2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）
一、填空题（每个小题8分，满分64分
1：已知函数
f(x)?
?
值围是
2：已 知
y?f(x)?x
为偶函数，且
f(10)?15
，则
f(?10 )
的值为
3：某房间的室温
T
（单位：摄氏度）与时 间
t
（单位：小时）的函数关系为：
3
?
a?x
x
?
alog
2
x?[0,3]
x?(3,??)
，其中
a
为常数，如果
f(2)?f(4)
，则
a
的取
T?asin t?bcost,t?(0,??)
，其中
a,b
为正实数，如果该房间的最大温差为 10摄氏度，
则
a?b
的最大值是
4：设正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的 底面
ABCD
是单位正方形，如果二面角
A
1
?BD?C
1
的
大小为
?
，则
AA
1
?

3
5：已知数列
?
a
n
?
为等差数列，首项与公差 均为正数，且
a
2
,a
5
,a
9
依次成等比数列， 则使得
a
1
?a
2
?????a
k
?100a< br>1
的最小正整数
k
的值是
6：设
k
为实数，在平面直角坐标系中有两个点集
A?(x,y)x
2
?y
2
?2(x?y)
和
??
B?
?
(x,y)kx?y?k? 3?0
?
，若
A?B
是单元集，则
k
的值为
y
2
x
2
??1
上的动点，点
A(1,1),B( 0,?1)
，则
PA?PB
的最大值为 7：设
P
为 椭圆
43
8：正2015边形
A
1
A
2
???A< br>2015
接于单位圆
O
，任取它的两个不同顶点
A
i
,A
j
，
则
OA
i
?OA
j
?1
的概率为
二、解答题
9：（本题满分16分）数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3,
对任意正整数
m,n
，均有
a< br>m?n
?a
m
?a
n
?2mn

（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）如果存在实数
c
使得





1
?c
对所有正整数
k
都成立，求
c
的取值围 < br>?
a
i?1
i
k

10：（本题满分20分）设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
为四个 有理数，使得：
?
aa
i
31
??
?
1?i?j ?4??24,?2,?,?,1,3
?
，求
a
1
?a
2< br>?a
3
?a
4
的值
?
j
28
??












x
2
y
2
11：（本题满分20分）已知椭圆
2
?
2
?1(a?b ?0)
的右焦点为
F(c,0)
，存在经过点
F
ab
的一条 直线
l
交椭圆于
A,B
两点，使得
OA?OB
，求该椭圆的 离心率的取值围

（加试）

1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数
a,b,c
都有： < br>(a?bc)
2
?(b?ac)
2
?(c?ab)
2
1
?
，并确定等号成立的充要条件
222
(a?b)?(b?c)?(c?a)2














2：（本题满分40分）如图，在等腰
?ABC
中，
AB?AC
，设
I
为其心，设
D
为
?ABC
的
一个点，满足
I,B,C,D
四点共圆，过点
C
作
BD
的平行线，与
A D
的延长线交于
E

求证：
CD?BD?CE




















2

< p>
3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组
(a,b,c)(a,b,c?20 15)
满足：
abc?1,bac?1,cab?1















4：（本题满分50分）给定正整数
m,n(2?m?n)
，设
a
1
,a
2
,???,a
m
是
1,2,? ??,n
中任取
m
个
1,2,???,m
?
使得
a
k
?k
为奇数，或者存在整数 互不相同的数构成的一个排列，如果存在
k?
?
，试确定所有好排列
k,l(1?k?l?m)
，使得
a
k
?a
l
，则称
a
1
,a
2
,???,a
m
是一个“好排列”
的个数。

2015年全国高中数学联赛（B卷）解答
（一试）
三、填空题（每个小题8分，满分64分
?
a?x
1．已知函数
f(x)?
?
x
?
alog
2
x?[0,3]x?(3,??)
，其中
a
为常数，如果
f(2)?f(4)
， 则
a
的取
值围是 ．
答案：（-2,+∞）．解：
f( 2)?a?2,f(4)?2a
，所以
a?2?2a
，解得：
a??2
．
2．已知
y?f(x)?x
为偶函数，且
f(10)?15
， 则
f(?10)
的值为 ．
答案：2015．解：由己知得
f (?10)?(?10)?f(10)?10
，即
f(?10)?f(10)?2000
=2015．
3．某房间的室温
T
（单位：摄氏度）与时间
t
（ 单位：小时）的函数关系为：
T?asint?bcost,t?(0,??)
，其中
a,b
为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，
则
a?b
的最大值 是 ．
答案：
52
．解：由辅助角公式：
T?asint? bcost?a
2
?b
2
sin(t?
?
)
，其中
?
满足
条件
sin
?
?
33
3
b
a
2
?b
2
,cos
?
?
a
a< br>2
?b
2
，则函数
T
的值域是
[?a
2?b
2
,a
2
?b
2
]
，室
最大温差 为
2a
2
?b
2
?10
，得
a
2
?b
2
?5
．
故
a?b?2(a
2
?b< br>2
)?52
,等号成立当且仅当
a?b?
5
2
． < br>2
4．设正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是单位正方形，如果二面角
A
1
?BD?C
1
的
大小为
答案：
?
，则
A A
1
?
．
3
6
．解：取BD的中点O，连接OA, OA
1
, OC
1
．

2
则∠A
1
OC
1
是 二面角A
1
-BD-C
1
的平面角，因此∠A
1
OC
1
=
又△OA
1
C
1
是等边三角形．故A
1O= A
1
C
1
=
2
，所以
?
,
3

2
2
6
．
AA
1
?AO? AO?(2)?()?
1
22
5．已知数列
?
a
n
?
为等差数列，首项与公差均为正数，且
a
2
,a
5
,a< br>9
依次成等比数列，则使得
222
a
1
?a
2?????a
k
?100a
1
的最小正整数
k
的值是 ．
答案：34．解：设数列
?
a
n
?
的公差为
d
,则
a
2
?a
1
?d,a
5
?a
1
?4d,a
9
?a
1
?8d
．因为
22
a
2
,a
5
,a
9
依次成等比数列，所以
a
2
a
9
?a
5
，即
(a
1
?d)(a< br>1
?8d)?(a
1
?4d)
．化简上式得
2
到：< br>a
1
d?8d
．又
d?0
，所以
a
1
?8d
．由
a
1
?a
2
??a
k
?< br>a
1
解得
k
min
?34
．

a
1
k?
k(k?1)
d
k(k?1)
2
?k? ?100
．
a
1
16
6．设
k
为实数，在平面直 角坐标系中有两个点集
A?(x,y)x?y?2(x?y)
和
?
22?
B?
?
(x,y)kx?y?k?3?0
?
，若
A? B
是单元集，则
k
的值为 ．
22
答案：
?2?3
．解：点集A是圆周
?:(x?1)?(y?1)?2
，点集B是恒过点 P （-1,3）

的直线
l:y?3?k(x?1)
及下方（包括边界 ）．作出这两个点集知，
当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆
?
的一条切线．故 圆
?
的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆
的半径
2
， 故
|k?1?k?3|
k?1
2
?2
．结合图像，应取较小根

k??2?3
．
y
2
x
2
??1
上 的动点，7．设
P
为椭圆点
A(1,1),B(0,?1)
，则
PA ?PB
的最大值为 ．
43
答案：5．解：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因
此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5．
3
,1)
时，|PA|+|PB|最大值为5．
2
8．正2015 边形
A
1
A
2
???A
2015
接于单位圆
O
，任取它的两个不同顶点
A
i
,A
j
，
当P 在AF延长线与椭圆的交点
(?
则
OA
i
?OA
j
?1
的概率为 ．
答案
671
．解：因为
|OA< br>i
|?|OA
j
|?1
，所以
1007
|OAi
?OA
j
|
2
?|OA
i
|
2?|OA
j
|
2
?2OA
i
?OA
j
?2(1?cos?OA
i
,OA
j
?)
．
故
O A
i
?OA
j
?1
的充分必要条件是
cos?OA
i
,OA
j
???
不超过
1
，即向量
OA
i
,OA
j
的夹角
2
2
?
．
3
对任意给定的向量
OA
i
，满足条件
OA
i
?OA
j
?1
的向量可的取法共有：
2
?
?
2015?134 2671
?
2
?
OA?OA?1
??2?1342
种，故的 概率是：．
p??
ij
??
32015
2015?2014100 7
??
四、解答题
9．（本题满分16分）数列
?
a
n< br>?
满足
a
1
?3,
对任意正整数
m,n
，均 有
a
m?n
?a
m
?a
n
?2mn

（3）求
?
a
n
?
的通项公式；
（4）如果存在实数
c
使得
解： (l)在
a
m?n
?a
m
?a
n
?2mn
中令
m?1
可以得到?
a
n
?
的递推公式：
1
?c
对所有正整数< br>k
都成立，求
c
的取值围．
?
i?1
a
i
k
a
n?1
?a
1
?a
n
?2n?an
?(3?2n)
．
因此
?
a
n
?
的通项公式为：
[5?(2n?1)](n?1)
?n(n?2)
．8 分
2
k? 1
（事实上，对这个数列
?
a
n
?
,
a
1
?1?3?3
，并且
a
n
?a
1
?
?< br>(3?2k)?3?
a
m?n
?(m?n)(m?n?2)?(m?n)
2
?2(m?n)
?(m
2
?2m)?2(n
2
?2n) ?2mn

n?1
?a
m
?a
n
?2mn
．
所以
a
n
?n(n?2)
是数列
?
a
n
?
的通项公式．
(2)注意到：
11111
??(?)
，所以
a
n
n(n ?2)2nn?2

k
1
?(?)?(1???)??(?)
．
??
a2nn?222k?1k?242k?1k?2
n?1
n
n? 1
k
13
13
3
?
,并且
?
?(k??)
，因此
c
的取值围是
c?[,??)
．16 分 故
?44
4
n?1
a
n
n?1
a
n
kk

10．（本题满分20分）设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
为四个有理数，使得：
?
aa
i< br>31
??
?
1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3
?
，求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值．
?
j
28
??
解：由条件可知，
a
ia
j
(1?i?j?4)
是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，
由此知，
a
1
,a
2
,a
3
,a
4的绝对值互不相等，不妨设
|a
1
|?|a
2
|?|a
3
|?|a
4
|
，则
|a
i
||a
j|(1?i?j?4)
中最小的与次小的两个数分别是
|a
1
||a2
|
及
|a
1
||a
3
|
，最大与次 大的
两个数分别是
|a
3
||a
4
|
及
| a
2
||a
4
|
，从而必须有
1
?
aa ??,
?
12
8
?
?
aa?1,
10 分 ?
13
?
a
2
a
4
?3,
?
?
?
a
3
a
4
??24,
113
,a3
?,a
4
???24a
1
． 于是
a
2??
8a
1
a
1
a
2
13
2
故
{a
2
a
3
,a
1
a
4
}?{ ?
2
,?24a
1
}?{?2,?}
，15分
8a
1
2
1
结合
a
1
?Q
，只可能
a
1
??
．
4
1111
由此易知，
a
1
?,a
2
??,a
3
?4,a
4
??6
或者
a
1
??,a
2
?,a
3
??4,a
4
?6
．
4242
检验知这两组解均满足问题的条件．
9
． 20 分
4
x
2
y
2
11．（本题满分20分）已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点为
F(c,0)
，存 在经过点
F
ab
的一条直线
l
交椭圆于
A,B
两点 ，使得
OA?OB
，求该椭圆的离心率的取值围．
解：设椭圆的右焦点F的坐标为（
c
, 0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程 为
x?ky?c
，点A、B的坐标分别为
(x
1
,y
1)
，
(x
2
,y
2
)
．将直线 l的方程与椭 圆方程联立，
故
a
1
?a
2
?a
3
?a< br>4
??
消去
x
得
(bk?a)y?24kbcy?b(c?a)?0
．
22222222
?
24kb
2
c
y?y??
22
,
?
2?
12
bk?a
由韦达定理
?

2224
b
?
yy?
b(c?a)
??.
12
?
b
2
k
2
?a
2
b
2
k
2
?a
2
?
OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y< br>2
?(ky
1
?c)(ky
2
?c)?y
1
y
2
?(k
2
?1)y
1
y
2
?kc(y
1
?y
2
)?c
2

b
4
24k b
2
c?k
2
b
2
?a
2
c
2< br>?b
4
2
?(k?1)(?
22
)?kc(?
22< br>)?c?
．5分
bk?a
2
bk?a
2
b
2
k
2
?a
2
2

因为
OA?OB< br>等价于
OA?OB?0
，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存
a< br>2
c
2
?b
4
?k
2
b
2
?a
2
c
2
?b
4
2
?0
,
k?
2
在实数
k
，使得． ①
b(1?c
2
)
b
2
k
2
?a
2
224
显然存在
k满足①等价于
ac?b?0
．② 15 分
22222
2224又
b?a?c
，所以②等价于
ac?(a?c)?0
，两边除以
a
得到
c
2
c
2
2
?(1?
2
)?0
,即
e
2
?(1?e
2
)
2
?0
．
2
aa
5?1
,1)
．20 分 由于
e?1
，解得：
e?[
2


加试

1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数
a,b,c
都有： < br>(a?bc)
2
?(b?ac)
2
?(c?ab)
2
1
?
，并确定等号成立的充要条件．
222
2
(a?b)?(b?c)?(c?a)

解：当
a,b,c
不全相等时，原不等式等价于
2(a?bc)
2
?2(b?ca)
2
?2(c?ab)
2
?(a?b)
2< br>?(b?c)
2
?(c?a)
2
．上式可化简为
2a
2
b
2
?2b
2
c
2
?2c
2
a
2
?12abc??2ab?2bc?2ca
, 即
a
2
b
2
?b
2
c
2
?c
2
a
2< br>?ab?bc?ca?6abc
． ①
222222
考虑到
ab, bc,ca,ab,bc,ca?0
，故由平均不等式得，
a
2
b
2
?b
2
c
2
?c
2
a
2
?ab ?bc?ca?6
6
a
2
b
2
?b
2
c< br>2
?c
2
a
2
?ab?bc?ca?6abc
． ②
因此原不等式成立． 20 分
下面考虑等号成立的充分必要条件．
注意到②中等号成立的充分必要条件是
ab?bc?ca?ab?bc?ca
．
若
abc?0
，则
ab?bc?ca
，显然
a?b?c
，与条件矛盾！
若
abc?0
，则
ab?bc ?ca?0
，但
a,b,c
不全为0，不妨设
a?0
，则
b ?c?0
．类
似可得其余两种情况，即
a,b,c
中恰有一个非零．这时原不 等式中等式确实成立．
因此，原不等式等号成立当且仅当
a,b,c
中有两个是0，另一个为正数．40 分
2．（本题满分40分）如图，在等腰
?ABC
中，
AB?AC
，设
I
为
其心，设
D
为
?ABC
的一个点，满足
I,B,C,D
四点共圆，过点
C
作
BD
的平行线，与
A D
的延长线交于
E
．求证：
CD?BD?CE
．
证明：连接BI,CI．设I, B , C, D四点在圆O上，延长DE交圆
O于F，连接FB，FC．
因为BD||CE，所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC．
又由于∠CDE=∠CDF=∠CBF，所以△BFC∽△DCE，从而
2
222222
DCBF
?
．
CEFC
再证明AB, AC与圆O相切．
事实上，因为∠ABI=

11
∠ABC=∠ACB=∠ICB，所以AB与圆
22
O相切．同理AC与圆O相切． 20 分
因此有△ABD∽△AFB，△ACD∽△AFC，故
BDABACDCBFBD
????
,即．② 30 分
BFAFAFCFFCDC

DCBD
2
，即
CD?BD?CE
． 40 分 < br>?
CEDC
3．（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组
(a,b,c )(a,b,c?2015)
满足：
结合①、②，得
abc?1,bac?1,cab?1
．
证明：考虑
c?ab?1
的特殊情况，此时
c|ab?1
成立．10 分
由
a|bc?1
知，
a|b(ab?1)?1
，故
a| b?1
．①
由
b|ac?1
知，
b|a(ab?1)?1
，故
b|a?1
．②
2
为满足①、②，取
a?k,b?k?1(k ?N)
,此时
c?ab?1?k?k?1
．40 分
*
当正整数< br>k
>2015时，
(a,b,c)?(k,k?1,k?k?1)
均符合条件， 因此满足条件的正整
数组
(a,b,c)
有无穷多个． 50 分
4．（本 题满分50分）给定正整数
m,n(2?m?n)
，设
a
1
,a2
,???,a
m
是
1,2,???,n
中任取
m个
2
1,2,???,m
?
使得
a
k
?k为奇数，或者存在整数 互不相同的数构成的一个排列，如果存在
k?
?
，试确定 所有好排列
k,l(1?k?l?m)
，使得
a
k
?a
l< br>，则称
a
1
,a
2
,???,a
m
是一个“ 好排列”
的个数．
解：首先注意，“存在
k?{1,2,???,m}
，使 得
a
k
?k
为奇数”是指存在一个数与它所在
的位置序号的奇偶性不 同；“存在整数
k,l(1?k?l?m)
，使得
a
k
?a
l
”意味着排列中存
在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性．
将不是好排列的排 列称为“坏排列”，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏
排列数．注意坏排列同时满足：（1 ）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增．10
分
下面来求坏排列的个数．设 P是坏排列全体，Q是在
1,2,???,[
n?m
]
中任取
m项组成的
2
单调递增数列的全体．对于P中的任意一个排列
a
1
,a
2
,???,a
m
，定义
a?m
a
1?1a
2
?2
,,?,
m
)
．
222
a?k
n?m
因为
a
k
?n,k?m
，故由条件（1）可 知，所有的
k
均属于集合
{1,2,
?
,[
再
]}
．
22
a?k
}
（
k?1,2,???,m
）单调 递增．故如上定义的
f
给出了
P?Q
的由条件（2）可知，
{
k
2
一个映射．显然．
f
是一个单射． 30 分
下面证明f
是一个满射．事实上，对于Q中任一个数列
b
1
,b
2
,???,b
m
，令
a
k
?2b
k
?1
f(a
1
,a
2
,???,a
m
)?(
（
k?1,2,???,m
）．因为整数
b
k?1
?b
k
，故
b
k?1
?b
k
?1
，从而
a
k?1< br>?a
k
?2(b
k?1
?b
k
)?1?1(1?k? m?1)

故
a
1
,a
2
,???,a
m
单调递增．
n?m
]?m?n
，及
a
k
?k?2b
k
为偶数，故
a
1
,a
2
,???,a
m
为P中2
的一个排列．显然
f(a
1
,a
2
,???,am
)?(b
1
,b
2
,???,b
m
)
，故
f
是一个满射．
综上可见，
f
是
P?Q
的 一个一映射，故
|P|?|Q|
．40分
n?m
]}
的所有
m
元子集一对应，故
|Q|?C
m
又Q中的所有数列与集合
{1, 2,
?
,[
n?m
，
[]
2
2
又
a
1
?1
，而
a
m
?2[
从而
|P|?C
m
n?m
．
[
2
]

最后，我们用 总的排列数
P
n
?
m
n!
扣除坏排列的数目，得所有的排列 的个数为
(n?m)!
n!
?C
m
n?m
． 50 分
(n?m)!
[
2
]