2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2016年全国高中数学联赛（B卷）一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列
?
a
n?
的各项均为正数，且
a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2
?36,
则
a
2
?a
4
的值为 ．
2.设
A?
?
a|?1 ?a?2
?
，则平面点集
B?
?
?
x,y
?
|x,y?A,x?y?0
?
的面积为 ．
3.已知复数
z< br>满足
z
2
?2z?z?z
（
z
表示
z
的共轭复数），则
z
的所有可能值的积
为 ．
4.已知
f
?
x
?
,g
?
x
?
均为定义在
R
上的函数，
f
?
x
?
的图像关于直线
x?1
对称，
g
?
x
?
的图
像关于点
?
1,? 2
?
中心对称，且
f
?
x
?
?g
?
x
?
?9
x
?x
3
?1
，则
f
?
2
?
g
?
2
?
的值为 ．
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子
A,B,C,D,E
中，恰 有两个球放在同一
盒子的概率为 ．
6.在平面直角坐标系
xOy< br>中，圆
C
1
:x
2
?y
2
?a?0
关于直线
l
对称的圆为
C
2
:x
2
?y
2
?2x?2ay?3?0,
则直线
l
的方程为 ．
7.已知正四棱锥
V
-
ABCD
的高等于
AB
长度的一半，
M
是侧棱
VB
的中点，
N
是侧棱
VD
上点，满足
DN?2VN
，则异面直线
AM,BN
所成角的余弦值为 ．
?
n
??
n
??
n
??
n
?
8.设正整数
n
满足
n?2016
，且
??
???
?
??
?
??
?3
．这样的
n
的 个数
?
2
??
4
??
6
??
12
?
为 ．这里
?
x
?
?x?
?
x< br>?
，其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数．
二、解答题：（共3小题，共56分）
9.（16分）已知
?
a
n
?
是各项均为正数的等比数列，且
a
50
,a
51
是方程
100lg
2
x?lg
?
100x
?
的两个不同的解，求
a
1
a
2
10.（20分）在
a< br>100
的值．
ABC
中，已知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB.

（1 ）将
BC,CA,AB
的长分别记为
a,b,c
，证明：
a
2
?2b
2
?3c
2
；
（2）求
cosC
的最小值．
11.（20分）在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
C
的方程为
x
2
?y
2
?1
．求符合以下要
求的所有大于
1
的实数
a
：过点
?
a,0
?
任意作两条互相垂直的直线
l
1
和
l
2
，若
l
1
和双曲线
C
交
于
P, Q
两点，
l
2
和
C
交于
R,S
两点，则总 有
PQ?RS
成立．

加试
一、（40分）非负 实数
x
1
,x
2
,
（1）
x
k
2
?y
k
2
?1,k?1,2,
,x
2016
和实数
y
1
,y
2
,,y
2016
满足：
,2016
；
（2）
y
1
?y
2
??y
2016
是奇数．
求
x
1
?x
2
??x
2016
的最小值．
二、（40分）设
n,k
是正整数，且
n
是奇数．已知
2n
的不超过
k
的正约数的个数为奇数，
证明：
2n
有一个约数
d
，满足
k?d?2k.

三、（50分）如图所示，
AB CD
是平行四边形，
G
是
上，使得
GP?PC,GQ?QC.
证明：
AG
平分
?PAQ.

ABD
的重心，点
P,Q
在直线
BD
P
D
G
A
B
Q
四、（50分）设
A
是任意一个11元实数集合．令集合
B?
?
uv |u,v?A,u?v
?
.
求
B
的元
素个数的最小值．
C

2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列
?
a
n?
的各项均为正数，且
a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2
?36,
则
a
2
?a
4
的值为 ．
答案：6．
解：由于
36?a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
32
?a
2
2
?a
4
2
?2a
2
a
4
?
?
a
2
?a
4
?
,且
a
2
?a
4
?0,
故
a
2
?a
4
?6.

另解：设等比数列的公比为
q
，则
a
2
?a
6
?a
1
q?a
1
q
5
.
又因
36?a
1
a
3
?a
2
a
6
?2a
3
2
?a
1
?a
1
q
2
?a
1
q?a
1
q
5
?2a
1
q
2
?
?
a
1
q
?
?2?a1
q?a
1
q
2
33
2
3
2
111
2
??
?
?
aq
?
?
?
a q?aq
?
?
?
a
2
2
?a
4
?
,
2

而
a
2
?a
4
?0
，从而
a
2
?a
4
?6.

2.设
A?
?
a|?1?a?2
?
，则平面点集
B?
?
?x,y
?
|x,y?A,x?y?0
?
的面积为 ．

答案：7．
解：点集
B
如图中阴影部分所示，其面积为
S
正方形MNPQ?S
MRS
1
?3?3??2?2?7.

2

3.已知复数
z
满足
z
2
?2z?z?z
（
z< br>表示
z
的共轭复数），则
z
的所有可能值的积
为 ．
答案：3．
解：设
z?a?bi
?
a,b?R
?
.
由
z
2
?2z?z
知，
a
2
?b
2
?2abi?2a?2bi?a?bi,
比较虚、实部得
a
2
?b
2
?a?0,2ab?3b?0.又由
z?z
知
b?0
，从而有
2a?3?0,
即a??
，进而
b??a
2
?a??
3
2
3.

2
?
33
??
33
?
??i??
??i?3.
于是，满足条件的复数
z
的积为
?
?
22
??
22
?
?
????
4.已知
f
?
x
?
,g
?
x
?
均为定义在
R
上的函数，
f
?
x
?
的图像关于直线
x?1
对称，
g
?
x
?
的图
像关于点
?
1,? 2
?
中心对称，且
f
?
x
?
?g
?
x
?
?9
x
?x
3
?1
，则
f
?
2
?
g
?
2
?
的值为 ．
答案：2016.
解：由条件知
f
?
0
?
?g
?
0
?
?2,
①
f
?
2
?
?g
?
2
?
?81?8?1?90.
②
由
f
?
x
?
,g
?
x
?
图像的 对称性，可得
f
?
0
?
?f
?
2
?
,g
?
0
?
?g
?
2
?
??4,
结合①知，
f
?
2
?
?g
?
2
??4?f
?
0
?
?g
?
0
?
?2.< br> ③
由②、③解得
f
?
2
?
?48,g?
2
?
?42,
从而
f
?
2
?
g
?
2
?
?48?42?2016.

另解：因为 f
?
x
?
?g
?
x
?
?9
x
?x
3
?1
， ①
所以
f
?
2< br>?
?g
?
2
?
?90.
②

因为
f
?
x
?
的图像关于直线< br>x?1
对称，所以
f
?
x
?
?f
?
2?x
?
.
③
又因为
g
?
x
?< br>的图像关于点
?
1,?2
?
中心对称，所以函数
h
?
x
?
?g
?
x?1
?
?2
是奇函数，h
?
?x
?
??h
?
x
?
，
g
?
?x?1
?
?2??
?
?
g
?
x?1
?
?2
?
?
，从而
g
?
x?
??g
?
2?x
?
?4.
④
将③、④代入①，再移项，得
f
?
2?x
?
?g
?
2?x
?
?9
x
?x
3
?5.
⑤
在⑤式中令
x?0
，得
f
?
2
?
?g< br>?
2
?
?6.
⑥
由②、⑥解得
f
?< br>2
?
?48,g
?
2
?
?46.
于是
f
?
2
?
g
?
2
?
?2016.

5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子
A,B,C,D,E
中 ，恰有两个球放在同一
盒子的概率为 ．
解：样本空间中有
5
3
?125
个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012
C
3
2
?P
5
2
?60.
过所求的概率为
p??.

12525
6.在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
1
:x
2
?y
2
?a?0
关于直线
l
对称的圆为
C
2
:x
2
?y
2
?2x?2 ay?3?0,
则直线
l
的方程为 ．
答案：
2x?4y?5?0.

解：
C
1
,C
2
的标准方程分别为
C
1
:x
2
?y
2
?1,C
2
:
?
x ?1
?
?
?
y?a
?
?a
2
?2.

由于两圆关于直线
l
对称，所以它们的半径相等．因此
a?a
2
?2?0,
解得
a?2.
故
C
1
,C
2< br>的圆心分别是
O
1
?
0,0
?
,O
2
?
?1,2
?
.
直线
l
就是线段
O
1< br>O
2
的垂直平分线，它通过
O
1
O
2
的中点
?
1
?
M
?
?,1
?
，由此可得直线l
的方程是
2x?4y?5?0.

?
2
?
7 .已知正四棱锥
V
-
ABCD
的高等于
AB
长度的一半，< br>M
是侧棱
VB
的中点，
N
是侧棱
VD
上点， 满足
DN?2VN
，则异面直线
AM,BN
所成角的余弦值为 ．
22
解：如图，以底面
ABCD
的中心
O
为坐标原点，
AB,BC,OV
的方向为
x,y,z
轴的正向，

z
V
N
D
O
A
B

y
M
C
x
建立空间直角坐标系．不妨设
AB?2,
此时高
VO? 1,
从而
A
?
?1,?1,0
?
,B
?
1,?1,0
?
,D
?
?1,1,0
?
,V
?0,0,1
?
.

?
111
??
112
?
由条件知
M
?
,?,
?
,N
?
?,,
?
，因此
?
222
??
333
?
?311
??
442
?
AM?
?
,,
?
,BN?
?
?,,
?
.

?
222
??< br>333
?
设异面直线
AM,BN
所成的角为
?
，则
cos
?
?
AM?BN
AM?BN
?
?1
11
?2
2
?
11
.

11
?
n
??
n
??
n
??
n
?
8.设正整数n
满足
n?2016
，且
??
?
??
?
??
?
??
?3
．这样的
n
的个数
?
2
??
4
??
6
??
12
?
为 ．这里
?
x
?
?x?
?
x
?
，其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数．
解：由于对任意整数
n
，有
?
n
??
n
??
n
??
n
?
13511
??
?
??< br>?
??
?
??
?????3,

?
2
??
4
??
6
??
12
?
24612
等 号成立的充分必要条件是
n??1
?
mod12
?
，结合
1 ?n?2016
知，满足条件的所有正整数为
n?12k?1
?
k?1,2, ,168
?
,
共有
168
个．
?
x
??
y
?
另解：首先注意到，若
m
为正整数，则对任意整数
x, y
，若
x?y
?
modm
?
，则
??
?< br>??
.
?
m
??
m
?
这是因为，当
x?y
?
modm
?
时，
x?y?mt
，这里
t< br>是一个整数，故
y
?
y
?
y
??
y
??
x
?
x
?
x
?
y?mt
?
y?mt
?
y
?
?
?
??t?t?
??
? ?
??
?
?
m
?
m
?
?
m
?
?
m
?
?
?
m
?
.

mmmmm
????????????
因此，当整数
n
1
,n2
满足
n
1
?n
2
?
mod12
?< br>时，

?
n
1
??
n
1< br>??
n
1
??
n
1
??
n
2
??
n
2
??
n
2
??
n
2
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
.

?2
??
4
??
6
??
12
??
2??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
容易验证，当正整数满足
1?n?12
时，只有当
n?11
时，等式
??
?
??
?
??
?
??
?3
?
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
才成立．而
2016?12?16 8
，故当
1?n?2016
时，满足
??
?
??
?
??
?
??
?3
正整数
n
的
?
2
??
4
??
6
??
12
?
个数为
168.

二、解答题：（共3小题，共56分）
9.（16分）已知
?< br>a
n
?
是各项均为正数的等比数列，且
a
50
,a< br>51
是方程

100lg
2
x?lg
?
100x
?

的 两个不同的解，求
a
1
a
2
a
100
的值．
解 对
k?50,51
，有
100lg
2
a
k?lg
?
100a
k
?
?2?lga
k
,即
100
?
lga
k
?
?lga
k
?2?0.

因此，
lga
50
,lga
51
是一 元二次方程
100t
2
?t?2?0
的两个不同实根，从而
1lg
?
a
50
a
51
?
?lga
50
?lga
51
?,
即
a
50
a
51
?10
100
.

100
1
2
由等比数列的性质 知，
a
1
a
2
10.（20分）在
a
100
?
?
a
50
a
51
?
50
1
?
100
?
?
?
10
?
?10.

??
50
ABC
中，已知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB.

（1）将
BC,CA,AB
的长分别记为
a,b,c
，证明：< br>a
2
?2b
2
?3c
2
；
（2）求
cosC
的最小值．
b
2
?c
2
?a
2
.
解 （1）由数量 积的定义及余弦定理知，
AB?AC?cbcosA?
2
a
2
?c< br>2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
,CA?CB?.
故已知条件化为 同理得，
BA?BC?
22
b
2
?c
2
?a
2
?2a
2
?c
2
?b
2
?3a
2
?b
2
?c
2
,

即
a
2
?2b
2
?3c
2
.

（2）由余弦定理及基本不等式，得
1
2
a?2b
2
a? b?c
3
cosC??
2ab2ab

abab2
???2 ??,
3b6a3b6a3
222
????
a
2
?b
2
?
??
等号成立当且仅当
a:b:c?3:6:5.
因此
cosC
的最小值为
2
.

3
11.（20分）在平面直 角坐标系
xOy
中，双曲线
C
的方程为
x
2
?y< br>2
?1
．求符合以下要

求的所有大于
1的实数
a
：过点
?
a,0
?
任意作两条互相垂直的直线
l
1
和
l
2
，若
l
1
和双曲线< br>C
交
于
P,Q
两点，
l
2
和
C交于
R,S
两点，则总有
PQ?RS
成立．
解 过点
?
a,0
?
作两条互相垂直的直线
l
1
:x?a
和
l
2
:y?0.

易知，
l
1
和
C
交于点
P
0
a,a
2
?1,Q
0
a,? a
2
?1
（注意这里
a?1
），
l
2
和< br>C
交于点
R
0
?
1,0
?
,S
0< br>?
?1,0
?
,
由条件知
2a
2
?1?PQ
00
?R
0
S
0
?2
，解得
a?2.
?
?
?
?
这意味着符合条件的
a
只可能为< br>2.

下面验证
a?2
符合条件．
事实上，当
l< br>1
,l
2
中有某条直线斜率不存在时，则可设
l
1
: x?a,l
2
:y?0
，就是前面所讨论
的
l
1
, l
2
的情况，这时有
PQ?RS.
若
l
1
,l2
的斜率都存在，不妨设
1
x?2
?
k?0
?
,

k
注意 这里
k??1
（否则
l
1
将和
C
的渐近线平行，从 而
l
1
和
C
只有一个交点）．
l
1
:y ?kx?2,l
2
:y??
????
联立
l
1
和< br>C
的方程知，
x
2
?k
2
x?2
??
2
?1?0,
即
?
1?k
?
x
22
? 22k
2
x?2k
2
?1?0,

这是一个二次方程式，其 判别式为
??4k
2
?4?0
．故
l
1
和
C
有两个不同的交点
P,Q
．同样，
l
2
和
C也有两个不同的交点
R,S.
由弦长公式知，
PQ?1?k?
2
4k
2
?4
1?k
2
1?k
2
?2?.

1?k
2
?2
1?
?
?k
?
k
2
?1
1
用
?
代替
k
，同理可得
RS?2? ?2
2
.
于是
PQ?RS.

?2
k?1
k
1?
?
?k
?
综上所述，
a?2
为符合条件的值 ．
加试
一、（40分）非负实数
x
1
,x
2
,
（1）
x
k
2
?y
k
2
?1,k?1,2 ,
,x
2016
和实数
y
1
,y
2
,,y
2016
满足：
,2016
；
（2）
y
1?y
2
??y
2016
是奇数．
求
x
1
?x
2
??x
2016
的最小值．
解：由已知条件（1）可得：
x
k
?1,y
k
?1,k?1 ,2,
2016
k?1
,2016,
于是（注意
x
i
?0
）
?
x?
?
x
k
k?1
2016
2
k
?
?
1?y
k
k?1
2016
?
2
?
?2016?
?
y
k?1
2016
2
k
?2016?
?
y
k
.
①
k?1
2016

不妨设
y
1
,, y
m
?0,y
m?1
,
2016
k
,y
2 016
?0,0?m?2016,
则
?
y
k?1
m
k?1
m
?m,?
k?m?1
2016
k?m?1
?y
k
?2016?m.

若
?
y
k
?m?1
，并且
?

?
y
k
?2015?m,
令
?
y
k?1
m
k
m2016
k
?m?1?a,?
k?m?1
?
y
k
?2015?m?b,

则
0?a,b?1,
于是
2016
k?1
?
y?
?
y
k
k?1
2016
?
k?m?1
?< br>y
k
?m?1?a?
?
2015?m?b
?

?2m?2016?a?b,
由条件（2）知，
?
y
k
是奇数，所 以
a?b
是奇数，这和
0?a,b?1
矛盾．
k?1
20 16
因此必有
?
y
k
?m?1
，或者
?
k ?1
2016
k?1
m2016
k?m?1
?
y
k
?2015?m,
则
?
y
k
?
?
yk
?
k?1
2016
k?1
m2016
k?m?1?
y
k
?2015.

于是结合①得
?
x
k
?1.

又当
x1
?x
2
??x
2015
?0,x
2016
? 1,y
1
?y
2
??y
2015
?1,y
2016
?0
时满足题设条件，且使
得不等式等号成立，所以
x
1
? x
2
??x
2016
的最小值为1．
二、（40分）设
n ,k
是正整数，且
n
是奇数．已知
2n
的不超过
k
的正约数的个数为奇数，
证明：
2n
有一个约数
d
，满足
k ?d?2k.

证明：记
A?
?
d|d|2n,0?d?k,d是奇 数
?
，
B?
?
d|d|2n,0?d?k,d是偶数
?，则
AB??,2n
的不超过
k
的正约数的集合是
AB.

若结论不成立，我们证明
A?B.

对
d?A
，因为< br>d
是奇数，故
2d|2n
，又
2d?2k
，而
2n< br>没有在区间
?
k,2k
?
中的约数，
故
2d?k，即
2d?B
，故
A?B.

反过来，对
d?B
，设
d?2d
?
，则
d
?
|n
，
d?
是奇数，又
d
?
?
k
故
d
?
?A,
从而
B?A.

?k
，
2
所以
A ?B.
故
2n
的不超过
k
的正约数的个数为偶数，和已知矛盾．从而 结论成立．
三、（50分）如图所示，
ABCD
是平行四边形，
G
是
上，使得
GP?PC,GQ?QC.
证明：
AG
平分
?P AQ.

ABD
的重心，点
P,Q
在直线
BD

P
D
G
A
B
Q
C

解：连接AC
，和
BD
交于点
M.
由平行四边形的性质，点
M< br>是
AC,BD
的中点．因此，
P
C
D
G
A
M
B
O
Q
点
G
在线段
AC
上．

由于
?GPC??GQC?90
，所以
P,G,Q,C
四点共圆，并且其外接圆是以
GC
为直径的
圆．由相交弦定理知
PM?MQ?GM?MC.
①
取
GC
的中点< br>O.
注意到
AG:GM:MC?2:1:3,
故有
1
OC?GC?AG,

2
因此
G,O
关于点
M
对称．于是
GM?MC?AM?MO.
②
结合①、②，有
PM?MQ ?AM?MO
，因此
A,P,O,Q
四点共圆．
1
又< br>OP?OQ?GC,
所以
?PAO??QAO
，即
AG
平分< br>?PAQ.

2
四、（50分）设
A
是任意一个1 1元实数集合．令集合
B?
?
uv|u,v?A,u?v
?
.
求
B
的元
素个数的最小值．
解：先证明
B?17.
考虑 到将
A
中的所有元素均变为原来的相反数时，集合
B
不变，故
不妨设
A
中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：

情况一：
A
中没有负数．
设
a
1
?a
2
??a
11
是
A
中的全部元素，这里
a
1
?0,a
2
?0,
于是
?a
2
a
11
? a
3
a
11
??a
10
a
11
,

a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
2
a
4
?
上式从小到大共有
1?9?8?18
个数，它们 均是
B
的元素，这表明
B?18.

情况二：
A
中至少有一个负数．
设
b
1
,b
2
,

c
l< br>?
,b
k
是
A
中的全部非负元素，
c
1,c
2
,
?c
1
?0?b
1
??b
k
,

,c
l
是
A
中的全部负元素．不妨设
其中
k,l
为正整数，
k?l?11
，而
k?l
，故k?6.
于是有

c
1
b
1
? c
1
b
2
??c
1
b
k
?c
2< br>b
k
??c
l
b
k
,

它们是
B
中的
k?l?1?10
个元素，且非正数；又有

b
2
b
3
?b
2
b
4
?b
2
b
5
?b
2
b
6
?b
3
b< br>6
?b
4
b
6
?b
5
b
6
,

它们是
B
中的7个元素，且为正数．故
B?10?7?17.

由此可知，
B?17.

另一方面，令
A?0,?1,?2,?2< br>2
,?2
3
,?2
4
,
则

B?0,?1,?2,?2
2
,?2
3
,
??
?< br>,?2
6
,?2
7
,?2
8

?
是个17元集合．
综上所述，
B
的元素个数的最小值为
17.