2019届湖南省高中数学联合竞赛试题

2018-2019学年湖南省高中数学联合竞赛试题
一、选择题：本大题 共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选
金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记 忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数 杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱
跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升 起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以 设置
完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!
项中，只有一项是符合题目要求的．
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面 对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一 刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．设集合
X?
?1,2,L,2017
?
，集合
S?
?
?
x,y,z< br>?
x,y,z?X
，且三条件
x?y?z
，
y?z?x
，
z?x?y
恰有一个成立
确的是（ ）
?
，若
?
x,y,z
?
?S
，且
?
z,w,x
?
?S
，则下列选项正
A．
?
y,z,w
?
?S
且< br>?
x,y,w
?
?S
B．
?
y, z,w
?
?S
且
?
x,y,w
?
?S
< br>C．
?
y,z,w
?
?S
且
?
x,y,w< br>?
?S
D．
?
y,z,w
?
?S
且
?
x,y,w
?
?S

2．已知点
P< br>为正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
上底面< br>?A
1
B
1
C
1
的中心，作平面
BCD?A P
，与棱
AA
1
交于
D
，若
AA
1
?2AB?2
，则三棱锥
D?ABC
的体积为（ ）

A．
3333
B． C． D． 48241612
x
2
y
2
??1
.对于任意实数k
，椭圆
C
被下列直线中所截得弦长，与被直3．已知椭圆
C
：
84
线
l
：
y?kx?1
所截得的弦长不可能相等的是（ ）
A．
kx?y?k?0
B．
kx?y?1?0
C．
kx?y?k?0

D．
kx?y?2?0

4．对任意正整数
n
与
k
（
k?n
），用
f
?
n,k?
表示不超过
??
且与
n
互质的正整数的个数
k
（其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数），则
f
?
100,3
?
?
（ ）
A．11 B．13 C．14 D．19
5．如果
?A
1B
1
C
1
的三个内角的余弦值分别等于
?A
2
B
2
C
2
的三个内角的正弦值，则（ ）
A．
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2
也是锐角三角形
B．
?A
1
B
1
C
1
是钝角三角形，
?A
2
B
2C
2
也是钝角三角形
C．
?A
1
B
1
C
1
是锐角三角形，
?A
2
B
2
C
2< br>则是钝角三角形
D．
?A
1
B
1
C
1是钝角三角形，
?A
2
B
2
C
2
则是锐角三角 形
6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列
?a
n
?
：
5，9，14，20，…，为“梯形数列”。根据“梯形”的构 成，可知
a
624
?
（ ）
?
n
?
??

A．166247 B．196248 C．196249 D．196250
二、填空题（每题6分，，每小题8分，满分48分，将答案填在答题纸上）
7．已知函数< br>f
?
x
?
满足
f
?
m?n
?
?f
?
m
?
f
?
n
?
，
f?
1
?
?3
，则
f
?
1
?
? f
?
2
?
f
?
2
?
?f
?
4
?
f
2
?
3
?
?f
?
6?
f
2
?
4
?
?f
?
8
?< br>??
??
．
f
?
1
?
f
?
3
?
f
?
5
?
f
?
7
?
uuur
1
uuuruuur
uuuruuur
C< br>为
eO
上三点，
AB?AC
，8．已知
A
，
B
，且
AO?
则数量积
AB?AC?
． 2
22
??
9．已知
z?C
，若关于
x
的方程
4x?8zx?4i?3?0
（
i
为虚数单位）有实数根，则复数
2
z
的模
z
的最小值是 ．
10．对正整数n
，定义
n!?n
?
n?1
??
n?2
??L?2?1
，记
S
n
?n!
?
?
12
?
n
??L??1
，
?
?
2!3!
?
?
n?1
?
!
??