全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷

2012年河北省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准
说明：本试卷分为 A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3
道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解
答题。

一、选 择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的
括号里，多选、不 选、错选均不得分，每题5分，共50分）
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ D ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

5
?
3
?
,]
，所 以
1?sin2
?
?1?sin2
?
=
cos
?< br>?sin
?
?cos
?
?sin
?
解答：因为
?
?[
42

?2cos
?
。正确答案为D。
1. 已知
?
?[2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实 数a的值为（ C ）
A. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22

解答：由题意得
2?a
2
?4?4?a??2
。正确答案为C。
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，则p是
q的（ B ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
x
2
?y
2
?1
的右焦点
F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ C ） 4. 过椭圆
2
A.
26464243
B. C. D.
3333< br>解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2
?
442?AB?2(x
1
?x
2
)
2
?
。正确答案为 C。
33
?
1?5
?x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5?1
x?0
，则该函数为（ A ）
x?0
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

222
解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中 重叠了一部分（
体积为
2?2?1?3
?
?
?
），所以该几 何体的
2
?
2
?4?
5
?
。正确答案为A。
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依
次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ B ）
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。
8. 在平面区域
( x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax?2by?2
，则动点
??P(a,b)
所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
解答：平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
的四个边界点（—1，—1），（—1，
1），（1，—1），（1，1）满足
ax?2by ?2
，即有
??
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）
6
?
2
?
A.
?
, 1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
, 1
?

?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?
?
1
?
2
?
?

解答：问题等价于函数
f(x)?sin(2x?
?
?
?
?
)
与直线
y?m
在
?
0,
?
上有两个交点，所以m的
6
?
2
?
取值范围 为
?
, 1
?
。正确答案为C。
10. 已知
a?[? 1,1]
，则
x
2
?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ C ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

解答： 不等式的左端看成
a
的一次函数，
f(a)?(x?2)a?(x
2
?4x?4)

由
f(?1)?x
2
?5x?6?0,f(1)?x
2
?3x?2?0?x?1
或
x?3
。
正确答案为C。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数
f(x)?2sin
?
1
?
2
??
x
?3cosx
的最小正周期为______4
?
____。
2
解答：最小正周期为4
?
。
12. 已知等差数列
?< br>a
n
?
前15项的和
S
15
=30，则
a< br>1
?a
8
?a
15
=____6_______.
解答：由
S
15
?30?a
1
?7d?2
，而
a< br>1
?a
8
?a
15
?3(a
1
?7d)?6
。
13. 向量
a?(1,sin
?
)
，
b?( cos
?
,3)
，
?
?R
，则
a?b
的取 值范围为 [1，3] 。
解答：
a?b?(1?cos
?
)?(sin
?
?3)?5?2(cos
?
?3sin
?
)

22
=
5?4sin(
?
6
?
?
)
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱
ABC?A
底面
?ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC< br>1
上的动点（含
1
B
1
C
1
，
端点 ），D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_90
_。
解答：因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，AD⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
，所以
AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为
90
。
15．设
x,y
为实数，则
22
22
max(x?y)?< br>_____4________。
22
5x?4y?10x
解答：
5 x?4y?10x?4y?10x?5x?0?0?x?2

22
4(x
2< br>?y
2
)?10x?x
2
?25?(5?x)
2
?2 5?3
2
?x
2
?y
2
?4

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求 关闭其中的300只
灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有
300
___
C
1710
_______种。（用组合数符号表示）
300
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有
C
1710
种关灯方法。
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y? z?3,x
3
?y
3
?z
3
?3
，则
x< br>2
?y
2
?z
2
?
_3或57_。
解答 ：将
z?3?x?y
代入
x
3
?y
3
?z
3
?3
得到
xy?3(x?y)?9?
8
，因为
x,y
都是整数，所以
x?y
?
x?y?1
?
x?y?4
?
x?y?2
?
x?y?8
,
?
,
?
,
?
,
前 两个方程组无解；后两个方程组解得
?
?
xy?2
?
xy?5
?
xy?1
?
xy?16
x?y?z?1;x?y?4,z??5
。所以
x
2
?y
2
?z
2
?
3或57。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
解答：当
x?0,y??(x?1)
2
?1,

当
---------------------------------- 5分
由此可知
x?0,y?(x?1)
2
?1,

y
max
?0
。
---------------------------------- 10分
当
1?a?2,y
min
?a
2
?2a
；
当
1?2?a?1,y
min
??1
；
当
a?1?2,y
min
??a
2
?2a
。
---------------------------------- 17分



19. 给定两个数列
?
x
n
?
，< br>?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
?
x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1

2
y
n?1< br>y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
1?2y
n?1
y
n
?x
j
n
。
解答：由已知得到：
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列，首项为2，公比为2，
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x< br>n
所以
5分
11
。 -----------------
?1?2
n?1
?x
n
?< br>n?1
x
n
2?1
(y
n?1
?1)
2y?1y
n?1
?1
2
11
2
又由已知，
y< br>n
?1??
n
?()?1??(1?)

1?2y
n ?1
y
n
y
n?1
y
n
y
n?1
n
111
2
由
1?
，
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n2
2
?1
所以取
j
n
?2?1
即可。 -------------------
17分

n
x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)
为
F
1
右侧
54
一点，连AD、BD分别交 椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求
a
的值。
解答：
F
1
(?3,0),左准线 方程为x??
25
;AB方程为
y?k(x?3)(k为斜率)
。
3
?
y?k(x?3)
?
2222
2
设
A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
?
x
2

?(16?25k)x?150kx?225k?400 ?0
得
y
?1
?
?
?
2516
150k< br>2
225k
2
?400256k
2
2
x
1< br>?x
2
??,x
1
x
2
???y
1
y
2
?k(x
1
?3)(x
2
?3)??

222
16?25k16?25k16?25k
-------------------- --10分
设
M(?
2525
(3a?25)y
1
(3a ?25)y
2
,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、 A、D共线
y
3
?
。
,同理y
4
?
33
3(a?x
1
)3(a?x
2
)
1616
,y3
),F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N?F
1
M?F
1
N?0
33
， 得又
F
1
M?(?

256
256k
2
（3a?25)
2
y
1
y
2
256（3a?25)
2
?,
整
?
=
y
3
y
4
??, 而y
3
y
4
?，即
?
2
9
16?25k< br>9(a?x
1
)(a?x
2
)
99(a?x
1
)(a?x
2
)
理得
(1?k
2
)(16a
2
?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5
。
--------------17分


四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计 50 分）
21. 在锐角三角形ABC中，
?A?
?
3
，设在其内部同时满足
PA?PB
和
PA?PC
的点P 的全
体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的

1
。证明三角形ABC为等边三角形。
3
解答：做
?ABC
的外接圆O，做
OE?B于E,OF?AC于F,OM?BC于M,
则G为四边形
A
A
AEOF。又
E F
O
C
B
M
D
1
S
四边形AEOF
?S
?ABC
,2S四边形AEOF
?2S
?AEO
?2S
?AOF
?S
? AOB
?S
?AOC

3
1
S
?O
?S< br>?
所以
3
--------------------------10分
B
。
C
1
由已知?BOC?1 20,则?OBC?30,则OM=R(R为?ABC外接圆半径)

2
3
作AD?BC于D,则AD?AO?OM?R

2
13 R
S
?ABC
??BC?3S
?OBC
，等号成立当且仅当A、O、 M共线，即
?ABC
为等边三角形。
22
--------------------------25分
22. 设
a,b,c?R
，且
a?b?c?3
。求证：
?

a?bb?cc?a3
???
，
2?a?b2?b?c2?c?a2
并指明等号成立的条件。
n
2
i
证明：由柯西不等式
a
?
?
b
i?1
i
(
?
a
i
)
2
i?1
n
n
得到
i
?
b
i?1
a?bb?cc?a
(a?b?c?b ?a?c)
2
??
（1）
?
2?a?b2? b?c2?c?a
6?2(a?b?c)
--------------------10分
（1）式右边的分子=
2(a?b?c)?2(a?bc?b?c?ba?c?a?cc?b)

=
2(a?b?c)?2(b?b(a?c)?ac?
2
)?2( a?b?c)?2(b
2
?2bac?ac?)

?2(a?b?c)?2( b?ac?a?bc?c?ab)?3(a?b?c)?(a?b?c)
2

?3(a?b?c?3)
。
等号成立条件是
--------------------------25分

--------------------------20分
a?b?c?1
。结论成立。