1978全国高中数学联赛试题及解答

1978年全国高中数学竞赛题
一试题
1．已知
y=
log
1
1
，问当
x
为何值时，(Ⅰ)
y
>0；(Ⅱ)
y
<0？
x
+3
2
2．已知tan
x=
22 (180°<
x
<270°)，求cos2
x
，cos的值．
2< br>3．设椭圆的中心为原点，它在
x
轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点< br>与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．
4．已知方程2
x
－9
x
+8
=
0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．
5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上 层一个，两两相切，求
上层小球最高点离桌面的高度．
6．如图，设线段
AB
的中点为
M
，从线段
AB
上的另一点
C
向直线
A B
的一侧引线段
CD
，
令线段
CD
的中点为
N，
BD
的中点为
P
，
MN
的中点为
Q
，求证：直线
PQ
平分线段
AC
．
7．证明：当
n
、
k
都是给定的正整数，且
n
>2，
k
>2时，
n
(
n
－1)
偶数的和．
8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．
9． 已知直线
l
1
：
y=
4
x
和点
P
(6，4)，在直线
l
1
上求一点
Q
，使过
PQ
的 直线与直线
l
1
以及
x
轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小． 10．求方程组
?
?
?
x
+
y
+
z=
0，
k
－1
2
x
可以写成
n
个连 续
x
3
+
y
3
+
z
3
=
－18
的整数解．
二试题
1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四 边形的一条对角线平行，证明：
另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．
2．⑴ 分解因式：
x
+
x
+
x
+
x
+1．
⑵ 证明：对于任意角度
θ
，都有5+8cos
θ
+4cos2θ
+cos3
θ
≥0．
3．设
R
为平面上以
A
(4，1)、
B
(－1，－6)、
C
(－3，2)三点为顶点的三 角形区域(包括
三角形的边界)．试求当(
x
，
y
)在
R< br>上变动时，函数4
x
－3
y
的极大值和极小值．(须证明你
的 论断)
4．设
ABCD
为任意给定的四边形，边
AB
、
B C
、
CD
、
CA
的中点分别为
E
、
F、
G
、
H
，证明：


12963

11
四边形
ABCD
的面积≤
EG
?
HF
≤(
AB
+
CD
) · (
AD
+
BC
)．
22
5．设有十人各拿提桶一只到 水龙头前打水，设水龙头注满第
i
(
i=
1，2，…，10)个人
的 提桶需时
T
i
分钟，假定这些
T
i
各不相同，问：
(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间
(包括 各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)
(Ⅱ) 当有两个水龙头可用 时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为
最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)
6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大
的和一个 面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)

1978年全国高中数学竞赛题解答
一试题
1．已知
y=log
1
1
，问当
x
为何值时，(Ⅰ)
y
>0；(Ⅱ)
y
<0？
x
+3
2
解：当
x
>－3时，
y=
log(
x
+3)，
2
⑴
x
+3>1
x
>－2时，
y
>0；
⑵ 0<
x
+3<1，－3<
x
<－2时，
y
<0．
2．已知tan
x=
22 (180°<
x
<270°)，求cos2
x
，cos的值．
2< br>解：cos2
x=
1－(22)
1+(22)
2
x
=
－；cos
x=
－
2
7
9
1
2
1+tan
x
1
x
=
－．cos
=
－
32
1+cos
x
3
=
－．
23
3．设椭圆的中心为 原点，它在
x
轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点
与长轴上较近的端点 的距离是10－5，求椭圆方程．
解：由已知
c=b
，故
a=
2< br>c
，
a
－
c=
10－5
=
5(2－1)=c
(2－1)，∴
c=
5，
a=
10．
所求椭圆方程为+
=
1．
105

4．已知方程2
x
－9
x
+8
=
0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两 根和的倒数，
另一个根为原方程两根差的平方．
9
解：设已知方程两根为
x
1
，
x
2
，则
x
1
+
x
2
=
，
x
1
x
2
=
4．所求方程两根为< br>t
1
，
t
2
，
2
2
x
2
y
2
t
1
=
128117
=
，
t
2
=
(
x
1
－
x
2
)
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
－ 4
x
1
x
2
=
－16
=
．
x
1
+
x
2
944
217
2
∴ 所求方程为(
x
－)(
x
－)
=
0，即36
x－161
x
+34
=
0．
94

5．把半径 为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求
上层小球最高点离桌面的高度 ．
262626
解：边长为2的正四面体的高
h=
．故所求高度
=
1++1
=
2+．
333

6．如图，设线段
A B
的中点为
M
，从线段
AB
上的另一点
C
向直线< br>AB
的一侧引线段
CD
，
令线段
CD
的中点为
N
，
BD
的中点为
P
，
MN
的中点为
Q
，求证：直线
PQ
平分线段
AC
．

证明：连
NP
，取
AC
中点< br>O
，则由于
N
、
P
分别为
CD
、
B D
中点，故
NP
11
∥
AB
，
NP=BC=
(
AB
－
AC
)
=AM=AO=OM
．
22
∴
NPMO
为平行四边形．即
PO
经过
MN
中点
Q
．即直线
PQ
平分线段
AC
．
A
D
N
Q
O
M
P
B

7 ．证明：当
n
、
k
都是给定的正整数，且
n
>2，
k
>2时，
n
(
n
－1)
偶数的和．
k
－1
C
可以写成
n
个连续
解：设开始的一个偶数为2
m，则此
n
个连续偶数的和为(2
m
+…+2
m
+2n
－2)×
n
÷2
=n
(2
m
+
n< br>－1)．
令
n
(
n
－1)
k
－1
=
n
(2
m
+
n
－1)，则(
n
－1)
k
－1
－(
n
－1)
=
2
m
．
k
－1
无论
n
为偶数还是奇数，(
n
－1)
数．
∴ 从(
n
－1)
(
n
－1)

k
－1
k
－1
1
k
－1
－(
n
－1)均为 偶数，故
m=
[(
n
－1)－(
n
－1)]为整
2
－(
n
－1)开始的连续
n
个偶数的和等于
n
(< br>n
－1)
k
－1
．由于
n
、
k
给定 ，故
－(
n
－1)确定．故证．
8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．
解： 设此三角形三个角为
A
、
B
、
C
，则其三边长分别为2si n
A
，2sin
B
，2sin
C
．
本题即证明 cos
A
+cos
B
+cos
C
A
+sin
B
+sin
C
．
由于
A
＋
B
>90，故90>
A
>90－
B
>0，sin
A
> sin(90－
B
)
=
cos
B
，同理，sin
B
>cos
C
，
sin
C
>cos
A
，三式 相加，即得证．

9．已知直线
l
1
：
y=
4< br>x
和点
P
(6，4)，在直线
l
1
上求一点
Q
，使过
PQ
的直线与直线
l
1
以及
x
轴 在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．
4
a
－4
a
－65
a
解：设
Q
(
a
，4
a
)，(
a
> 1)则直线
PQ
方程为
y
－4
=
(
x
－6 )，令
y=
0，得
x=
6－
=
．
a
－6
a
－1
a
－1
15
a
10
a
11
∴
S=
··4
a==
10(
a
+1+)
=
10(
a
－1++2)≥10(2+2)
=
40．当且仅当
a=
2
2
a
－1
a
－1
a
－1
a
－1
时
S
取得最小值．
即所求点为
Q
(2，8)．

10．求方程组
?
?
?
x
+
y
+
z=
0，
2
x
3
+
y
3
+
z
3
=
－18< br>的整数解．

解：
x
＋
y
＋
z
－3
xyz=
(
x
＋
y
＋
z
)(
x
＋
y
＋
z
－
xy
－
yz
－
zx
)
=
0，故
xyz=
－6．
故
x=
－3，
y=
1，
z=
2，等共6组解．
二试题
1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明 ：
另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．
A
333222
证明： 如图所示，
BD
∥
EF
，作
BG
∥
ED
交
AC
于
G
，则
G
B
P
C
EQ< br>F
D
AGABAD
==
，从而
GD
∥
BC< br>，即
BCDG
为平行四边形．
P
为
ACAEAF
BD
中点，从而
Q
为
EF
中点．

2．⑴ 分解因式：
x
+
x
+
x
+
x
+1．
12963
⑵ 证明：对于任意角度
θ
，都有5+8cos
θ
+4cos2
θ
+cos3
θ
≥0．
2
π
2< br>π
解：⑴令
ε=
cos＋
i
sin．
1515
14
∴ (
x
－1)(
x
+
x
+
x
+
x
+1)
=x
－1
=
∏< br>(
x
－
ε
)．而
x
－1
=
(
x
－1)(
x
－
ε
)(
x
－
ε
)．
31296315
k
3510
k=
0
14
故
x
+
x
+
x
+
x
+1
=
⑵ 令
32
12963
∏
(
x
－
ε
)．< br>k

k=
0(
k
5，10)
x=
cosθ
，则
2
5+8cos
θ
+4cos2
θ
+c os3
θ=
5+8
x
+4(2
x
2
－1)+4x
3
－
3
x=
4
x
+8
x
+ 5
x
+1
=
(
x
+1)(2
x
+1)≥0 在
x
≥－1时成立．
3．设
R
为平面上以
A
(4 ，1)、
B
(－1，－6)、
C
(－3，2)三点为顶点的三
角形区 域(包括三角形的边界)．试求当(
x
，
y
)在
R
上变动时 ，函数4
x
－3
y
的极大值和极小值．(须证明你的论断)
1解：令4
x
－3
y=t
，则此直线在
x
轴上的截距即为
t
．
4
分别以
A
、
B
、
C的值代入，得相应的
t=
13，14，－18．即4
x
－3
y< br>的极
大值为14，极小值为－18．

4．设
ABCD
为任 意给定的四边形，边
AB
、
BC
、
CD
、
CA的中点分别为
E
、
F
、
G
、
H
，证明 ：
11
四边形
ABCD
的面积≤
EG
?
HF
≤(
AB
+
CD
)? (
AD
+
BC
)．
22
H
A
D
y
C(-3,2)
A(4,1)
O
x
B(-1,-6)
证明 ：连
EF
、
FG
、
GH
、
HE
，取
BD
中点
P
，连
EP
、
PG
．


E
B
P
O
F
G
C

1
易证
S
四边形
EFGH
=S
四边形< br>ABCD
．
2
11
而
S
四边形
EFGH< br>=EG
?
HF
sin∠
EOF
≤
EG
?HF
．
22
111
但
EP=AD
，
PG=B C
．
EP
+
PG
≥
EG
，故 (
AD
+
BC
)≥
EG
，
222
111
同理，(
AB
+
CD
)≥
HF
．故
EG< br>?
HF
≤(
AB
+
CD
)? (
AD
+
BC
)，
222
11
从而，四边形ABCD
的面积≤
EG
?
HF
≤(
AB
+CD
)? (
AD
+
BC
)．
22

5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第
i
(
i=
1， 2，…，10)个人
的提桶需时
T
i
分钟，假定这些
T
i< br>各不相同，问：
(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的 花费时间
(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)
(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为
最少？ 这时间等于多少？(须证明你的论断)
解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10
T1
+9
T
2
+8
T
3
+…+
T
10
，
若当1≤
i
<
j
≤10时，
T
i
>
T
j
，则其余人不动，交换第
i
个人与第
j< br>个人的次序，则所需
时间改变量
10
T
1
+…+(11－< br>i
)
T
i
+…+(11－
j
)
T
j
+…+
T
10
－(10
T
1
+…+(11－
i
)
T
j
+…+(11－
j
)
T
i+…)
=
(11－
i
)(
T
i
－
T
j
)+(11－
j
)(
T
j
－
T
i
)
=
(
T
j
－
T
i
)(
i
－
j
)>0．即这样交换后，所需时间变少．
∴ 应使注满桶所需的时 间少的人先注水．不妨设
T
1
<
T
2
<…<
T10
，则所需时间为
10
T
1
+9
T
2
+8
T
3
+…+
T
10
．
⑵ 设
T< br>1
<
T
2
<…<
T
10
，则安排
T
1
、
T
3
、
T
5
、
T
7
、
T
9
在一个龙头，
T
2
、
T
4
、
T
6
、
T
8
、
T
10
在另一
个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间
5(
T
1
+
T
2
)+4(
T
3
+
T
4
)+3 (
T
5
+
T
6
)+2(
T
7
+< br>T
8
)+(
T
9
+
T
10
)．

6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大
的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)
解：如图，设△
EFG是正方形
ABCD
的一个内接正三角形．且
E
、
F
分别 在一组
对边
AD
、
BC
上，取
EF
中点
M
，连
MG
．则∠
GME=
∠
GAE=
90°，于是
A
、
G
、
M
、
E
四点
共圆．∴ ∠
MAG=
∠
MEG=
60°，同理，∠
MBG=
60°， 即△
MAB
为正三角形．于是
M
为


A
G
B
D
E
M
C
F

定点，故1
=AB
≤
EF
≤
ABsec
15°
=
6－2．
∴
3
≤
S
△
EFG
≤23－3．
4

3、真真的心，想你；美美的意，恋你；暖暖的怀，抱你；甜甜的笑，给你；痴痴的眼，看 你；深深的夜，梦你；满满的情，宠你；久久的我，爱你！
4、不管从什么时候开始，重要的是开 始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。爱情来了，你还在犹豫么？
5、美女，我注意你好久啦，就是不知道怎么表白。我翻来覆去，思来想去，最终想到一个大胆的办法，我要俘虏 你的心，让你爱上我。爱上了吗？
6、对你的爱意，早已飞过万水千山，飞到你眼前，请你睁开眼 ，仔细看认真听，我的眼睛为你明亮，我的嗓音为你歌唱，来吧，让我们一起舞动爱情之歌！
7、 爱你没商量，你的眼睛眨一下，我就死去，你的眼睛再眨一下，我就活过来，你的眼睛不停地眨来眨去，于是我便 死去活来！
8、因为深爱，找不到词汇诠释，因为深爱，找不到言语概括，因为深爱，只能发条短 信，轻声说一声“我爱你”,这不是三个字，而是一辈子！
9、我对你的心是鲜啤酒，清澈甘冽； 我对你的情是葡萄酒，味美甘甜；我对你的爱是刀烧酒，热情浓烈；醉倒在怀，无限爱恋。
10、 人生短短几十年，不要给自己留下了什么遗憾，想笑就笑，想哭就哭，该爱的时候就去爱，无谓压抑自己。人生的 苦闷有二，一是欲望没有被满足，二是它得到了满足。
11、一片琼花天庭落，万里江山披银河， 冰凌也有相思苦，写意窗花含泪说，昙花一现夜梦短，早有晨光盼春歌。想你，我的心会和你一起启程，祈祷每一 个黎明。
12、戒指好比爱情，戴在手上，也是戴在心上；伤在心上，便也伤在手上。不敢碰的， 是那心里的伤；不愿摘的，是那难舍的爱。
13、在追求爱情的列车上，透过车窗，可以欣赏到许 多优美的景色，但是，请不要留恋，因为终点站才是真正的目的地。但愿我能够成为你永远的终点站！
14、爱一个人真的好难，让我欢喜让我忧！如果不让我去爱你的话，我会更难受，更彷徨。所以为了我自己，我 还是爱着你吧！
15、诚挚的微笑，每一次心跳，或许寂然无声，却胜过虚幻的海誓山盟；真情的 碰撞，灵魂的契合，或许不够浪漫，却胜过无数的真情告白。
16、此时此刻我又想起了你，想你 的感觉是一种酸酸的痛！不能打电话告诉你，只想用文字亲亲你！记住爱你的人始终是我！
17、 爱你一万年，夸张！爱你五千年，无望！爱你一千年，荒唐！爱你一百年，太长！接连爱你七十年，只要我身体健 康，就是我的强项！
18、如果不爱你，不会为你守着誓言，如果不爱你，不会承受一切的罪恶感 ，如果不爱你，不会因你而绽放幸福的光彩。
19、一个犀利并朦胧眼神，传递心中纠结情感，我 们的距离愈近或愈远。发条简朴并低调的信息，尽享真情互动，指尖点点，送你的却是心中真情满满。
20、上帝给了我这份缘，所以我每天都在天堂。生活里因为有了爱，所以我身边幸福弥漫。日子里面有了你，所 以天天我都很美。