37． 塞瓦定理的逆定理的应用 定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切
于点R、S、T，则AR、BS、CT交于 一点．
38． 西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA 、AB或
其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松
线Simson line）．
39．
40．
西摩松定理的逆定理：（略）
关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松
线互相垂直 ，其交点在九点圆上．
41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任 三点作三角
形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．
42． 史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P
的西摩松线通过线 段PH的中心．
43． 史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、 AB的对
称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P
关于△ABC的镜象线．
44． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条 对角线的中
点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．
45．
46．
牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．
笛沙格定理1： 平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、
B和E、C和F）的连线交于一 点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共
线．
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47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△A BC、△DEF，设它们的对应顶点（A
和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其 延长线相交，则这三个
交点共线．
48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点 为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC
交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mo d2
?
) ．
49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接 圆上的三点，若P、Q、R
关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩 松线交于与前
相同的一点．
50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的 交点是A、B、C、P、Q、
R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线 段的中点．
51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西 摩
松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC
的西 摩松线交于一点．
52． 波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线 ，设垂足分
别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M 、
N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．

53． 卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别
成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点
共线．
54． 奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的
外 接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC
的三边 BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．
55． 清宫定理： 设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边
BC、CA、AB的对称点分别 是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或
其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F三点共线．
56． 他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、
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AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、Q V、QW和边BC、CA、AB或其延长
线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点： P、Q分别为圆O的半径
OC和其延长线的两点，如果OC
2
=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）
57． 朗古来定理：在同一圆周上有A
1
、B
1
、C
1
、D
1
四点，以其中任三点作三角形，在
圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引
垂线，则四个垂足在 同一条直线上．
58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些 垂线交
于该三角形的九点圆的圆心．
59． 一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的 重心，向该圆周的在其余一点处的
切线所引的垂线都交于一点．
60． 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的
连线所引的垂线共点．
61． 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于
四个 三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同
一直线上．这条 直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．
62． 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、 C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点
的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边 形ABCD的康托尔线、M、L
两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L 三点关于四边形
ABCD的康托尔点．
63． 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D 、E五点及M、N、L三点，则M、N、
L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中 的每一个康托尔点在一条直线上．这
条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔 线．
64．
65．
费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．
莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，
则这样的三 个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．
66． 布利安松定理：连结外切 于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C
和F，则这三线共点．
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67． 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形 ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、
CD和FA的（或延长线的）交点共线．
68． 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为
1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周
上．这个 圆称为阿波罗尼斯圆．
69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中 任三点作三角
形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．
70． 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条 直线相交于A、B、C、D、E、F
六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△ DCF，则这四个三角形的
外接圆共点，这个点称为密格尔点．
71． 葛尔刚（Gergo nne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，
则AE、BF、CD三线共 点，这个点称为葛尔刚点．
72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角 形中的任意一点，
S
?DEF
|R
2
?d
2
|．
?
S
?ABC
4R
2
过M向三边作垂线，三个垂足 形成的三角形的面积，其公式：



平面几何的意义
就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事
件． < br>罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之
所以这么说 ，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．
天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍， 想要自杀来结束自己那份下
层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前， 头戴假
发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而
这个 魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在
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一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离 开之前想到去做最后的光顾？
而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后 竟被遗忘
了．
罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学 生的潜
力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟
大的 怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥
的反复争论之后，只是他 的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来
构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意 接受这些公理．
公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼 罗
河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文
明时代即 “希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，
是从雅典转移到了埃及的 亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出
的科学成就，其中就包括欧几里德的几何 学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏
几何”．
“欧氏几何”以它无与伦比的完美体 系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意
把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳 的几个极其简单的“自明性
公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密 依存的
定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无
出其 右．
★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在
平 面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这
是一个历史名题 ，近几年仍有不少文献对此介绍．
★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用 拿破仑这个名子
来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？ 少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任
过炮兵军官，对与 射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！
史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧
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高中数学竞赛专题讲座
几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国 数学家提出了“如何用圆规
将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法 国之
前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上
的真知灼 见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们
最后有个请求，你来给大家上 一次几何课吧！”
你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几 何史上
有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而
且还 是一个很有趣的三角形．
在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△C AF，则AE、AB、CD
三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．
以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、
⊙ 、⊙ 、的圆心构成的△ ——外拿破仑的三角形．⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，外
拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．
△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们
的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 的圆心构成的△ ——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共
点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．
由于外拿破仑三角 形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相
同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一 位军事家、政治家，同时还是一位受
异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质 是否更让你非
常惊讶、有趣呢？
★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个 欧拉点〔连结三角形各顶点与垂
心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－p oint circle〕,或欧
拉圆,费尔巴哈圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题 ,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几
〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年 的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的
是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1 820－1821年间由法国数学家热而工
〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师 费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研
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高中数学竞赛专题讲座 < br>究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,
文中费尔 巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆
为费尔巴哈圆.
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
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