2007年全国高中数学联赛试题及详细解析

2007年全国高中数学联赛
（考试时间：上午8：00—9：40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 如图，在正四棱锥
P? ABCD
中，∠
APC
=60°，则二面角
A?PB?C
的平面角的 余弦值为（ ）
A.
1

7
B.
?
1

7
C.
1

2
D.
?
1

2
5. 设圆
O
1
和圆
O
2
是两个定圆，动圆
P
与这两个定圆都相切，则圆
P
的圆心 轨迹不可能是
（ ）

6. 已知
A
与
B
是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：
A
与
B
的元素个数相 同，且
为
A
∩
B
空集。若
n
∈
A
时总有2
n
+2∈
B
，则集合
A
∪
B
的元 素个数最多为（ ）
A. 62 B. 66 C. 68 D. 74
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 在平面直角坐标系内，有四个定点
A
(?3，0)，
B
(1，?1)，
C
(0，3)，
D< br>(?1，3)及一个
动点
P
，则|
PA
|+|
PB< br>|+|
PC
|+|
PD
|的最小值为__________。
8. 在△
ABC
和△
AEF
中，
B
是
E F
的中点，
AB
=
EF
=1，
BC
=6，
CA?33
，若
AB?AE?AC?AF?2
，则
EF
与
BC
的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，以顶点
A
为球心，
23
为半径作一个球，则球面
3
与正方体的表面相交所得到 的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{
a
n
}的 公差
d
不为0，等比数列{
b
n
}的公比
q
是小于 1的正有理数。若
a
1
=
d
，
22
a
1< br>2
?a
2
?a
3
b
1
=
d
，且是正整数，则
q
等于________。
b
1
?b
2
?b
3
sin(
πx
)?cos(
πx
)?215
(?x?)
，则
f
(
x
)的最小值为________。 11. 已知函数
f(x)?
44
x
2
12. 将2个
a< br>和2个
b
共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1
个 字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1

13. 设
a
n
?

1
，求证：当正整数
n
≥2时，
a
n
+1
<
a
n
。
?
k?1
k(n?1?k)
1
(x?0)
交于两个不同点
M
和
N
。求曲线
C
x
n
14. 已知过点(0，1) 的直线
l
与曲线
C
：
y?x?
在点
M
、< br>N
处切线的交点轨迹。


15. 设函数
f
(< br>x
)对所有的实数
x
都满足
f
(
x+
2π)
=f
(
x
)，求证：存在4个函数
f
i
(
x
)(
i
=1，2，
3，4)满足：（1）对
i
=1，2， 3，4，
f
i
(
x
)是偶函数，且对任意的实数
x
，有
f
i
(
x+
π)
=f
i
(
x
)；
（2）对任意的实数
x
，有
f
(
x
)
=f
1
(
x
)
+f
2
(
x
)cos
x+f
3
(
x
)sin
x+f
4
(
x
)sin2
x
。







2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 如图，在正四棱锥
P?ABCD
中，∠
APC
=60°，则二面角
A?PB?C
的平面角的余弦值为 （ ）

2

A.
1

7
B.
?
1

7
C.
1

2
D.
?
1

2
P
【答案】B
【解析】如图，在侧面
PAB
内，作
AM
⊥
PB
，垂足为
M
。连结
CM
、
AC
，则∠
AMC
为二面角
A?PB?C
的平面角。不妨设
AB
=2，则
PA?AC ?22
，斜高为
7
，故
7
。在△
AMC
中，由余弦 定理得
2?7?AM?22
，由此得
CM?AM?
2
AM
2
?CM
2
?AC
2
1
cos?AMC???
。
2?AM?CM7


D
M
C
BA


3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完 全
相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为
a
，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号 码为
b
。
则使不等式
a
?2
b
+10>0成立的事 件发生的概率等于（ ）
A.
52

81
B.
59

81
C.
60

81
D.
61

81
【答案】D
2
【解析】甲、乙二人每人摸出一 个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9=81个。
由不等式
a
?2
b
+10>0得2
b
<
a
+10，于是，当
b
=1 、2、3、4、5时，每种情形
a
可取1、2、…、
9中每一个值，使不等式成立，则 共有9×5=45种；当
b
=6时，
a
可取3、4、…、9中每一
个 值，有7种；当
b
=7时，
a
可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种； 当
b
=8时，
a
可取
7、8、9中每一个值，有3种；当
b
=9时，
a
只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为
45?7?5?3? 161
?
。
8181

4. 设函数
f
(
x
)=3sin
x
+2cos
x
+1。若实数
a
、
b
、
c
使得
af
(
x
)
+bf
(
x?c
)=1对任意实数
x
恒

3

bcosc
的值等于（ ）
a
11
A.
?
B.
22
成立，则
【答案】D
C. ?1 D. 1
5. 设圆O
1
和圆
O
2
是两个定圆，动圆
P
与这两个定 圆都相切，则圆
P
的圆心轨迹不可能是（ ）


【答案】A
【解析】设圆
O
1
和圆
O
2
的半径分别是
r
1
、
r
2
，|
O
1
O
2
|=2
c
，则一般地，圆
P
的圆心轨迹是焦
点为
O
1
、
O
2
，且离心率分别是
2c
2c
和的圆锥曲 线（当
r
1
=
r
2
时，
O
1
O< br>2
的中垂线是轨
r
1
?r
2
|r
1
?r
2
|
迹的一部份，当
c=
0时，轨迹是两个同心圆）。
当
r
1
=
r
2
且
r
1
+
r
2
<2
c
时，圆
P
的圆心轨迹如选项B；当0<2c
<|
r
1
?
r
2
|时，圆
P
的圆心轨迹如
选项C；当
r
1
≠
r
2
且
r
1
+
r
2
<2
c
时，圆
P
的圆 心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线
的焦点不重合，因此圆
P
的圆心轨迹不 可能是选项A。

6. 已知
A
与
B
是集合{1，2，3 ，…，100}的两个子集，满足：
A
与
B
的元素个数相同，且
为< br>A
∩
B
空集。若
n
∈
A
时总有2
n
+2∈
B
，则集合
A
∪
B
的元素个数最多为（ ）
A. 62 B. 66 C. 68 D. 74
【答案】B
【解析】先证 |
A
∪
B
|≤66，只须证|
A
|≤33，为此只须证若< br>A
是{1，2，…，49}的任一个34
元子集，则必存在
n
∈
A
，使得2
n
+2∈
B
。证明如下：
将{1，2，…， 49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；
{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…， {49}共13个；
{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于
A
是{1 ，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理

4

可 知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于
A
，即存在
n
∈
A
，使得2
n
+2∈
B
。
如取
A
={ 1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，
B
={2
n
+2|
n
∈
A
}，则
A
、
B
满足题设且|
A
∪
B
|≤66。


9. 已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，以顶点
A
为球心，
23
为半 径作一个球，则球面
3
与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 。
【答案】
53π

6
【解析】如图，球面与正方体的六个面都 相交，所得的交线分为两类：一类在顶点
A
所在的
三个面上，即面
AA
1
B
1
B
、面
ABCD
和面
AA
1D
1
D
上；另一类在不过顶点
A
的三个面上，即面
BB
1
C
1
C
、
面
CC
1
D
1
D
和面
A
1
B
1
C
1
D
1
上。在面
AA
1
B
1
B
上，交线为弧
EF
且在过球心
A
的大圆上，因为
πππ
23
，
A A
1
=1，则
?A
1
AE?
。同理
?BAF?，所以
?EAF?
，故弧
666
3
23
π
3< br>??π
，而这样的弧共有三条。在面
BB
1
C
1
C< br>上，交线为弧
FGEF
的长为
369
AE?
且在距球心为1的 平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为
π
33
π
3< br>，
?FBG?
，所以弧
FG
的长为
??π
。这样的弧 也有三条。
2
3326
3353
π
π?
3
?π?
于是，所得的曲线长为
3
?
。
966

10. 已知等差数列{
a
n
}的公差
d
不为0，等比数列{
bn
}的公比
q
是小于1的正有理数。若
a
1
=
d
，

5

22
a
1
2
?a
2
?a
3
b
1
=
d
，且是正 整数，则
q
等于 。
b
1
?b
2
?b
3
1
【答案】
2
2
11. 已知函数
f(x)?
【答案】
sin(
πx
)?cos(
πx
)?215
(?x?)
，则
f(
x
)的最小值为 。
44
x

45

5
12. 将2个
a
和2个
b
共4 个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1
个字母，若使相同字母既不同行也不同列 ，则不同的填法共有 种（用数字作答）。
【答案】3960
22
【解析】使2个
a
既不同行也不同列的填法有
C
4
A
4=72种，同样，使2个
b
22
既不同行也不同列的填法也有
C
4
A
4
=72种，故由乘法原理，这样的填法共有
2
72种，其中不 符合要求的有两种情况：2个
a
所在的方格内都填有
b
的情况
12< br>有72种；2个
a
所在的方格内仅有1个方格内填有
b
的情况有
C
16
A
9
=16×72
2
种。所以，符合题设条件的填 法共有72?72?16×72=3960种。


三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1
，求证：当正整数n
≥2时，
a
n
+1
<
a
n
。 ?
k(n?1?k)
k?1
1111
2
n
1
? (?)
，因此
a
n
?
【解析】证明：由于，于是，对
?k(n?1?k)n?1kn?1?k
n?1
k?1
k
13. 设
a
n
?
n

6

11
n
11
n?1
1
任意的正整数
n
≥2，有
(a
n
?a
n?1
)?

?
??
2n?1
k?1
kn?2
k?1
k
nn
111111
?(? )
?
??(
?
?1)?0
，即
a
n
+1< br><
a
n
。
n?1n?2
k?1
k(n?1)(n? 2)(n?1)(n?2)
k?1
k

15. 设函数
f
(
x
)对所有的实数
x
都满足
f
(
x+
2π )
=f
(
x
)，求证：存在4个函数
f
i
(
x
)(
i
=1，2，
3，4)满足：（1）对
i
=1，2 ，3，4，
f
i
(
x
)是偶函数，且对任意的实数
x
，有
f
i
(
x+
π)
=f
i
(
x
)；
（2）对任意的实数
x
，有
f
(
x
)
=f
1
(
x
)
+f
2
(
x)cos
x+f
3
(
x
)sin
x+f
4(
x
)sin2
x
。
【解析】证明：记
g(x)?

f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
，
h(x)?
，则
f
(
x
)=
g
(
x
)+
h
(
x
)，且
22
g
(
x
)是偶函数，
h
(
x
)是奇函数，对任意的
x< br>∈
R
，
g
(
x+
2π)
=g
(x
)，
h
(
x+
2π)
=h
(
x)。令
f
1
(x)?
g
(
x
)?
g< br>(
x
?
π
)
2
，
?
g
(< br>x
)?
g
(
x
?
π
)
?
2 cosx
f
2
(x)?
?
?
0
?
x?kπ ?
π
2
π
x?kπ?
2
，

7

?
h
(
x
)?
h
(x
?
π
)
?
f
3
(x)?
?
2sinx
?
0
?
?
h
(
x
)?
h
(
x
?
π
)
?
2sin2x
x?kπ< br>，
f
4
(x)?
?
?
x?kπ
0
?
x?
kπ
2
，其中
k
为任意整
kπ
x?< br>2
数。
容易验证
f
i
(
x
)，
i
=1，2，3，4是偶函数，且对任意的
x
∈
R
，
f
i
(
x+
π)
=f
i
(
x
)，
i
=1，2，3，


8

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
一、（本题满分50分）如图，在锐角△
ABC
中，
AB，
AD
是边
BC
上 的高，
P
是线段
AD
内
一点。过
P
作
PE
⊥
AC
，垂足为
E
，作
PF
⊥
AB
，垂足为
F
。
O
1
、
O
2
分别是△BDF
、△
CDE
的外心。
求证：
O
1
、O
2
、
E
、
F
四点共圆的充要条件为
P
是△
ABC
的垂心。
【解析】证明：连结
BP
、
CP< br>、
O
1
O
2
、
EO
2
、
E F
、
FO
1
。因为
PD
⊥
BC
，
PF
⊥
AB
，故
B
、
D
、
P
、< br>F
四点共圆，且
BP
为该圆的直径。又因为
O
1
是△
BDF
的外心，故
O
1
在
BP
上且是
BP
的中点。
同理可证
C
、
D
、
P
、
E
四点共圆，且
O
2
是的
CP
中点。综合以上知
O
1
O
2
∥
BC
，所以∠
PO
2
O
1
=∠
PCB
。因为
AF·AB=AP·AD=AE·AC
，所以
B
、
C
、
E
、
A
F
四点共 圆。
E
充分性：设
P
是△
ABC
的垂心，由于
P E
⊥
AC
，
PF
⊥
AB
，所以
B
、
O
1
、
P
、
F
E
四点共线，
C
、
O
2
、
P
、
F
四点共线，∠
F O
2
O
1
=∠
FCB
=∠
FEB
=∠FEO
1
，故
P
O
1
、
O
2
、
E
、
F
四点共圆。
O
2
必要性：设
O
1
、
O
2
、
E
、
F
四点共圆，故 ∠
O
1
O
2
E
+∠
EFO
1
=1 80°。
O
1
由于∠
PO
2
O
1
=∠< br>PCB
=∠
ACB
?∠
ACP
，又因为
O
2
是直角△
CEP
的斜边中点，
也就是△
CEP
的外心，所以 ∠
PO
2
E
=2∠
ACP
。因为
O
1是直角△
BFP
的斜边
B
DB'
中点，也就是△
BFP
的外心，从而∠
PFO
1
=90°?∠
BFO
1
= 90°?∠
ABP
。
因为
B
、
C
、
E、
F
四点共圆，所以∠
AFE
=∠
ACB
，∠
PFE
=90°?∠
ACB
。于是，由∠
O
1
O
2
E
+∠
EFO
1
=180°得
(∠
ACB
?∠
ACP
)+2∠
ACP
+(90°?∠
ABP
)+( 90°?∠
ACB
)=180°，即∠
ABP
=∠
ACP
。 又因为
AB，
AD
⊥
BC
，故
BD。设
B'
是点
B
关于直线
AD
的对称点，则
B'
在线段
DC
上且
B'D=BD
。
连结
AB'< br>、
PB'
。由对称性，有∠
AB'P
=∠
ABP
，从 而∠
AB'P
=∠
ACP
，所以
A
、
P
、
B'
、
C
四点
共圆。由此可知∠
PB'B
=∠CAP
=90°?∠
ACB
。因为∠
PBC
=∠
PB' B
，
故∠
PBC
+∠
ACB
=(90°?∠
AC B
)+∠
ACB
=90°，故直线
BP
和
AC
垂直 。由题设
P
在边
BC
的高
上，所以
P
是△
ABC
的垂心。

二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方 格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这5 6个棋子中取
出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问
最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
C

9

图1 图2
第二步构造一种 取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有
标号位置的棋子，则余下的棋 子不可能五子连珠。
综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。


三、（本题满分50分）设集合
P
={1，2，3，4，5}， 对任意
k
∈
P
和正整数
m
，记
?
k?1
?
f
(
m
，
k
)=
?
?
m
?
，其中[
a
]表示不大于
a
的最大整数。求证：对任意 正整数
n
，存在
i?1
i?1
??
5
k
∈
P
和正整数
m
，使得
f
(
m
，
k
)=
n
。




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