全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准

2015年全国高中数学联合竞赛一试
一．
填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。

1.
设
a
、
b
为不相等的实数，若二次函数
f(x)?x
2
?ax?b
满足
f(a)?f(b)
，则
f(2)
的
值为

2.
若实数
?
满足
cos
?
?tan< br>?
，则
1
?cos
4
?
的值为

s in
?
3.
已知复数数列
?
z
n
?
满足< br>z
1
?1,z
n?1
?z
n
?1?ni(n?1,2 ,???)
，其中
i
为虚数单位，
z
n
表示
zn
的共轭复数，则
z
2015
的值为

4.
在 矩形ABCD中，
AB?2,AD?1
,边
DC
上（包含
D
、
C
）的动点P与CB延长线上（包
含点B）的动点Q满足
DP?BQ
，则向量
PA
与向量
PQ
的数量积
PA?PQ
的最小值为

5.
在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系
xOy
中，点集
K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y? 6)?0
??
所对应的平面
区域的面积为

7.
设
w
是正实数，若存在
a,b(
?
?a?b?2
?
)
，使得
sinwa?sinwb?2
，则
w
的取值范围
是

8.
对四位数
abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)
，若
a ?b,b?c,c?d
，则称
abcd
为P类数；若
a?b,b?c,c?d
则称
abcd
为Q类数.用
N(P),N(Q)
分别表示P类数和Q 类数的个数，
则
N(P)?N(Q)
的值为

二．
解答题： 本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

9.
（本小题满分16分）若实数
a,b,c
满足
2
a?4
b
?2
c
,4
a
?2
b
?4c
，求c的最小值。

20分）设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是4个有理数，使得
10.
（本小 题满分
求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值。

x
2
F
1
,F
2
分别 是椭圆
?y
2
?1
的左、
11.
（本小题满分20分）在平 面直角坐标系
xOy
中，
2
右焦.设不经过焦点
F
1
的直线
l
与椭圆交于两个不同点
A,B
,焦点
F
2
到直线
l
的距离为
d
。如果直线
AF
1
,l,B F
1
的斜率依次成等差数列，求
d
的取值范围。

2015年全国高中数学联合竞赛加试

一、（本小题满分40分）设
a1
,a
2
,???,a
n
(n?2)
是实数，证明：可 以选取
?
1
,
?
2
,???,
?
n
?
?
?1,1
?
，
使得：

二、（本小题满分4 0分）设
S?
?
A
1
,A
2
,???,A
n
?
,其中
A
1
,A
2
,???,A
n< br>是
n
个互不相同的有限
集合（
n?2
），满足对任意
A
i
,A
j
?S
，均有
A
i
?A
j
?S
.若
k?minA
i
?2
.证明：存在
< br>1?i?n
n
x
?
U
A
i
，
使得< br>x
属于
A
1
,A
2
,???,A
n
中的至少个集合（这里
X
表示有限集合X的元素
i?1
n
k
个数）。

三、（本小题满分50分）

如图，
?ABC
内 接于圆
O
，P为弧
BC
上一点，点
K
在线段
AP< br>上，使得
BK
平分
?ABC
.
过
K,P
,< br>C
三点的圆
?
与边
AC
交于点
D
，连接BD
交圆
?
于点
E
，连接
PE
并延长与边

AB
交与点
F
.证明：
?ABC?2?FCB

四、（本小题满分50分）求具有下述性质的所有正整数
k
：对任意正整数
n
，
2
(k?1)n?1
不整除
(kn)!

n!
2015年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准

说明：

1.
评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他 各题的评阅，请
严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。

如果考生 的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考
本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5
分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。

1. 答案：4

【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，可得：
以

2. 答案：2

【解答】由条件可知
cos
2
?
?sin
?
，反复利用此结论，并注意到
cos
2
?
?sin
2< br>?
?1
，得

1cos
2
?
?sin
2
?
4
?cos
?
??sin
2
?
=< br>(1?sin
?
)?(1?cos
2
?
)?2?sin
?
?cos
2
?
?2

sin
?
sin
?
a?ba
??
，及
2a?b?0
.所
22

3. 答案：
2015?1007i

【解答】由已知，对一切正整数
n
，有

于是
z
2 015
?z
1
?1007?(2?i)?2015?1007i

4. 答案：

3
4
【解答】不妨设
A(0,0)
，
B(2,0)
，
D(0,1)
，设
P
的坐标为
( t,1)
（其中
0?t?2
），则由
DP?BQ
得点Q的作标为（2 ，-t），故
PA?(?t,?1)
，
PQ?(2?t,?t?1)
，因此< br>
1
2
3
4
当
t?
时，
(PA?P Q)
max
?

5. 答案：
2

55
【 解答】设正方体为
ABCD?EFGH
,它共有12条棱，从中任意取出3条的方法共有
3
C
12
?220
种。

下面考虑三条棱两两异面的取法 数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即
AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱 两两共面，因此取出的3条棱必属于3
个不同的方向.可先取定AB方向的棱，这有4种取法。不妨设取 的棱就是AB，则AD
方向只能取棱EH或者FG，共有2种可能.当AD方向取棱是EH或者FG时， AE方向
取棱分别只能是CG或者DH。

由上可知，3条棱两两异面的取法数为4*2=8，故所求概率为
82

?
22055

6.
答案：24


【解答】设
K
1
?
?
先考虑
K
1
在第一 象限中的部分，此时有
x?3y?6

(x,y)x?3y?6?0
?
，
故这些点对应于图中的
?OCD
及其内部.由对称性可知，
K
1
对应的区域是图中以原点
O为中心的菱形ABCD及其内部。

同理设
K
2
?
?
(x,y)3x?y?6?0
?
，则
K
2
对应的区域是图中O为中新的菱形EFGH及其
内部.由点集K的定义可知 ，K所 对应的平面区域是被
K
1
,K
2
中恰好一个所覆盖的部
分， 因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S

由于直线CD的方程为
x?3y?6< br>，直线GH的方程为
3x?y?6
，故他们的交点P的坐
标为
(,)< br>，由对称性可知：

13
S?8S
?CPG
?8??4??24
.

22
33
22
7. 答案：
w?[,]?[
95
42
13
,??)

4
【解答】由
sinwa?sinwb?2
可知，
sinwa?sinwb?1
，而
[wa,wb]?[w
?
,2w
?
]

故题目条件等价于：存在整数
k,l(k?l)
，使得

w
?
?2k
?
?
?
2
?2l
?
?
?
2
?2w
?
①

当
w?4< br>时，区间
[w
?
,2w
?
]
的长度不小于
4
?
，故必存在
k,l
满足 ①式。

当
0?w?4
时，注意到
[w
?
,2w
?
]?(0,8
?
)
，故仅需要考虑如下几种情况：

（1）
w
?
?
?
515
?
?
?2w
?
，此时
w?
且< br>w?
，无解；

2224
（2）
w
?
?5995
?
?
?
?2w
?
，此时有
?w?；

2242
91313913
?
?
?
?2w
?
，此时有
?w?
，得
?w?4

22424
（3）
w
?
?
8. 答案：285
< br>【解答】分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为0的P类数全体记为
A
0
，
个位数不等于0的P类数全体记为
A
1
.

对任 一个四位数
abcd
?A
1
，将其对应到四位数
dcba
， 注意到
a?b,b?c,c?d?1
，故

abcd
?B
. 反之，每个
dcba
?B
唯一对应于
A
1
中的元素
abcd
.这建立了
A
1
与B之间的
一一对应，因此有：

N(P)?N(Q)
=
A?B?A
0
?A
1
?B? A
0

下面计算
A
0
:对任一个四位数
abc0? A
0
,
b
可取
0,1,???,9
，对其中每个
b
，由
b?a?9
及
b?c?9
知，
a
和
c
分别有
9?b
种取法，从而

因此，
N(P)?N(Q)
=285.

二、解答题：本大题共3小 题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤。

9. 【解答】将
2
a
,2
b
,2
c
分别记为
x ,y,z
，则
x,y,z?0
.由条件可知：
x?y
2
?z ,x
2
?y?z
2

故
z
2
?y?x2
?(z?y
2
)
2
?z
2
?2y
2
z?y
4

y
4
?y11113
3
22< br>11
3
2y?
因此，结合平均值不等式可得，
z??(2y??)?? 3??2

2y
2
4yy4yy4
3
11
2
3
3
当
2y?
，即
y?
3
时，
z
的最小值为，符合要求）

2
（此时相应的
x
的值为
4< br>y
4
2
2
由于
c?log
2
z
，故
c
的最小值为
log
2
(
3
3
5
2)?log
2
3?

43
10. 【解答】由条件可知，
a
i
a
j
(1?i?j?4)
是6个互不相同的数，且其中没有两个 数
是互为相反数，由此知，
a
1
,a
2
,a
3,a
4
的绝对值互不相等，不妨设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
，
那么则有：

a
i
a
j
(1?i?j?4)
中最小的与次小的两个数分别是
a
1a
2
及
a
1
a
3
，最大与次大的两个
数分别是
a
3
a
4
，及
a
2
a
4
，从而必须有：

113
,a
3
?,a
4
???24
，故

8a
1
a
1
a
2
于是
a
2
??
结合
a
1
?Q
，只可能取
a
1
??

由此易知，
a
1
?,a
2
??,a
3< br>?4,a
4
??6
或
a
1
??,a
2
?,a
3
??4,a
4
?6

经检验知这两组解均满足问题的条件。

1
4
1
2
1
4
1
2
1
4

故
a
1?a
2
?a
3
?a
4
??

11. 【解答】由已知条件可知，点
F
1
,F
2
的坐标分别为
(? 1,0)
和
(1,0)
.

设直线
l
的方程为y?kx?m
，点A,B的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
和
(x
2
,y
2
)
，则
x
1,x
2
满足方程
x
2
?(kx?m)
2
?1< br>，即：

2
(2k
2
?1)x
2
?4kmx ?(2m
2
?2)?0
①

9
4
由于点A ,B不重合，且直线
l
的斜率存在，故
x
1
,x
2
是方程①的两个不同实根，因此有
①的判别式：

即有
2k
2
?1?m
2
②

y
1
yyy
、
k
、
2
依次成等差数列知，
1
?
2
?2k

x
1
?1x
2< br>?1x
1
?1x
2
?1
由直线
AF
1
,l,BF
1
的斜率
y
1
?kx
1
?m,y2
?kx
2
?m
，所以

化简并整理得，
(m ?k)(x
1
?x
2
?2)?0

若
m?k
，则直线
l
的方程为
y?kx?k
，即
l
经过点
F(?1,0)
，不符合条件。

因此有
x
1
?x
2
?2?0
，故由方程①及韦达定理知，
m?k?
4km
??(x< br>1
?x
2
)?2
，即

2k
2
?1
1
③

2k
由 ② ③可知，
2k
2
?1?m
2
?(k?
2
1< br>2
1

)
，化简得
k
2
?
2
，这等于
k?
2
2k4k

反之当
m,k
满 足③及
k
?
2
时，
l
必不经过点
F
1(否则将导致
m?k
，与③矛盾)

2
而此时
m,k< br>满足②，故
l
与椭圆有两个不同的交点A,B，同时也保证了
AF
1< br>,BF
1
的斜率
存在，（否则
x
1
,x
2< br>中某一个为-1，结合
x
1
?x
2
?2?0
知
x
1
?x
2
??1
与方程①有两个不同
的实根矛盾。）< br>
点
F
2
(1,0)
到直线
l:y?kx?m
的距离为

k?m
1?k
2
1
1?k
2
1
?
2k
11
(2?
2
)
③

2k
1
?1
k
2
d???2k?
注意 到
k?
2
，令
t?
2
1
?1
，则
t?(1,3)
，上式可改写为

2
k
1t
2
313
d??(?)??(t?)
④

t222t
考虑到函数
f(t)?(t?)
在
[1,3 ]
上单调递减，故由④可得，
f(3)?d?f(1)
，即

2015年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

说明：

1.
评阅试卷是，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

1
2< br>3
t
2.
如果考生的解答方法和本题解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评 卷时可参
考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、证明：我们证明：

(
?
a
i
)?(
?
a
i
?
2
i?1i?1
n
?n
?
?
2
?
??
?
n
?
j?
??
?1
?
2
?
?
a)
j
n2
?(n?1)(
?
a
i
2
)
①
< br>i?1
n
即对
i?1,???,[]
，取
?
i
?1
，对
i?[]?1,???,n
，取
?
1
??1符合要求.（这里，[
x
]表示实
数
x
的整数部分）

事实上，①的左边为：

?
n
?
?
2
?< br>??
i?1
?
n
?
?
2
?
??i?1
n
[]
2
i?1
n
2
n
2(
?
a
i
?
?
n
?
j?
??
?1
?
2
?
?
a)
j
n
2
?(
?
a
i
?
n
j?[]
2
?
a)
j
n
2
=
2(
?
a
i
)?2 (
2
n
j?[]?1
2
?
a)
j
n
2

n
nn
2
?2[](
?
a
i
)?2(n?[])(
?
a
2
j
)
（柯西不等式）

2
i?1
2
j?[
n
]?12
n
[]
2
n
nn?1
nn?1
2
=
2[](
?
a
i
)?2([
（利用
n?[]?[]
）

])(
?
a
2
)
j
22
2
i?1
2
n
j?[]?1
2< br>n
[]
2
?n(
?
a)?(n?1)(
2
i
i?1
n
[]
2
n
j?[]?1
2
?a
n
2
j
)
（利用
[x]?x
）

所以①式得证，从而本题得证。

二 、证明：不妨设
A
1
?k
，设在
A
1
,A
2
,???,A
n
中与
A
1
不相交的集合有
s个，重新记为
B
1
,B
2
,???,B
S
,设 包含
A
1
的集合有
t
个，重新记为
C
1
, C
2
,???,C
t
，由已知条件，
(B
i
?A< br>1
)?
S

即
(B
i
?A
1
)?{C
1
,C
2
,???,C
t
}
，这样我们 得到一个映射：

显然
f
是单映射，于是
s?t