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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:39
tags:高中数学联赛

高中数学线与面思维导图-苏教版高中数学1-1课本



2011年全国高中数学联赛江苏
赛区初赛试题及解答



2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小
题7分.要求直接将答案写在横线上)
1. 复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?

2
2. 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
称轴,则实数
m?
?y
2
?4x?4y?5?0
的一条对
.

3. 某班共有30名学生,若随机抽查两位学生
的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 (结果用最简分数表示).

4. 已知
cos4
?
?
1
,则
sin
?
?cos
?
?

5
44

5. 已知向量a,b满足
a?b?2,?a,b??
π
,则以向量
2a?b
3

3a?b
表示的有向线 段
为邻边的平行四边形的面积
为 .

6. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若{S
n
}是首项及公比都为2的等比数列,则数列{a
n
3
}的前



n项和等于 .

7. 设函数
f(x)?x< br>2
?2
.若f(a)=f(b),且0<a<b,
则ab的取值范围是 .
8. 设f(m)为数列{a
n
}中小于m的项的个数,其

a
n
?n
2
,n?N*


f[f(2011)]?

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为
4的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角
形的斜边长是 .
10.已知m是正整数,且方程
2 x?m10?x?m?10?0
有整
数解,则m所有可能的值
是 .











二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,
共80分)
11.已知圆
x





12.设
f(x)?x
1,求
b






13.如图,P是
VABC
内一点.
(1)若P是< br>VABC
的内心,证明:
?BPC?90?
1
?BAC
; < br>2
o
2
2
?y
2
?1
与抛物线
y? x
2
?h
有公共点,求实
数h的取值范围.
?bx?c(b,c? R)
.若
x≥2
时,
f(x)≥0
,且
f(x)

区间
?
2,3
?
上的最大值为
2
?c
2
的最大值和最小值.
1
(2)若
?BP C?90?
1
证明:P是
VABC
?BAC

?APC?9 0??ABC

22
oo



的内心.













14.已知
?
是实数,且存在正整数n
0
,使得
正有理数.
证明:存在无穷多个正整数n,使得
有理数.




n?
?
n
0
?
?
A
P
B C



2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小
题7分.要求直接将答案写在横线上)
1. 复数
(1?i)
答案:-8
基础题,送分题,高考难度
2. 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
称轴,则实数
.
答案:
?
3

2
m?
2
4
?(1?i)
4
?

?y
2
?4x?4y?5?0
的一条对
基础题,送分题,高考难度
3. 某班共有30名学生,若随机抽查两位学生
的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 (结果用最简分数表示).
19
答案:
145

基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否
则很容易有错
4. 已知
cos4
?
?
1
,则
sin
?
?cos
?
?

5
44
4
答案:
5

计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油
的同学有一定难度



5. 已知向量a,b满足
a?b?2,?a,b??
π
,则以向量
2a?b
3

3a?b
表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积
为 .
答案:
103

可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容
易可以得出答案
6. 设数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
.若{S
n
}是首项
及公比都 为2的等比数列,则数列{a
n
3
}的前
n项和等于 .
答案:
1
(8?48)

7
n
高考难度级别,基础好的同学可以做出来
7. 设函数
f(x)?x
答案:(0,2)
这是一道高考题
8. 设f(m) 为数列{a
n
}中小于m的项的个数,其

a
n
2
?2
.若f(a)=f(b),且0<a<b,
则ab的取值范围是 .
?n
2
,n?N*


f[f(2011)]?

答案:6
这也是一道高考题
9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为



4的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角
形的斜边长是 .
答案:43
还是一道高考题
10.已知m是正整数,且方程
2x?m10 ?x?m?10?0
有整
数解,则m所有可能的值
是 .
答案:3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。
二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,
共80分)
11.已知圆
x
2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h有公共点,求实
数h的取值范围.
解:设公共点(cosθ,sinθ),代入抛物线方程,
5

h?sin
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?
?1 ?(sin
?
?
1
)?

24
222
5< br>?
?
因为
sin
?
?
?
?1,1
?
,所以
h?
?
?
4
,1
?

??
简单,很简单
12.设
f(x)?x
1,求
b
2
?bx?c(b,c?R)
.若
x≥2
时,
f(x)≥0
,且
f(x)

区间
?
2,3
?
上的最大值为
2
?c
2
的最大值和最小值.
解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且
f(x)



在区间
?
2,3
?
上的最大值只能在闭端点取得,
故有< br>f(2)≤f(3)?1
,从而
b≥?5

c??3b?8


f(x)?0
有实根,则
??b
在区间
?
?2, 2
?

4
?
b≤?,
?
5
?
?< br>b≤?4,
?
?4≤b≤4,
?
?
?
?
f( ?2)≥0,
?
?
f(2)≥0,
?
b
?
?2≤≤ 2,
?2
2
?4c≥0

消去c,解出即
?
4? 2b?c≥0,
?
?
4?2b?c≥0,
?
?4≤b≤4,
?


b??4
,这时
c?4
,且
??0


f(x)?0
无实根,则
??b

?8?b??4

综上
?5≤b≤?4

所以
b

(b
2
2
?4c?0
,将
c??3b?8
代入解
2
?c< br>2
?b
2
?(?3b?8)
2
?10b
2
? 48b?64
,单调递减
?c
2
)
min
?32,(b< br>2
?c
2
)
max
?74


注重分类讨论
13.如图,P是
VABC
内一点.
(1)若P是
VABC
的内心,证明:
?BPC?90?
1
?BAC

2
o
1
(2)若
?BPC?90?
1
证明:P是< br>VABC
?BAC

?APC?90??ABC

22
oo
的内心.
证明:(1)
111
?BPC?180
o
?(?ABC??ACB)?180
o
?(180
o
??BAC)?90o
??BAC
222
A
P












这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的
平面几何的参考书上都有
14.已知
?
是实数,且存在正整数n
0
,使得
正有理数.
证明:存在无穷多个正整数n,使得
有理数.
证明:设
n
0
?
?
?
q
p
n?
?
n
0
??


,其中p,q为互质的正整数,



q
2
n
0
?
?
?
2
p
. < br>22
设k为任意的正整数,构造
n?pk

n?
?
? pk?2qk?n
0
?
?
?
2222
?2qk?n
0

q
2
q
pk?2qk?
2
?pk??Qpp

非常非常常规的一道数论题,不需要数论的
预备知识
总结:这 张试卷大约90分以上应该可以出
线了。一般说来,出线并不算太难,只要平时基
础好,不粗心 ,填空题应该可以做满分(笔者错
了一个),对于没有进行过竞赛辅导的同学来说,
大题的1、 2两题还是可以做做的。
尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定
要写写,写写总是有份的 ,而且分很多。比如最
后一题,只要把他设出来,就有8分。

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