(数学)2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案

(数学)2017年全国高中数学联
赛江苏复赛试题+Word版含答案

2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）
1.若数列
?
a
?
满足
a
n
1
?
2a
n
1,a
n?1
?,n?N
?
23a
n
?2
，则< br>a
的值
2017
为 ．
2.若函数
f< br>?
x
?
?
?
x
f
?
x
?< br>?f
?
4?x
?
2
?1x
2
?ax?b???
对于任意
x?R
都满足
，则
f
?
x?
的最小值是 ．
11111
3.在正三棱柱
AB C?ABC
中，
D,E
分别是侧棱
BB,CC
上
的点，EC?BC?2BD
，则截面
ADE
与底面
ABC
所成的二面角的大小是 ．


4.若
sinxsin2xs in3x?cosxcos2xcos3x?1
，则
x?
．
5. 设
x,y
是实数，则
2x
2x
?
?
4y
2y
的最大值
?9
44
是 ．
6. 设
S
1
,S
2
,?,S
2017
a
n
?1?2???n,n?N
?
,S
m
?a
1?a
2
???a
m
,m?1,2,3,?
,则
中能被< br>2
整除但不能被
4
整除的数的个数
是 ．

7. 在直角平面坐标系
xOy
中，
F,F
分别是双曲线
1 2
y
2
x?
2
?1
?
b?0
?
b
2
的左、右焦点，过点
F
作圆
x
1
2
?y
2
?1
的切

2

线，与双曲线 左、右两支分别交于点
A,B
，若
F
2
B?AB
，则
b
的值是 ．

8. 从正
1680
边形的顶点中任取若干个，顺次相连
成多边形，其中正多边形的个数为 ．
二、解答题
9.已知
x,y?R
，且
x
小值. < br>10.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
x
2
C:?y
2
?1
3
2
?y
2
?2,x?y
，求
?
x?
1
y
?
2
?
1
?
x?y?
2
的最
的上
顶点为
A
，不经过点
A
的直线
l
与椭圆
C
交于
P,Q
两
点，且
A P?AQ?0.

（1）直线
l
是否过定点？若是，求出定点坐标；
若不是，说明理由. （2）过
P,Q
两点分别作椭圆的切线，两条切线交
于点
B
，求
?BPQ
面积的取值范围.
1
11.设函数
f
?
x
?
?1?x?
2
x
!
n
2
???
1
n
x.
n!
?

x
（1）求证：当
x ?
?
0,??
?
,n?N
时，
e
?
?f< br>n
?
x
?
x
；
1
x
n?1
e
y
?
n?1
?
!
（2）设
x?0,n?N，若存在
y?R
使得
e

3
?f
n
?
x
?
?
，

求证：
0?y?x.


2017年全国高中数学联赛江苏赛区
复赛参考答案与评分标准
加试
1. 已知圆
O
的内接五边形ABCDE
中
AD
与
BE
相交于
点
F,CF< br>的延长线交圆
O
于点
P
，且
AB?CD?BC?ED.

求证：
OP?AE.


2.设
x,y
是非 负实数，
a?x?y,b?x?2?y?2
，若
a,b
是
两个不相邻 的整数，求
a,b
的值，
3.平面上
2n
个点
?
n?1,n?N
?
，无三点共线，任意两点
间连线段，将其中任意
n
2
?1
条线段染成红色.
求证：三边都为红色的三角形至少有
n
个.
11
a
??? ??
4.设
n
为正整数，
1?
1
，
23nbn
n
其中
a,b
为互素的正整数，对素数
p
，令集合< br>nn
S
p
?nn?N
?
,pa
n
??
，
p
证明：对每一个素数
p?5
，集合
S
中至少有三个

4

元素.

试卷答案
1
1.
3026
2.
?16
3.
45

0
4.
k
?
,k?Z

5. 6.252 7.
1?3

8.3432

二、解答题
1
4
9.解：因为
x
所以
?
2
?y
2
?2
，所以
?
x?y
?
2
?
?
x?y
?
?4
2
，
111
?
11
?
22
??
????
? ??x?y?x?y
22
?
?
x?y
?
2
?
x?y
?
2
4
?
????
x?yx?y
????

1
?
1?1
?
2
?1.
4

时，
?
x?
1
y
?
1
?
x?y
?2
2
当
x?2,y?0
?
1
?1.
2
?
x?y
?

所以
?
x?
1
y
?
2
?
的最小值为
1.

10.解：（1） 因为
AP?AQ?0
，所以
AP?AQ.

直线
AP,AQ
与
x
轴平行时，
P
或
Q
与
A
重合 ，不合题
意.
设
PA:y?kx?1
，则
QA:y??
1
x?1.

k
将
y?kx?1
代入
x
所以
x
P
2
?3y
2
?3
，得
?
1? 3k
?
x
22
?6kx?0.

??
6k2
,y??1.
P
1?3k
2
1?3k
2


5

同理
x
Q
?
6k6
,y?1?.
Q
k
2
?3k
2
?3
P
P< br>
,即所以，直线
l:
y
y?
?
y
y
Q
?
2
x?x
P
x
Q
?x
P
?
1?3k
?
?
y?1
?
?2
?
?
1?3k
?
x?6k
，
l:
?
1?3k
?
?
y?1
?
?2
?
1?3k
?
x?6k
2
22
QQ
化简得
k
2
?11
l:y?x?.4k2

??
1
??
直线
l
纵截距是常数?
1
，故直线
l
过定点
?
0,?
?
.

2
2
（2）由 （1） ，
AP?
所以
?6k1?k
2
1?3k
2
，同理，
61?k
2
AQ?
2
.
k?3


2
2222
2??
????
k1kk?3?1?3k
2
??
PQ
2< br>?36
?
1?k
2
?
?
?
??361?k?
?
22
2
2
22
2
2
????????< br>1?3kk?31?3kk?3
??
??
36
?
1?k
2
??
k
6
?15k
4
?15k
2
?1
?
?
3k
4
?10k?3
?
2
2
.

，则
t?2
，可化得
PQ
2
不妨设
k ?0
，令
即
6tt
2
?12
PQ?.
2
3t?4
00
1
t?k?
k
?
36t
2
?
t
2
?12
?
?
3t
2
?4
?< br>2
，

00
设
B
?
x,y
?，则切点弦
PQ
的方程是
xx?3yy?3
，
又
P, Q
在
从而
k
2
?11
l:y?x?
4k2
上，所以
y
0
??2
，
3k
2
?1
x
0
?.
2k
??

?
k
2
?1
?
3
?
?
k
?
?
?12
3t
2
??
d??.
22
2t ?12
?
k
2
?1
?
2
?
?
k< br>?
?
?16
??
2
所以
B
到
PQ< br>的距离

6

因此的面积
113t
2
6tt
2
?129t
3
S??d?PQ????.
22
2t
2
?12
3t
2
?42
?
3t
2
?4
?
3

9
1
.
令
u?
1
，则
0?u?
，化得
S?
??
24u?3ut2
当
0?u?
1
时，
4u
2
所以
0 ?4u
3
3
?3u
递增，
?3u?2
1
，即S?
9
，当且仅当即
t?2,k?1
时，
u?
，
42
等号成立，
9
?
,??
故
?BPQ
的面积
S
的取值范围是
?
?
.

?
4
??
11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：
（ⅰ）当
n?1
时，令
f
?
x
?
?e
f
?
?
x
?
?e
x
?1?0,x?
?
0,??
?
x
?f
1
?
x
?
?e
x
?x?1
，则
恒成立，
x
所以
f
?
x
?
在区间
?
0,??
?
为增函数，
又因为
f?
0
?
?0
，所以
f
?
x
?
?0
，即
e
e
x
?f
k
?
x
?< br>?f
1
?
x
?
.

（ⅱ）假设
n? k
时，命题成立，即当
x?
?
0,??
?
时，
，
，
则
n?k?1
时，令
?
1
2
1
k
1
k?1
?
?
g
?
x
?
?e
x
?f
k?1
?
x
?
?e
x
?< br>?
1?x?x???x?x
?
?
k?1
?
!
?
2!k!
??
则
g
?
?
x
?
? e
x
11
??
?
?
1?x?x
2
???x
k
?
?e
x
?f
k
?
x
?
?0
2!k!
??
，所以
g
?
x
?
在区 间
?
0,??
?
为增函数，
又因为
g
?
0
?
?0
，所以
g
?
x
?
?0,x??
0,??
?
恒成立，即

7

e
x
?f
k?1
?
x
?
,x?
?0,??
?
，
?
所以
n?k?1
时，命题成立. < br>由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，
?n?N
，当
x?
?
0,? ?
?
时，
e
f
n
?
x
?
?
x
?f
n
?
x
?
.

x
（2） 由（1）可知
e?f
n?1
?
x
?
，即
11
x
n?1
e
y
?f
n
?
x
?
? x
n?1
?
n?1
?
!
?
n?1
?
!
y
，
所以
e?1
，即
y?0
，下证：
y?x.

1
2
11
x???x
n?1
?x
n
e
x
,n?N
?
.
?
n?1
?
!2!n!
x< br>下面先用数学归纳法证明：当
x?0,e
x
?1?x?

x< br>（ⅰ）当
n?1
时，令
F
?
x
?
?1?xe
又
F
?
0
?
?0
，故
F
?
x
?
?0
，即
e
即当
x?
?
0,??< br>?
时，
e
x
?e
x
，则
F
?
?
x
?
?xe

?0,x?
?
0,??
?
，
所以
F
?< br>x
?
在区间
?
0,??
?
单调增，
?1?xe
x
.
（ⅱ）假设
n?k
时，命题成立，
x
?1?x?
1
2
11
x???x
k?1
?x< br>k
e
k
.
?
k?1
?
!2!k!
2

，
1
x
则当
n?k?1
时，令
G?
x
?
?1?x?
2!
G
?
?
x?
?1?x?
???
1
k
1
x?x
k?1e
x
?e
x
?
k?1
?
!k!
12
111
x???x
k
e
x
?x
k?1
e
x
?e
x
?x
k?1
e
x
?0
?
k?1
?
!
?
k?1
?
!2!k!
，
所以
G
?
x
?
在区间
?
0,??
?
上为增函数，又
G
?
0
?
?0
，故
G< br>?
x
?
?0
，即
1
2
11
x?? ?x
k
?x
k?1
e
x
,x?
?
0,??
?
?
k?1
?
!2!k!
e
x
?1?x?
.

8

由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，
可知当
x?
?
0,??
?
时，
e
成立，
所以
e
x
?1?x?
1
2
11111
x? ??x
n
?x
n?1
e
y
?1?x?x
2
???x
n
?x
n?1
e
x
?
n?1
?< br>!
?
n?1
?
!2!n!2!n!
?e
x
x
?1?x?
1
2
11
x???x
n
?x
n ?1
e
x
,
?
n?1
?
!2!n!
对n?N
?
，
从而
e
y
即
y?x
，证毕.
复赛加试答案
1.证明：连接
PA,PE.

因为五边形
ABCDE
内接于圆
O
，
所以
?BAF??DEF,?ABF??EDF
,
所以
?ABF~?EDF
,
ABFB
所以
ED
?.
①
FD
PEPF
同理，
BC
, ②
?
BF
DCDF
?.
PAPF
③
ABPEDC
由①
?
②
?
③得
ED
? ??1.

BCPA
ABDC
因为
AB?CD?BC?ED
,所以
BC
??1.

ED
所以
PE?PA
，即点
P
是弧
AE
的中点，
所以
OP?AE.


9

2.解：因为
a,b
是不相邻的整数，
所以
2?b?a?
?
2
?
x?2?x
x?2?y?2?
?
x?y?
? ?
x?2?x?
??
y?2?y
?

222
???22?3.
y?2?y22

由于
b?a
是整数，所以
b?a?2.

设
a?n ?1,b?n?1,n?Z
，即
则
则
x?y?n?1,x?2?y?2?n? 1
，
x?yx?y
?n?1,?n?1
x?yx?2?y?2
x?y?
，
，
，
2
x?yx?y
,x?2?y?2?
n?1n?1
于是
2x?n?1?
x?yx?y
,2x?2?n?1?
n?1n? 1
2
从而
2
?
n?1
?
故
?
n? 1
?
令
t?
又因为
?
x
x?
?
n ?1
?
?
?
x?y
?
,2
?
n?1
?
x?2?
?
n?1
?
?
?
x?y
?< br>，
x?2n?
?
n?1
?
x?2.

x?2?
??
x
?
?2.
①
22
，得
?
x?2?
?
n?1
?
t?2n
，代入①得
n?1
2nt
2
?2n
?
n?1
?
t?n
2
?2n?1?0
?
，
2
于是
2 n
?
n?1
?
?4n
2
?
n?1
?
?8nn
2
?2n?1
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?
x?t??
4n 2n
y?n?1?x?
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
n
?
n?2
?
2n
??
，
，
因此，
n?2
，并且
n
?
n?1
?< br>?
?
n?1
?
n
?
n?2
?
，
即
n

2
?2n?1?0
，解之得
1?2?n?1?2
，
10

从而
2?n?1?2
，且
n?Z
，故
n?2.

所以
a?1,b?3.

3. 证明：首先证明一定存在红色三角形（三边
均为红色的三角形为红色三角形，下同）.
设从顶点
A
出发的红色线段最多，
由
A
引出的红色线段为
AB,AB,?,AB
，则
k?n?1.

12k
若
B,B?,B
中存在两点，不妨设为
B,B
使线段
BB
为
12k
1212
红色线段，
则
?ABB
为红色三角形，
12
若
B,B,?,B
相互之间没有红色线段相连，
12k
则从
B
?
i?1,2,?,k
?
出发的红色线段最多有
2 n?k
条，
i
所以这
2n
个点红色线段最多有
1
?
k?k
?
2n?k
?
?
?
2n?1?k
?
?
?k
?
2n?k
?
?
?
k?2n? k
?
?n
2
?n
2
?1.
24
2

与题设矛盾，
所以存在以
A
为顶点的红色三角形，
下面用数学归纳法证明，
（1）当
n?2
时，平面上有四个点
A, B,C,D
中两两连
线共有
6
条，
其中有
5
条为红色，只有一条非红色，设为
AB,

则
?ACD
与
BCD
均为红色三角形，命题成立，
（2）假设
n?k
时，命题成立，即至少存在
k
个红

11

色三角形，
当
n?k?1
时，有
2k?2
个点，且有
?
k?1
?
2
?1
条 红色线段，
一定存在一个红色三角形，设为
?ABC.

考察从
A ,B,C
引出的红色线段分别记为
d
?
A
?
,d
?
B
?
,d
?
C
?
条，不妨设
d
?
A
?
?d
?
B
?
?d
?
C
?
.

若
d
?
A
?
?d
?B
?
?2k?2
，则除去点
A,B
余下的
2k
个点之间至
少有
?
k?1
?
2
?1?
?
2k?1
?
2
?k
2
?1
,
由归纳假设可知存在 至少
k
个红色三角形，再加
上
?ABC
至少有
k?1
个红色三角形，
若
d
?
A
?
?d
?
B
?
?2k?3
，则
d
?
A
?
?d
?
B
?
?d
?
C
?
?3k?5
,
故从
A,B,C
出发向其它
2k?1
个点引出红色线段至少
有3k?1
条，
因为
?
3k?1
?
?
?
2k?1
?
?k.

这
?
3k?1
?
线 段至少有
k
对线段有公共点（不包括
A,B,C
）
故至少存在k
个红色三角形，再加上
?ABC
，则至少
有
k?1
个 红色三角形，
所以
n?k?1
时命题也成立，
由（1）（2）可知，当< br>n?1,n?N
时，
2n
点之间的
n
红色线段至少可组成n
个红色三角形.
4.证明：引理：设
p?5
为素数，
k
为非负整数，令

12
2
?1
条

t
111
?????
k
kp?1kp?2kp?p?1s
k
kk
，
2
k
其中
t,s
为互素的正整数，那么
pt.

引理的证明：
因为
?
?
2k?1
?
p
p ?1
t
k
p?1
11
p?1
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111
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?
?
?
?
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1
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kp
,
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?
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p?1
,
因为素数
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，由
Fermat
小定理，以及
1
k
?2
k
???
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p?1
?
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?
k
,其中
1?k?p?2
，
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??
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?
?
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p?1
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?

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??
kp?p?i
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所以
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?
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M
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S
k
2
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kp?1
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?
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p?1

因为
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??
kp?1< br>??
kp?2
?
?
?
kp?p?1
??
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，
所以
pt
，引理证毕，
2
k
由引 理得，
p
p
2
a
p?1
，所以
pa
，
p?1
从而
p
?
p?1
?
?S
，
又
b

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2
p?1
2
p?1
11
p?1
1
p?1p?1
11
a
p?1
p?1
t
k
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p
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i
k?0i?1
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s
k
i?1
i
p
2
?1
，
13

因为
p
从而
p
个.




2
a
p?1
,p
2t
k
，所以
pa

p
2
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2
2
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p
.
< br>?1
因为
p?1?p
?
p?1
?
?p
，所以 集合
S
中元素至少有
3
p

14