2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第10讲平面几何

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何
⌒
、< br>⌒
1、（2009二试1）如图，
M
，
N
分别为锐角三角形< br>?ABC
（
?A??B
）的外接圆
?
上弧BCAC的中点．过
点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点 ，
I
为
?ABC
的内心，连接
PI
并延长交圆
?< br>于
T
．
⑴求证：
MP?MT?NP?NT
；
⌒< br>（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠A
，，）⑵在弧A B
T
B
，记
?AQC
，
△QCB
的内心分别为I
1
，
I
2
，
求证：
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．







【解析】⑴连
NI
，
MI
．由于
PC∥MN
，P
，
C
，
M
，
N
共圆，
故
PCMN
是等腰梯形．因此
NP?MC
，
PM?NC
．
连
AM
，
CI
，则
AM
与
CI
交于
I
，因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI
，所以< br>MC?MI
．
A
Q
N
I
T
A
P< br>C
M
N
P
C
M
I
T
P
N< br>C
M
I
I
2
B
B
I
1
A< br>B
T
Q
同理
NC?NI
．
于是
NP?MI
，
PM?NI
．
故四边形
MPN I
为平行四边形．因此
S
△PMT
?S
△PNT
（同底，等 高）．
又
P
，
N
，
T
，
M
四点 共圆，故
?TNP??PMT?180?
，由三角形面积公式
111
S△PMT
?PM?MTsin?PMT?S
△PNT
?PN?NTsin?PNT ?PN?NTsin?PMT

222
于是
PM?MT?PN?NT
．

又因
? I
1
NT??QNT??QMT??I
2
MT
，有
?I1
NT∽?I
2
MT
．
故
?NTI
1
??MTI
2
，从而
?I
1
QI
2
??NQM? ?NTM??I
1
TI
2
．
因此
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．

2、（2010二试1）如图，锐角三角形
ABC
的外心为
O
，
K
是边
BC
上一点（不是边
BC
的中 点），
D
是线段
AK
延长线上一点，直线
BD
与
A C
交于点
N
，直线
CD
与
AB
交于点
M< br>．求证：若
OK
⊥
MN
，则
A
，
B
，
D
，
C
四点共
圆．








M
P
B
O
A
E
K
D
C
Q
N
22222
同理
QK?QO? r?KO?r
，
???
2
?
所以
PO?PK?QO?QK
，
故< br>OK
⊥
PQ
．由题设，
OK
⊥
MN
，所以< br>PQ
∥
MN
，于是
222
AQAP
?
．①
QNPM
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
NBDEAQ
???1
，②
BDEAQN
MCDEAP
???1
．③
CDEAPM
N BMCNDMD
??
由①，②，③可得，所以，故△
DMN
∽△
DC B
，于是
?DMN??DCB
，所以
BC
∥
MN
，
BDCDBDDC
故
OK
⊥
BC
，即
K
为
BC
的中点，矛盾！从而
A,B,D,C
四点共圆.
注1：“
PK?
P
的幂（关于⊙
O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）”的证明：延长
PK
至点
F
，使 得
2

PK?KF?AK?KE
，④
则
P
，
E
，
F
，
A
四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE
，
从而
E
，
C
，
F
，
K
四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC
，⑤
⑤-④，得
PK
2
?PE?PC?AK?KE
?
P
的幂（关于⊙
O
）
?
K
的幂（关于⊙
O
）．
注2：若点
E
在线段
AD
的延长线上，完全类似．









3、（201 1二试1）如图，
P,Q
分别是圆内接四边形
ABCD
的对角线
AC ,BD
的中点．若
?BPA??DPA
，证
明：
?AQB??CQB
．
N
M
P
B
E
K
D
O
F
C
A
Q

【解析】延长线段
DP
与圆交于另一点
E
，则
?CPE??DPA??BPA
，又
P
是线段
AC
的中点，故
AB?CE
，
从而
?CDP??BDA
．
??

又
?ABD??PCD
，所以△
ABD
∽△
PCD
，于是
从而有
AB?CD?
即
AB
BQ
．
?
ACCD
ABPC
，即
AB?CD?PC?BD
.
?
BDCD
11
AC?BD?AC?(BD)?AC?BQ
， 22
又
?ABQ??ACD
，所以△
ABQ
∽△
ACD
，所以
?QAB??DAC
．
延长线段
AQ
与圆交于另一 点
F
，则
?CAB??DAF
，故
BC?DF
．
又因为
Q
为
BD
的中点，所以
?CQB??DQF
．
又
?AQB??DQF
，所以
?AQB??CQB
．
< br>4、（2012二试1）如图，在锐角
?ABC
中，
AB?AC,M,N
是
BC
边上不同的两点，使得
?BAM??CAN.
设
?ABC< br>和
?AMN
的外心分别为
O
1
,O
2
，求证 ：
O
1
,O
2
,A
三点共线.




B
M
N
C
A
??

是
?O
1
的切线.因此
?B??PAC
, 因为
?BAM??CAN,

所以
?AMP??B??BAM??PAC??CAN??PAN

因而AP
是
?AMN
的外接圆
O
2
的切线, 故
A P?AO
2
.
所以
O
1
,O
2
,A
三点共线.

5、（2013二试1）（本题满分40分）如图，
AB
是 圆
?
的一条弦，
P
为弧
AB
内一点，
E、F
为线段
AB
上两
点，满足
AE?EF?FB
.连接
PE、 PF
并延长，与圆
?
分别相交于点
C、D
.求证：

EF?CD?AC?BD

【证明】连接
AD，BC，CF， DE
.由于
AE=EF=FB
，从而







P
P
?
A
E
F
D
A
B
?
E
B
F
D
C
C
B C?sin?BCE点B到直线CP的距离BE
?=?2
.
AC?sin?ACE点A到直线CP的距离AE
(1 )
同样
AD?sin?ADF点A到直线PD的距离AF
?=?2
.
BD?sin?BDF点B到直线PD的距离BF
(2 )
另一方面，由于
?BCE??BCP??BDP??BDF
，
?ACE??ACP??ADP??ADF
，


6、（2014 二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC
?
60°，过点B,C分 别作三角形ABC
的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE与AB，AC的延长 线分别交于点F,G，设CF与BD交于点
M,CE与BG交于点N，证明：AM=AN.

△DFB相似.MCBCBDACLC
????,
因此LM||BF.

MFFDFDA BLB
同理，LN||CG,由此推出
∠ALM=∠ALB+∠BLM=∠ALB?∠ABL? 180
0
-∠BAL

=180
0
-∠CAL?∠ALC? ∠ACL?∠ALC?∠CLN
?∠ALN.

再结合BC||FG以及内角平分线定理得到

LMLMBFCGCLABBCCLA B
?????????1
及LM=LN.

LNBFCGLNBCACBLB LAC
故由AL=AL,∠ALM=∠ALN,LM=LN得到△ALM与△ALN全等，因而AM=A N,证毕.

?
上一点,点
K
在线段
AP
上,使得
BK
平7、(2015二试3)(本题满分50分)如图 ,
?ABC
内接于圆
O,P
为
BC
分
?ABC,过
K,P,C
三点的圆
?
与边
AC
交于点
D
,连结
BD
交圆
?
于点
E
,连结
PE并延长与边
AB
交
于点
F
,证明:
?ABC?2?FC B













8、（2016二试2）（本题满分40分）如图所示，在△ABC中 ，X,Y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺次排列），
使得BX·AC=CY·AB. 设△AC X，△ABY的外心分别为
O
1
,O
2
，直线
O
1
O
2
与AB,AC分别交于点U、V.证明：

△AUV是等腰 三角形.







即CP·PX =BP·PY.故P对圆
w
1
和
w
2
的幂相等，所以P在< br>w
1
和
w
2
的根轴上.
于是AP⊥
O1
O
2
，这表明点U、V关于直线AP对称，从而△AUV是等腰三角形.






9、（2017二试1）（本题满分 40分）如图，在
?ABC
中，
AB?AC
，
I
为
?ABC
的内心，以
A
为圆心，
AB
为半径作圆
T
1
，以
I
为圆心，
IB
为半径作圆
T
2
， 过点
B、I
的圆
T
3
与
T
1
,
T
2
分别交于点
P,Q
（不同于点
B
），
设
IP
与
BQ
交于点
R
.证明：
BR?CR
.





证明：连接
IB,IC,IQ,PB,PC.

由 于点Q在圆T
2
上，故IB?IQ,所以?IBQ??IPB.故?IBP
?
?IRB,从而有?IRB=?IBP,且
注意到AB?AC,且I为?ABC的内心，故IB?IC, 所以
IBIP
?.
IRIB
ICIP
?,于是?ICP
?< br>?IRC,故?IRC=?ICP.
IRIC
1
又点P在圆T
1
的弧BC上，故?BPC?180
0
??A,因此?BRC??IRB??IRC??IBP ??ICP
2
11
?360???BIC??BPC?°?(90??A）?（
0
??A）
0
.故BR?CR
22