2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛辽宁
赛区初赛试题

2
014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题
（7月6日8:30至11:00）
一．选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．已知
AUBUC?
?a,b,c,d,e,f
?
，
AIB?
?
a,b,c,d
?
，
c?AIBIC
，则符合上述条件的
?
A,B,C
?
共有（ ）组
A．100 B．140 C．180 D．200

2．已知集合
S
1
?
?
(x,y)log
2
(1?x
2
?y
2
)≤1?log
2
(x?y )
?
，并且集合
??
22
S
2
?
?
(x,y)log
1
(2?x?y)≥?2?log
1
(x?y)
?
，则
S
2
与
S
1
的面积比为（ ）
?
22
?
A．
2:1
B．
4:1
C．
6:1
D．
8:1


c
成等比数列 ，
a
，
c
的对角依次为
A
，
B
，3．已知
△ABC
的三边
a
，则
sinB?cosBC
，
b
，
b
，
的取值范围是（ ）
13
3
1
]
B．
(1,2]
C．
(1,1?]
D．
[,2]
A．
[,1?
2 2
2
2
sinA?3cosA7π
4．
△ABC
的三个内角 为
A
，
B
，
C
，若，则
sin2B?2cosC< br>的最大
?tan
12
cosA?3sinA
值为（ ）
13
A． B．
1
C． D．
2
< br>22
111
???1(n?N
*
)
，
a
1< br>?a
3
?6
，
a
1
，
a
2
，
a
3
单调递增5．正项数列
?
a
n
?
满 足
a
n
a
n?1
a
n
a
n?2
a
n?1
a
n?2
且成等比数列，
S
n
为
?
a
n
?
的前
n
项和，则
?
S
20 14
?
的值是（其中表示不超过实数的最大整数）
（ ）
A．5368 B．5367 C．5363 D．5362

6．设直线
l
与球
O
有且只有一个公共点
P
，从直线
l
出发的两个半平面
?
、
?
截球
O
的两个
5π
截面圆的半径分 别为
1
和
3
，二面角
?
?l?
?
的平面角 为，则球
O
的半径为（ ）
6
A．
7
B．
27
C．
10
D．
210


二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
1
1
7．若非零复数
x
满足
x??1
，则
x
2014
?
2014
?
．
x
x
4x
2
8．不等式
?2x?9
的解集为 ．
2
(1?1?2x)
9．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得 0分，比赛进行到有一人比对
21
方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙 在每局中获胜的概率为，
33
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数
?
的期望
E(
?
)
为 ．
uuuruuuruuuruuuruuur
25
10．如图所示，在
△ABC
中，
cosC?
，
AH?BC?0
，
AB?(CA?CB)?0
，则过 点
C
，
5
以
A
，
H
为两焦点的双曲线的离 心率为 ．

a
11．设是由任意1 00个互不相同的正整数组成的集合，令
B?{a,b?A
且
a?b}
，f(A)
表
b
示集合
B
中元素的个数，则
f(A)的最大值与最小值之和为 ．

12．抛物线
y?ax
2
?bx?1
的参数
a
，
b
满足
8a2
?4ab?b
3
，则当
a
，
b
变动时，抛物 线的顶
点
(s,t)
的轨迹方程为 ．
三．解答题（本题共4道小题，满分90分）
13．（本小题满分20分）
函数< br>f(x)
的定义域为
R
，已知
x?0
时，
f(x)? 0
，并且对任意
m,n?R
，都有
f(m?n)?f(m)?f(n)
．
（1）讨论函数
f(x)
的奇偶性以及单调性；
（2）设集合
A?
?
(x,y)f(3x
2
)?f(4y
2
)≤24< br>?
，
B?
?
(x,y)f(x)?f(ay)?f(3)?0
?
，
1
??
C?
?
(x,y)f(x)?f(y
2
)?f(a)
?
，且
f(1)?2
，若
AIB??
且
AIC??
，试求实数
2
??
a
的取值范围．

14．（本小题满分20分）
如图，锐角
△ABC
外心为
O
，直线
BO
和
CO
分别与边
AC
，
AB
交于点
B'
，
C'
．直
线
B'C'
交
△A BC
外接圆于点
P
，
Q
．若
AP?AQ
，证明：< br>△ABC
是等腰三角形锐角
三角形．

15．（本小题满分25分）
已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，对于任意的
p,q?N
*
，有
a
p?q
?a
p
?a
q
．
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）数列
?
b
n
?
满足
a
n
?
bb
b
1
bb
?
2
2
?
3
3
?4
4
?
L
?(?1)
n?1
n
n
(n ?N
*
)
，求数列
2?12?12?12?12?1
?
b< br>n
?
的通项公式；
n*
（3）设
C
n
?3 ?
?
b
n
(n?N)
，是否存在实数
?
，当
n?N
*
时，
C
n?1
?C
n
恒成立，若存在，
求实数
?
的取值范围；若不存在，请说明理由．


16．（本小题满分25分）
已知抛物线
C:y
2
?2px(p? 0)
，直线
l
与抛物线
C
相交于
A
，
B< br>两点，连结
A
及抛物
线顶点
O
的直线交准线于
B'< br>，连结
B
及
O
的直线交准线于
A'
，并且
A A'
与
BB'
都平
行于
x
轴．
（1）证明：直线
l
过定点；
（2）求四边形
ABB'A'
的面积的最小值．


2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填
空题只设5分和0分两档，其它各
题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给
分。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路
合理，步骤正确，评卷时可参照本
评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不
要再增加其它中间档次。
一．选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．已知集合
A?{x|x
2
?2x?10?0},B?{x|m?1?x?2m?1}
．当
AIB??
时 ，实数
m
的取
值范围是（ ）．
11
(A) .
2?m?4
(B).
m?2
或
m?4
(C).
??m?4
(D)．
m??
或
m?4

22
1. (B).

2．过原点的直线l交双曲线
xy??22
于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿
x轴折起使之与上半 平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）．
(A) .
22
(B).
32
(C).
42
(D)．4
2. (D)．
13
abca?b?c
i
，若
??
，则3．设
a, b,c
均为非零复数，令
w???
的值为（ ）．
22
bcaa?b?c
(A) . 1 (B).
?w
(C).
1,w,w
2
(D)．
1,?w,w
2

3. (C).
4．设
f(x)
是
(0,??)
上的单 调函数，且对任意
x?(0,??)
，都有
f[f(x)?log
2
x]?6
．若
x
0
是
方程
f(x)?f
'
(x)?4
的一个解，且
x
0
?(a?1,a)(a?N
*
)
，则
a
的值为（ ）．
(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)．4
4. (B)．
43
?2
，5．内直 径为高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）．
3
(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)．39
5. (C)．
6 ．已知实数
x,y
满足
17(x
2
?y
2
)?30 xy?16?0
．则
16x
2
?4y
2
?16xy?12x ?6y?9
的最大值
是（ ）．
(A) . 7 (B).
29
(C).
19
(D)．3

6. (A) .
二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
7．若
2
a
?2
b
?2
a?b
,2
a
?2
b
?2
c
?2
a?b?c
，则
2
c
的最 大值是 ．
4
7..

3
8．长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB?AA
1
?4,AD?3
，则异面直线
A
1
D与
B
1
D
1
的距离
为 ．
634
8..
17

3
x
2
y2
9．椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，斜 率为1且过点
M(b,0)
的直线与椭圆交于A、
2
ab
uuuru uur
32
B两点．设O为坐标原点，若
OA?OB?cot?AOB
，则该 椭圆的方程是 ．
5
x
2
y
2
??1
. 9.

164
10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有
种．
10.

4212
.
?
2
x
?1,x?0,
11．已知函数
f(x)?
?
设方程
f(x )?x
在区间
(0,n]
内所有实根的和为
S
n
，则
?
f(x?1)?1,x?0,
1
数列{}的前
n
项和= ．
S
n
2n
11..

n?1

12．数列{
a
n
}中，
a
n
?2a
n?1
?
12.

a
n
?(n?1)(2
n?1
?1)
.
三．解答题
2a
n?1
?n?1(n?2)
，则此数列的通项公式
a
n
= ．
n
13．设关于
x
的 方程
x
2
?mx?1?0
有两个实根
?
,
?
(
?
?
?
)
，函数
f(x)?
2x?m
.
2
x?1
（1）求
?
f(
?
)?
?< br>f(
?
)
的值；
（2）判断
f(x)
在区间
(
?
,
?
)
的单调性，并加以证明；
??
?< br>????
?
??
)?f()|?|
?
?
?
|
. （3）若
?
,
?
均为正实数，证明：
|f(
?
?
??
?
?
13. 解: (Ⅰ)∵
?
,
?
是方程
x
2
?mx?1?0
的两个根， ∴
?
?
?
?m,
??
??1
，
2
?
?m2
?
?(
?
?
?
)
?
?
?
1
???
∴
f(
?
)?
2
，
?
?1
?
2
?
???
(
?
??
)
?
∴
?
f(
?
)?1
，同理可得
?
f(
?
)?1
∴
?
f(
?)?
?
f(
?
)?2
， ………………（5分）
2(x
2
?mx?1)2(x?
?
)(x?
?
)
? ?
（Ⅱ）∵
f
?
(x)??
，
2222
(x?1 )(x?1)
当
x?(
?
,
?
)
时，
f< br>?
(x)?0
，∴
f(x)
在
(
?
,
?
)
上单调递增． ………………………（10分）
??
?
?? ?
(
?
?
?
)
??
?
???
(< br>?
?
?
)
?
?
??0
，
?
?
??0
， （Ⅲ）∵
?
?
??
?
?
?< br>?
??
?
?
??
?
????
?
??
?
?
∴由（Ⅱ）可知，
f(
?
)?f()?f(
?
)
， ∴?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
)?f(
?
)
， 同理
f(
?
)?f(
?
?
?
??
?
????< br>?
??
)?f()|?|f(
?
)?f(
?
)|， ……………………………（15分） ∴
|f(
?
?
??
?
?
1
1
由（Ⅰ）可知，
f(
?
)?
，
f(
?
)?
，
??
??1
，
?
?
11
?
?
?
|?|
?
?
?
|< br>， ∴
|f(
?
)?f(
?
)|?|?|?|
???
??
?
????
?
??
)?f()|?|
?
?
?
|
． ……………………（20分） ∴< br>|f(
?
?
??
?
?
2
?na
n< br>?
?
(n?N
?
,
?
为实数）14.已知数列{a
n
}满足
a
1
?3,a
n?1
?a
n
．
（1）若
a
n
?2n
恒成立，求
?
的取值范围；
111
??
L
??2
．
a
1
?2a
2
?2a
n
?2
14. 解: (Ⅰ)当
n?2
时，由
a
2
?6?
?
?2?2得
?
??2
，
?
（2）若
?
=-2，求证：
即
a
n
?2n
时，
?
??2
. …………………………（5分）
下面证明当
?
??2
时，
a
n
?2n
.
当
n?2
时，
a
2
?2?2
成立；设当
n ?k(k?2)
时，
a
k
?2k
成立；则当
n?k?1时，
2
a
k?1
?a
k
?ka
k
?
?
?a
k
(a
k
?k)?
?
?2k
2
?2?2
?
k?1
?
(k?1)?2
?
k?1
?
，
故对所有
n?2
，
a
n
?2n成立.当
n?1
时，
a
1
?3?2?1
成立， 故对所有
n?N
*
，
a
n
?2n
成立.
综上，
?
的取值范围是
?
??2
. ……………………………（10分）
2
?na
n
?4?na
n?4?2
?
a
n
?2
?
?0
（
n?2
）（Ⅱ）当
?
??2
时，
a
n?1
?2?a
n
，

?
111111
， …………………（15分）
??????????n?1
??
n?1
（
n?3
）
a
n
? 22a
n?1
?2a
1
?2
22
111
1111< br>??
L
?
?1??
2
?????
n?1
?2 ?
n?1
?2
. ……………（20分）
a
1
?2a2
?2a
n
?2
2222
15．如图，锐角△ABC中，AB< AC,且点D和E在边BC上，满足BD=CE.若在△ABC内存在点P
满足PD||AE且∠PAB =∠EAC，证明: ∠PBA=∠PCA.
15.证明:如图,作平行四边形
ABFC
和平行四边形
ABGP
，
则
AC?FB
，
?ACE??FBD
，
又
BD?C E
，
A

故
?AEC??FDB
， ………………………（5分）
?BDF??AEC
，所以
FDAE
， 又
PDAE
，则
P
、
D
、
F
三点共线 . ……（10分）
因此，
?BFP??BFD??EAC??BAP??BGP
,
故
B
、
G
、
F
、
P
四点共圆，
P

?FBG??FPG??BAP??EAP??CAP
又由于
AP?BG,AC?BF
,
故
?APC??BGF
，……（20分）
故
?ABP??BPG??BFG??ACP
. …（25分）
G< br>16.设点P为圆
C
22
1
：x?y?2
上的动点，过

P作


B
y

D

E

2?
u
x轴的垂线，垂足为Q.点满足
MQ
u uur
?
u
PQ
uur
.
P

A

F
C
（1）求点M的轨迹的方程；

（2）过直线
x?2
上的点T作圆C
M

2
的两条切
C

T

设切点分别为A、B，若直线 AB与（1）中
曲线C
2
交于两点C、D，求
|CD|
|AB|的取值范围.
Q

O


x
D
16.解：(Ⅰ)设点
M(x,y)
，由
2?
u
MQ
uuu r
?
u
PQ
uur
，
B

P(x,2y)
，
由于点
P
在
C
22
1
：x?y?2
上，
x
2
所以
x
2
?2y
2
?2
，即
M
的轨迹方程为
2
?y
2
?1
. ………………（5分）
（Ⅱ）设点
T(2,t)
，
A(x
1
?
,y
1
?
)，B(x
2
?
,y
2
?
)
，则
AT
，
BT
的方程为
x
1< br>?
x?y
1
?
y?2
，
x
2
?x?y
2
?
y?2
，
又点
T(2,t)
在
AT
、
BT
上，则有：
2x
1
?
?t y
1
?
?2
①，
2x
2
?
?ty
2
?
?2
②， ……………………（10分）
由①、②知
AB
的方程为：
2x?ty?2
，
设点
C(x
1
,y
1
)，D(x
2
,y
2
)
，则圆心
O
到
AB
的距离
d?
2
4?t< br>2
，则
|AB|?2r
2
?d
2
?2
2t< br>2
?4
t
2
?4
； ……………………（15分）
?
又由
?
2x?ty?2
?
x
2
，得
(t
2
?8)y
2
?4ty?4?0，
?
?2
?y
2
?1
点
线，
的得

于是
y
1
?y
2< br>?
4t
?4
yy?
，
12
，∴
t
2
?8
t
2
?8
t
2
2t
2
?4? 2t
2
?8
|CD|?1?|y
1
?y
2
|?，
2
4t?8
|AB|(t?8)t?2
?
于是，
|CD|
(t
2
?4)t
2
?4
2
22

|AB|s
3
?6s
2
?32632
??1??
3
， 设
t?4?s
，则
s?4
，于是
3
|CD|s ss
11
|AB|
?1?6m?32m
3
，……………………（20 分） 设
?m，m?(0,]
，于是
|CD|
s4
1
32< br>设
f(m)?1?6m?32m
，
f
?
(m)?6?96m< br>，令
f
?
(m)?0
，得
m?
.，
4得
f(m)
在
(0,]
上单调递增，故
f(m)?(1,2]< br>.，即
1
4
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2
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|CD|
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的范围为
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2
|AB|
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…………………………………………（25分）