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2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:40
tags:高中数学联赛

垫江中学高中数学老师班主任-高中数学立体几何模型如何制作



2018-2019学年
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题:(本大题共10个小题,共70分,每小题7分.)
uuuruur
u uuruuur
1.已知向量
AP?1,3

PB??3,1
,则< br>AP

AB
的夹角等于 .
最新试卷多
? ???
少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春 付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。

2.已知集合
A?x
?
ax?1
??
a?x
?
?0
,且
2?A

3?A
,则实数
a
的取值范围
是 .
3.已知复数
z?cos
??
2
?
2
?
32?isin
,其中
i
为虚数单位,则
z?z?

33
x
2
y
2
a?0

b?0
)的4.在平面直角坐标系
xOy
中,设
F
1

F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1

ab
左、 右焦点,
P
是双曲线右支上一点,
M

PF
2
的中 点,且
OM?PF
2

3PF
1
?4PF
2

则双曲线的离心率为 .
5.定义区间
?
x
1
,x
2
?
的长度为
x
2
?x
1
.若函数
y?log
2
x
的定义域为
?
a,b
?
,值域为
?
0,2
?

则区间
?
a,b< br>?
长度的最大值与最小值的差为 .
6.若关于
x
的二次方程
mx?
?
2m?1
?
x?m?2?0

m?0
)的两个互异的根都小于1,
2
则实数
m
的取值范围是 .
tn4
7.若
ax?
sni4xsni2xsnixsni
3< br>???
,则
cos8cosx4cos4xcos2xxcos2cosxcosx3
x
?

x
8.棱长为2的正方体ABCD?A
其中顶点
A

1
BC
11
D1
在空间直角坐标系
O?xyz
中运动,
持在
z
轴上, 顶点
B
1
保持在平面
xOy
上,则
OC
长度的最小 值是 .
9.设数列
a
1
,a
2
,a
3
,L,a
21
满足:
a
n?1
?a
n< br>?1

n?1,2,3,L,20
),
a
1

a
7

a
21
成等比
数列.若
a
1?1

a
21
?9
,则满足条件的不同数列的个数为 .
10.对于某些正整数
n
,分数
n?2
不是既约分数,则
n
的最小值是 .
3n
2
?7
二、解答题 (本大题共4小题,每小题20分,共80分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)



11.设数列
?
a
n
?
满足:
2
na
n
*
?1

a
1
?1;②
a
n
?0
;③
a
n
?

n?N
.
na
n?1
?1
求证:(1)数列
?
a
n
?
是递增数列;
(2)对任意正整数
n

a< br>n
?1?
?
k
.
k?1
n
1
x< br>2
y
2
12.在平面直角坐标系
xOy
中,设椭圆
E

2
?
2
?1

a?b?0
),直线l

x?y?3a?0
.
ab
若椭圆
E
的离心 率为
3
,原点
O
到直线
l
的距离为
32
.
2
(1)求椭圆
E
与直线
l
的方程;
(2)若椭 圆
E
上三点
P

A
?
0,b
?

B
?
a,0
?
到直线
l
的距离分别为
d< br>1

d
2

d
3
.
求证:
d
1

d
2

d
3
可以是某三角形三条 边的边长.
13.如图,圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆,切点分 别为
P

Q

R

S

OA
PS
交于

A
1

OB

PQ
交于点
B
1

OC

QR
交于点C
1

OD

SR
交于点
D
1
,求证:四边形
A
1
B
1
C
1
D
1是平行四边形.

14.求满足
x?x?y?y
的所有素数
x

y
.




373







2017年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题
1.
?
4
2.
?
,
13
?
11
?
3.
?i

U2,3
?
?
?
22
?
32
?
?
3?7
?
,??
?
?
4
?

??
4.5 5.3 6.
?
7.
3
8.
6?2
9.15099 10.17
二、解答题
2
na
n< br>a
n?1?1
11.证明:(1)因为
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?
,且
a
n
?0

?
na
n?1
?1na
n?1
?1
所以
a
n?1
?a
n
?0
,所以
a
n?1
?a
n

n?N

所以数列
?
a
n
?
是递增数列.
(2)因为a
n?1
?a
n
?
所以当
n?2
时,
*
a
n?1
a
1
?
n?1
?

na
n?1
?1na
n?1
n
a
n
??
a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n?1
?a
n?2
?
?L?
?
a
2
?a< br>1
?
?a
1

?
1111
??L???1

n?1n?221
n
1
?1?
?
.
k?1
k

a
1
?1?1?1

所以对任意正整数
n

a
n
?1?
1
.
?
k?1
k
n



?
3a
?
2
?32,
?
?
c
?
a?2,
3
,
12.解:(1)由题设条件得
?
?
从而
?

2
?
b?1.
?
a
?
b
2
?c
2< br>?a
2
,
?
?
x
2
?y
2
?1
,直线
l

x?y?6?0
. 故所求的椭圆
E

4
(2)设
P
?
2cos
?
,sin
?
?
,则
d
1
?
2cos
?
?sin?
?6
2
?
6?5sin
?
?
?
?< br>?
2
,其中
tan
?
?2

所以
62?1062?10
.
?d
1
?
22
d
2
?
0?1?6
2
?
2?0?6
52

d
3
??22

2
2

d
2
?d
3
.
因为d
2
?d
3
?
529262?10
?22???d1

222
d
1
?d
3
?
62?1 0102?1052
?22???d
2
.
222
所以
d< br>1

d
2

d
3
可以是某个三角形的三条边 的边长.
13.证明:连接
PR

QS
.
因为圆
O
是四边形
ABCD
的内切圆,
所以
OA

?SAP
的平分线,且
AP?AS
.

?ASP
中,由三线合一,点
A
1
是线段
PS< br>的中点.
同理点
B
1
是线段
PQ
的中点,
所以
A
1
B
1
∥SQ
.
同理
DC
11
∥SQ
.



所以< br>A
1
B
1
∥D
1
C
1
.
同理
A
1
D
1
∥B
1
C
1
. < br>所以四边形
A
1
B
1
C
1
D
1的平行四边形.

14.解:满足题设条件的素数只有
x?5

y?2
.
假 设
y?5
,则
y
7
?y
3
?5y
6
?y
3
?y
6
?20y
5
?y
3
?y
6
?6y
5
?70y
4
?y
3
? y
6
?6y
5
?15y
4
?20y
3
?1 5y
2
?6y?1

?
?
y?1
?
. < br>5373
所以
x?x?x?y?y
?
y?1
?
,即< br>x?
?
y?1
?
.
62
6
又因为
xx?x?y?y?y
3733
?
y?1
??
y?1
??
y
2
?1
?
,且
x
为素数,
2< br>2
y
3
?
y?1
??
y?1
?
y< br>2
?1
, 而
y?1?y?y?1?y?1
?
?
y? 1
?
?x
,从而
x?
??
这与
xy?y
矛 盾.
所以
y?5
.
因为
y
是素数,所以
y?2
,或
y?3
.
2
3

y?2
时,
x?x?120
,即
?
x?5
?
x?5x?24?0
,所以
x?5
.
73??

y?3
时,
x?x?2160?2?3?5
.
因为
xx?x?2?3?5
,且
x
为素数,
所以
x?2
,或
x?3
,或
x?5
.
3 43
经检验,
x?2
,或
x?3
,或
x?5
时,< br>x?x?2?3?5

343
343



所以满足条件的素数只有
x?5

y?2
.

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