高中数学人民教育出版社公式-中专如何自学高中数学
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.
已知△ABC,若对任意
t?R
,
BA?tBC?AC
,则△ABC一定为
A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定
【答案】 ( )
2
2.
设
log
x
(2x?x?1)?log
x
2
?1
,则
x
的取值范围为
A.
?x?1
B.
x?
1
2
1
( )
,且 x?1
C.
x?1
D.
0?x?1
【答案】
2
5. 设
f(x)?x
3
?log
2
x
?x
2
?1
,则对任意实数
a,b
,
a?b?0
是
f(a)?f(b)?0
的
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D.
既不充分也不必要条件 【答案】 ( )
6. 数码
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
2006
中有奇数个9的2020位
十进制数
2a
1
a
2
a
3
La
2006<
br>的个数为
A.
?
?
1
20062006
1
(10?8)
B.
(10
2006
?8
2006
)
C.
10
2006
?8
2006
D.
10
2006
?8
2006
【答
22
案】( )
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.
设
f(x)?sinx?sinxcosx?cosx
,则
f(x)
的值域是
。
8. 若对一切
?
?
R,复数
z?(a?cos
?)?(2a?sin
?
)i
的模不超过2,则实数
a
的取值范围
为 .
44
x
2
y
2
??1
的左右焦点
分别为
F
1
与
F
2
,9. 已知椭圆点
P
在直线
l
:
x?3y?8?23?0
164
上. 当
?F
1
PF
2
取最大值时,比
PF
1
PF
2
的值为 .
10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径
为
1
cm的实心铁球,四个球两两相切,
2
其中底层两球与容器底面相切.
现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注
3
水 cm.
11.
方程
(x
2006
?1)(1?x
2
?x
4
?L?
x
2004
)?2006x
2005
的实数解的个数为 .
12. 袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则第4
次
恰好取完所有红球的概率为 .
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
15. 设
f(x)?x
2
?a
. 记
f
1
(x)?f(x)
,
f
n
(x)?f(f
n?1
(x))
,n?2,
3,L
,
M?a?R对所有正整数 n, f
n
(0)?2
.
证明:
1
??
M?
?
?2,
?
.
4
??
2020年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(考试时间:上午10:00—12:00)
一、以
B
0
和
B
1
为焦点的椭圆与△
AB
0
B
1
的边
AB
i
交于
C
i
(
i
=0,
1)。在AB
0
的延长线上任取点
P
0
,以
B
0
为圆心,
B
0
P
0
为半径
作圆弧
P
0<
br>Q
0
交
C
1
B
0
的延长线于
Q0
;以
C
1
为圆心,
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
0
P
1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
;
以
B
1
为圆心,
B<
br>1
P
1
为半径作圆弧
P
1
Q
1
交<
br>B
1
C
0
的延长线于
Q
1
;以
C<
br>0
为圆心,
C
0
Q
1
为半径作圆弧
Q
1
P′
0
,交
AB
0
的延长线于
P′
0
。试证:
(1)点
P′
0
与点
P
0
重合
,且圆弧
P
0
Q
0
与
P
0
Q
1<
br>相内切于
P
0
;
??
(2)四点
P
0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1
共圆。
一试参考答案
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.【答案】 ( C )
【解析】令
?ABC?
?
,过A作AD?BC
于D。由
BA?tBC?AC
,推出
uuur
2<
br>uuuruuur
2
uuur
2
uuur
2
BA?2
tBAgBC?tBC?AC
uuuruuur
BAgBC
,令
t?
uuur
2
BC
,代入上式,得
uuur
2
uuur2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
2
uuur
2
22
BA?2BAcos
?
?cos
?
BA?AC
,即
BAsin
?
?AC
, 也即
uu
uruuuruuuruuur
?
BAsin
?
?AC
。从而有AD?AC
。由此可得
?ACB?
。
2
3.【答案】 ( C )
【解析】
5x?
a?0
?x?
ab
;
6x?b?0
?x?
。要使
A
?B?N?
?
2,3,4
?
,则
56
?
b
1??2
?
?
6?b?12
?
6
11
,即。所以数
对
?
a,b
?
共有
C
6
C
5
?3
0
。
?
?
?
20?a?25
?
4
?
a
?5
?
5
?
4.【答案】 ( A ) <
br>【解析】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为
x
轴,AC为
y
轴
,AA
1
为z轴,
则
F(t
1
,0,0)
(
0?t
1
?1
),
E(0,1,)
,
G(,0,1),
D(0,t
2
,0)
(
0?t
2
?1
)。所以
uuuruuur
11
EF?(t
1
,?1,?)
,
GD?(?,t
2
,?1)
。因为
GD?EF
,所以<
br>t
1
?2t
2
?1
,由此推出
22
uuu
r
uuur
21
1
0?t
2
?
。又
DF?
(t
1
,?t
2
,0)
,
DF?t
1
2<
br>?t
2
2
?5t
2
2
?4t
2
?1
?5(t
2
?)
2
?
,
55
2
r
1
uuu
?DF?1
。 从而有
5
1
2
1
2
6、 【答案】( B )
【解析】出现奇数个9的十进制数个数有
A?C
2006
9
1200532
005
?C
2006
9
2003
?L?C
2006
9
。又由
于
(9?1)
2006
?
?
C
k?0
2006
k
2006
9
2006?k
以
及
(9?1)
2006k
?
?
C
2006
(?1)
k
9
2006?k
,从而得
k?0
2006
1<
br>132005
A?C
2006
9
2005
?C
200
6
9
2003
?L?C
2006
9?(10
2006
?8
2006
)
。
2
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
?
55
?
8.【答案】
?
?,
?
。
55
??
【解析】依题意,得
z?2
?(a?cos
?
)?(2a?sin
?
)?4
22
?2a(cos
?
?2sin
?
)?3?5a
2
??25asin(
?
?
?
)?3?5a
2
(
?
?arcsin
1
)(对任
5
意实数
?
成立)
?25a?3?5a
?a?
2
?
5
5
5
?
a
,
. 故 的取值范围为
?
?
?
。
5
55
??
9. 【答案】
3?1
【解析】 由平面几何知,要使
?F
1
PF
2
最大,则过<
br>F
1
,F
2
,
P
三点的圆必定和直线
l相
切于
P
点。设直线
l
交
x
轴于
A<
br>(?8?23,0)
,则
?APF
1
??AF
2
P<
br>,即
?APF
1
:?AF
2
P
,
即
2
PF
1
AP
(1),又由圆幂定理,
?
PF2
AF
2
,而
F
A
(?8?23,0)
,从而
有
AF
AP?AF
1
?AF
2
(2)
1
?
8
,
1
(?23,0)
,
F
2
(23,0)
,
,(2)得
AF
2
?8?43
。代入(1)
PF
1
PF
2
?
AF
1
AF
2
?
8
?4?23?3?1
。
8?43
12. 【答案】0.0434
【解析】第4次恰好取完所有红球的概率为
2?
9
?
18291
?
8
?
21
???
??????
??
??
=0.0434.
10
?
10
?
1010101010
?
10
?
1010<
br>三. 解答题(本题满分60分,每小题20分)
22
n?n
2
?4
13. 【证明】 因为
y?nx?1
与
y?x
的交点为
x
0
?y
0
?
.显然有
2
2
x
0
?
1
?n
。
x
0
mm
2
m
若
(x
0
,y
0<
br>)
为抛物线
y?kx?1
与直线
y?x
的一个交点,则
k?x
0
?
1
. 记
x
0
m
k
m
?x
0
m
?
11
k?k(x?)?k
m?1
?nk
m
?k
m?1
,
(m?2)
(13.1) ,则
m?1m0
x
0
m
x
0
由于
k
1
?n
是整数,
k
2
?x0
?
2
11
2
?(x?)?2?n
2
?2也是整数,所以根据数学归纳
0
2
x
0
x
0
m
法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数
m
,
k
m
? x
0
?
1
是正整数. 现在对于任意
x
0
m
正整数
m
,取
k?x
0
?
m
1
mm
2
y?kx?1
,使得与的交点为
y?x
(x,y)
.
00
m
x
0
15. 【证明】(1)如果
a??2
,则
f
1
(0)?|
a|?2
,
a?M
。
1
nn?12
1
,由题意
f(0)?a
,
f(0
)?(f(0))?a
,
n?2,3,L
. 则
4
111
n1
① 当
0?a?
时,
f(0)?
(
?n?1
).
事实上,当
n?1
时,
f(0)?a?
,
422
设
n?k?1
时成立(
k?2
为某整数),则对
n?k
,
(2)如果
?2?a?
?
1
?
11
f
k
(
0)?f
k?1
(0)?a?
??
??
.
?
2<
br>?
42
2
2
(3)当
a?
11
n
时
,记
a
n
?f(0)
,则对于任意
n?1
,
an
?a?
且
44
。对于任意
2
a
n?1
?f
n?1
(0)?f(f
n
(0))?f(a
n
)?a
n
?a
n?1
,
1111
2
a
n?1?a
n
?a
n
?a
n
?a?(a
n
?
)
2
?a??a?
,
则
a
n?1
?a
n
?a?
。 所以,
244411
2?a
时,
a
n?1
?n(a?)?a?2?a?a?2<
br>,即
a
n?1
?a?a
n?1
?a
1
?n(
a?)
。当
n?
1
44
a?
4
1
??f
n?1
(0)?2
。因此
a?M
。综合(1)(2)(3),
我们有
M?
?
?2,
?
。
4
??
2020年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、(本题满分50分)以
B
0
和
B
1
为焦点的椭圆与△<
br>AB
0
B
1
的边
AB
i
交于
Ci
(
i
=0,1)。在
AB
0
的延长线上任取点
P
0
,以
B
0
为圆心,
B
0
P
0
为半径作圆弧
P
0
Q
0
交
C
1
B
0
的延长线于
Q
0
;以
C
1
为圆
心,
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
0
P1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
;以B
1
为圆心,
B
1
P
1
为半径作圆弧
P
1
Q
1
交
B
1
C
0
的延长线于
Q
1
;以
C
0
为圆心,
C
0
Q<
br>1
为半径作圆弧
Q
1
P′
0
,交
AB
0
的延长线于
P′
0
。试证:
(1)点
P′
0
与点
P
0
重合,且圆弧
P
0
Q
0
与
P
0
Q
1
相内切于
P
0
;
P
1
(2)四点
P
0
、
Q
0
、
Q<
br>1
、
P
1
共圆。
A
S
1
【解析】
证明:(1)显然
B
0
P
0
=
B
0
Q0
,并由圆弧
P
0
Q
0
和
Q
0
P
1
,
Q
0
P
1
和
P
1
Q
1
,
P
1
Q
1
和
Q
1
P′
0
分别相内切于点
Q
0
、
P
1
、<
br>Q
1
,得
C
1
B
0
+
B
0
Q
0
=
C
1
P
1
,
B
1
C
1
+
C
1
P
1
=
B
1
C
0
+
C
0
Q
1
以及
C
0
Q
1
=
C
0
B
0
+
B
0
P′
0
。四
式相加,利用
B
1
C
1+
C
1
B
0
=
B
1
C
0+
C
0
B
0
以及
P′
0
在
B
0
P
0
或其延长
线上,有
B
0
P
0
=
B
0
P′
0
。
Q
1
C0
从而可知点
P′
0
与点
P
0
重合。由于圆弧
Q
1
P
0
的圆心
C
0
、圆
C1
弧
P
0
Q
0
的圆心
B
0
以
及
P
0
在同一直线上,所以圆弧
Q
1
P
0
和
P
0
Q
0
Q
0
B
0
相内切于点
P
0
。
B
1
R
1
(2)现在分别过点<
br>P
0
和
P
1
引上述相应相切圆弧的公切线
P
0
P
0
T
和
P
1
T
交于点
T。又过点
Q
1
引相应相切圆弧的公切线
R
1
S
1
,
分别交
P
0
T
和
P
1
T于点
R
1
和
S
1
。连接
P
0
Q
1
和
P
1
Q
1
,得等腰三角形
P
0
Q
1
R
1
和
P
1
Q
1
S
1
。基于此,我
们可由
∠
P
0
Q
1
P
1
=π?∠
P
0
Q
1
R
1?∠
P
1
Q
1
S
1
=π?(∠
P1
P
0
T
?∠
Q
1
P
0
P<
br>1
)?(∠
P
0
P
1
T
?∠
Q1
P
1
P
0
)
而π?∠
P
0
Q
1
P
1
=∠
Q
1
P
0
P1
+∠
Q
1
P
1
P
0
,代入上式后,
即得
T
11
,同理可得
?P
0
Q
1
P?
?
?(?PPT??PPT)?PQP?
?
?(?P
1100100
11
P
0
T??P
0
P
1
T)
。所
22
以四点
P
0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1
共圆。
二、(本题满分50分)已知无穷数列{
a
n
}满足
a
0
=
x
,
a
1
=
y
,
a
n?1
?
a
n
a
n?
1
?1
,
n
=1、2、…。
a
n
?a
n
?1
(1)对于怎样的实数
x
与
y
,总存在正整数
n
0
,使当
n
0
≥
n
时
a
n
恒为
常数?
(2)求数列{
a
n
}的通项公式。
(2)由(2.3)
和(2.4),我们得到
记
b
n
?
a
n
?1an?1
?1a
n?2
?1
??
,
n
≥2。 <
br>a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
(2.
7)
a
n
?1
,则当
n
≥2时,
a
n
?1
2232
b
n
?b
n?1
b
n?2<
br>?(b
n?2
b
n?3
)b
n?2
?b
n?
2
b
n?3
?(b
n?3
b
n?4
)b
n
?3
?b
n?3
b
n?4
??
由
此递推,我们得到
a
n
?1
y?1
F
n?1
x?1
F
n?2
?()?()
,
n
≥2,
a
n
?1y?1x?1
(2.8)
(2.9)
(2.10)
这里
F
n
=
F
n
?1+
F
n
?2
,
n
≥2,
F
0
=
F
1
=1。
由(2.9)解得
F
n
?
11?5
n?1
1?5
n?1
[()?()]
。
225
上式中的
n
还可以向负向延伸,例如
F
?1
=0,<
br>F
?2
=1。
这样一来,式(2.8)对所有的
n
≥0都成立。由(2.8)解得
(x?
1)
F
n?2
(y?1)
F
n?1
?(x?1)
F
n?1
(y?1)
F
n?2
,
n
≥0。
a
n
?
F
n?2
F
n?1
F
n?1
F
n?2
(x?1)(y?1)?(x?1)(y?1)
式(2.11)中的
F
?1
、
F
?2
由(2.10)确定。
(2.11)
2020年全国高中数学联赛加试试题的另解
2020年全国高中数学联赛加试第一题
以
B
0
和
B1
为焦点的椭圆与
?AB
0
B
1
的边
ABi
交于
C
i
(i?0,1)
。在
AB
0
的延长线
?
上任取点
P
0
,以
B
0
为圆
心,
B
0
P
0
为半径作圆弧
P
0
Q
0
交
C
1
B
0
的延长线于
Q
0
;以
C
1
为
?
圆心,
C
1
Q
0
为半径作圆弧
Q
1
为半径作圆
0
P
1
交
B
1
A
的延长线于
P
1
;以
B
1
为圆心,
B
1
P
弧
?
P
1Q
1
交
B
1
C
0
的延长线于
Q
1
;以
C
0
为圆心,
C
0
Q
1
为半径作圆弧
Q
1
P
0
,交
AB
0
的延<
br>'
?
长线于
P
0
。
试证:
'
?
?
(1) 点
P
0
与点
P
0
重合,且圆弧
P
0
Q
0
与
P
0
Q
1
相切于点
P
0
;
'
(2) 四点
P<
br>0
、
Q
0
、
Q
1
、
P
1<
br>共圆。(原题图略)
第(1)问的证明略,下面着重讨论第2问的另一种证明方法: <
br>构思:证明四点共圆,如果能找(或猜测)到该圆的圆心,转而证明圆心到四点距离相
等,也是一
个常用的方法,那么圆心究竟在哪里?
试验:由题意可以知道:
C
1
B0
?C
1
B
1
?C
0
B
1
?
C
0
B
0
=常数(大于
B
0
B
1
)。
利用《几何画板》制作如图1所示的试验场景,其中圆
O
为四边形
P<
br>0
Q
0
Q
1
P
1
的外接圆。
C
1
B
0
= 4.07852
厘米
C
1
B
1
= 1.87466
厘米
C
0
B
1
= 4.61694
厘米
C
0
B
0
= 1.33625 厘米
A
C<
br>1
B
0
+C
1
B
1
= 5.95318
厘米
C
0
B
1
+C
0
B
0
=
5.95318 厘米
P
1
C
1
O
C
0
Q
1
B
1
B
0
Q
0
P
0
拖
动点A观察圆心O的位置变化
图1
拖动点
A
,观察圆心
O
位置的变化,猜测点
O
可能是
?AC
1
B
0
的内心
与
?AC
0
B
1
的内
心(这两个三角形的内心可能是重合的
)。利用《几何画板》中的测量工具测得相关角的度
数,可以验证这个猜想是正确的!
所以我们就有了下面的另解:
证明:首先证明
?AC
1
B
0
的内心与
?AC
0
B
1
的内心重合:
假设这两个三角形的内心不重合,并设
O
为
?AC
1
B
0
的内心,
M
、
N
、
F
分别为切点。
则可从点
B
1
引圆
O
的切线与圆
O
切于点
E
、与线段
AB
0
交于点
D
,而且点
D<
br>与点
C
0
∴
DB
1
?DB
0
?C<
br>1
B
1
?C
1
B
0
又因为 C
0
B
1
?C
0
B
0
?C
1
B
1
?C
1
B
0
,
P
1
∴
DB
1
?DB
0
?C
0
B
1
?C
0
B
0
∴
DB
1
?DC
0
?C
0
B
1
,这与点
D
与点
C
0
不重合矛
盾,所以假设不成立,因此:
?AC
1
B
0
的内心与
O
A
?AC
0
B
1
的内心重合。 C
1
C
0
Q
1
设
?AC
1
B
0
、
?AC
0
B
1
的内心为
O
,
如图3。
B
1
B
0
Q
0
由于直线
OC
0
平分
?AC
0
B
1
,又
C
0
Q
1
?C
0
P
,∴直
'
'
线
OC
0
垂直平
分线段
P
0
Q
1
,∴
OP
0
?OQ
1
P
0
'
0
同理:
直线
OB
0
垂直平分线段
P
0
Q
0
,∴
OP
0<
br>?OQ
0
直线
C
1
O
垂直平分线段
P
1
?OQ
0
图3
1
Q
0
,∴
OP
直线
B1
O
垂直平分线段
P
1
Q
1
,∴
OP
1
?OQ
1