全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
一、填空题
1、化 简
1
12?21
?
1
23?32
?
1
34 ?43
?
…
?
1
20162017?20172016
?1 ?
1
2017
.

解：由
1
kk?1?(k?1) k
?
1
k(k?1).(k?1?k)
?
k?1?k
k(k ?1)
?
1
k
?
1
k?1
可得.
2、若 sinx+cosx=
2
52
33
,
sinx?cosx?
.
2
8
(sinx?cosx)
2
?11
??
, 解:
sinxcosx?
24
sin
3
x?cos
3
x?(sinx?cosx)
3
?3sinxcosx(sinx?cosx)?
2 3252
??

488
3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．
解：反向考虑，边长为a的正方体（体积为a）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶 点组
3
a
3
a
3
,令?1，则a
3
?3.
成，其体积为
33
4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上 ，则椭圆的离心率
e?
12
或
．
22
x
2
y
2
解：建立坐标系，设椭圆的方程为
2
?
2
?1(a? b?0),则顶点A
1,2
?(?a,0),B
1,2
?(?b,0),焦点
ab
F
1,2
?(?c,0)
，准线方程为
l1,2
a
2
??,其中c?a
2
?b
2
,据对称性，只要考虑两种情况：（1）、
c
a
2
a
2
c 1
A
1
(?a,0)关于F
2
(c,0)的对称点在右准线x?上， ?2c,得e??
；（2）、 由
?a?
cca2
a
2
c2
a
2
?2c,得e??.

B
1
(0,b)关于F
2
(c,0)的对称点在右准线x?上，
由横坐标
0?
ca2
c
5
、函数
y??4x?34x
2
?1
的最小值是
5
．

解：首先，
y??4x?34x
2
?1? ?4x?6x?0.
又由
(y?4x)
2
?9(4x
2
?1 ),
即
20x
2
?8xy?(9?y
2
)?0,据判别式? ?64y
2
?80(9?y
2
)?0
，即
y
2?5,
因y>0,则
y?5,
此
值在
x?
1
5
时取得（也可以令.x?
1
tan
?
求解）
.
2
2
2n
6
、设
(1?x?x)?a
0
?a
1
x?a
2
x?
…
?a
2n
x
，则
a
2
?a
4
?a
6
?
…
?a
2 n
n
2n
3
n
?1
?
．
2
解：令x=0，得a
0
=1,再令x=1，得a
0
+ a
1
+ a
2
+…+ a
2n
=
3
,又令x=-1，得a
0
- a
1
+ a
2
+…+ a
2n
=1，所以
a
2
?a
4
?a
6
???a
2n
3
n?1
?
.
2
112123
7
、将全体真分数排成这样 的一个数列
{a
n
}
：
,,,,,,
…，排序方法是：自左 至右，先将分
233444
母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列， 则其第2017项
a
2017
?
1
．
65
解：按 分母分段，分母为k+1的分数有k个，因
段，则
a
2017
应是分母为65 的第一数，即
63?6464?65
?2016,?2080
，因2017属于第64
22
1
.
65
8
、将各位数字和为10的全体正整数按自 小到大的顺序排成一个数列
{a
n
}
，若
a
n
?2 017
，则n=120.
解：数字和为10的两位数
ab
有9个；数字和为 10的三位数
abc
：首位数字a可取1，2，…，9中任
意一个值，当a取定后，b 可取0，1，…，10-a这11-a个数字的任意一个值，而在a,b确定后，c的值
就唯一确定，因 此三位数的个数是
?
(11?a)?54
；数字和为10的四位数
1abc< br>：a+b+c=9的非负整数
a?1
9
解（a,b,c）的个数是
C< br>11
?55
，数字和为10的四位数
2abc
共有2个即2008和2 017，故在1，2，…，
2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.
二、解答题（共70分）
2
9
、（本题满分15分）数列
{an
}
，
{b
n
}
满足：
a
1
?b
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2bn
，
b
n?1
?a
n
?b
n
(n?1 )
．
证明：（1）、
a
2n?1
a
aa
?2，
2n
?2
；（2）、
n?1
?2?
n
?2< br>．
b
2n?1
b
2n
b
n?1
b
n

证明：
a
n?1
?2b
n?1
?(an
?2b
n
)?2(a
n
?b
n
)??(a< br>n
?2b
n
)
…①由此递推得
2222n?1
an
?2b
n
?(a
n?1
?2b
n?1
)2
?2(a
n?1
?b
n?1
)
2
??(a< br>n
(a
1
2
?2b
1
2
)?(?1)
n
?1
?2b
n?1
)???(?1)
222222
…②
因此
a
2n
?2b
2n
?0,a
2n?1
?2b
2n?1
?0
即有
2222
a
2n?1
a< br>?2,
2n
?2,

b
2n?1
b
2n据①得
2222
,
?
b
n,
?
皆为严格递增的 正整数数列，
a
n?1
?2b
n?1
?a
n
?2 b
n
…③，由条件知，
?
a
n
?
a
n?1
?a
n
?0,b
n?1
?b
n
?0,
所以
1
a
n?1
?2b
n?1
?
1
a
n
?2b
n
…④
1
b
n?1
?
1
…⑤
b
n
将③④⑤相乘得
a
n?1
a
?2?n
?2

b
n?1
b
n
10
、（本题 满分15分）若小于2017的三个互异正整数
a
，
b
，
c
使得
a
3
?b
3
，
b
3
?c
3< br>，
c
3
?a
3
均
是2017的倍数；证明：
a?b?c
必是
a?b?c
的倍数．
证：因
2017(a
3
222
；又由
0?a?b?2017,
注意2017为质数，
?b
3
),即2017(a?b（)a
2
?ab?b
2
）
222
…①同理有
2017（b?c?bc）
…②
?b
2
?ab）
则a-b与2017互质，因此
2017（a
…③，根据②③，
20 172017（a
2
?c
2
?ac）（[a
2
?c
2
?ac）?（b
2
?c
2
?bc）]
，即
，从而
2017（a?b?c）
，因正整数a,b,c皆小于2017，得a+b+c<3*2017 ,
2017(a?b（)a?b?c）
因此a+b+c=2017或2*2017.又注意a?b?c与a?b?c
同奇偶，故只要证
2017（a
将①改写为
20 17[（aa?b?c）?b
2
222
2
，
?b
2
?c
2
）
2
…④，同理有
2017（a?bc）
，
?ac）],则知2017（b
2
?ac）
222
…⑤，将①②③④⑤式相加 ，得
2017（
于是
2017（a?b?c）
，
2017（c
2
?ab）3a
2
?b
2
?c
2
）
2< br>从而
(a?b?c)（a
.
?b
2
?c
2
）
11
、（本题满分20分）设
P
=｛
1
2
，2
2
，
3
2
，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数
n
能
够表示为集合
P
中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称 数
n
具有
P
结构．证明：每个自然数
n
都具有
P< br>结构．
证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：
再考虑区间
3, 4
?
22
?
中的数，其中除了16=4之外，其余的数皆可表示为
n ?4
2
2
?k(1?k?6)
形式；
并且注意到，在1，2，3，4 ，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中4
2
参与时，4
2
皆以正项 形

式出现，于是由
n?4?k(1?k?6)
可知，此时4
2
项便抵消（不会出现
2?4
的项）；因此，区间
3,4
2
2
2
?
22
?
中的数皆具有P结构表示，也就是
?4
的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为4
2
，而凡是含
有4
2的表示中，4
2
皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得
?m
的 每个数都具有P结构表示，
且其中最大项至多为
m
，而凡是含有
m
表 示中，
m
皆以正项形式出现（其中
m?4
），对于区间
222
2
?
m
2
,(m?1)
2
中的数，除了最大数可以直接表 示为
(m?1)
2
之外，其余元素n皆可表示为：
?
n?(m?1)
2
?k(1?k?2m)
，由归纳假设，
m?4,且2m?m
2，并且此k具有P结构表示，其中
每项皆
?m
，因此数n具有P结构表示，故由归 纳法，即知所证的结论成立.
2
12
、（本题满分20分）如图，⊙
O1
，⊙
O
2
相交于
A
，
B
两点，CD
是经过点
A
的一条线段，其中，
点
C
，
D
分别在⊙
O
1
、⊙
O
2
上，过线段
CD< br>上的任意一点
K
，作
KMBD
，
KNBC
，点
M
，
N
分别在
BC
，
BD
上，又向
?B CD
形外方向，作
ME?BC
，
BF?BD
，其中
E
在⊙
O
1
上，
F
在⊙
O
2
上；证明：< br>KE?KF
．
证明：设⊙
O
1
、⊙
O
2< br>的半径分别为
r
1
,r
2
，由于ABEC共圆，
AB FD共圆，得
BC
而
?BAC
?2r
1
sim?BAC,B D?2r
2
sin?BAD,

BC
r
1
?,
于是
BDr
2
??BAD ?180
?
,所以
?BO
1
C
∽
?BO
2
D
，根据平行关系得
?CMK
∽
?KND
∽
?CBD
,所以
MCNK BC
r
1
???,且四边形KMBN
为平行四边形，
MKNDBDr
2
BN=MK,延长垂线FN交⊙
O
2
于
F
1,因
BC
r
1
?,
则⊙
O
1
上优BDr
2
弧BEC与⊙
O
2
上BD所对的优弧
DF1
B
的度数相等，又因M,N分别是两圆对应弦CB、BD上的点，且
CMCMB C
r
1
???,所以
⊿CME∽⊿N
F
1
B, ⊿ BME∽⊿N
F
1
D,从而⊿BEC∽⊿D
F
1
B,由⊿B EM∽⊿
BNMKBDr
2

N
F
1
D∽?FBN
,得
EMBNEMKM
??
,注意BM=KN,BN=KM,上 式成为,根据⊿CMK∽⊿KND,得
BMFNKNFN
?CMK??KND,而?EMC?? FND?90?,所以?CMK??KNF,??EMK
∽
?FNK
,
而< br>EM?BC,FN?BD,
又据条件
KMBD,KNBC,所以EM?KN,FN?KM ,由此KE?KF.