高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义（一）
──集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序 的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合
中的各个对象称为元素，用小写字母来表示， 元素在集合A中，称属于A，记为
A，记作
，否则称不属于
。例如，通常用N，Z，Q ，B，Q
+
分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数
集，不含任何元 素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元 素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，
如{1，2，3}；描述法：将集合中的元 素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分
别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B
的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，
则称 A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，
定义4 并集，
定义5 补集，若
定义6 差集，
定义7 集合
。
记作开区间，集合

；

或
或
，即
，即且


称为A在I中的补集。
记作闭区间，R记作
定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1） （2）
（3） （4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（ 1）若，则
；反之，
或，即
（3）若
所以，即
且
，则
，即
或
，且或，所以
，则

，所以
，反之也有
或，所以

，又，
定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有
同的方法，…，第类办法中有
方法。
种不同的方法，第二类办法中有种不
种不同的种不同的方法，那么完成这件事一共有
种不同的方 法，第二步有定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有
第步有种不同的方法，那么完成这件事 一共有
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设
（1）
（2）
（3）若
[证明]（1）因为
；
；
，则
，且

，求证：
种不同的方法，…，
种不同的方法。
，所以

（2）假设
偶性，所以
（3）设
（因为，则存在，使，由于和有相同的奇
是奇数或4的倍数，不可能等于
，则

）。
，假设不成立，所以

2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
，则A=B。
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证
；
再证
若，则
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3
，求
【解】依题设，
因为
因为
则或
，所以
，所以
， 解得
；或。
，求有序集合对

，再由
，所以
，若
解得
，所以
，则
或
或2，所以
，即
，
或3。
，若，
，若
，若，则
。所以
1）若，则；2）
，若，因为 ，所以，所以
综上所述，或
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C是I={ 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若
（A，B）的个数；（2）求I的非空真 子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中 一个子集，
10个元素共有3
10
种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所 以集合对有3
10
个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确 定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子
集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10 步，0也有两种，由乘法原理，子集共有
个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添
对，每一对不能同在这个 子集
加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对： 每个子集和它的补集为一对，共得
中，因此，
与A，并设
；其次，每一对中必有一个在 这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C
1
A
，则，从而可以在个子集中 再添加，与已知矛盾，所以。
综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个
集合的情况，即

定义8 集合的划分：若，且
集叫I的一个-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
，则这些子集的全
定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素 ，也必
有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记
，由容斥原理，
，
，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7 S是 集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个
元 素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属 于S，
将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6 个，则必有
两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11 +2，所以S一共至多含有
182×5+2=912个元素，另一方面，当
且S满足题目条件， 所以最少含有912个元素。
例8

求所有自然数，使得存在实数

【解】 当时，
。下证当
令
所以必存在某两个下标
即，所以
（ⅰ）若
设
考虑
，则
，有或
，推出矛盾，设
故当
（ⅱ）若
，推出矛盾，故
=3，于是，矛盾。因此
，则
，使得
或，考虑，有

，设，则
，又推出矛盾， 所以
；当时，；当
满足条件。
时，
满足：
时，恰有，
时，不存在

，所以
，
或
。
或，即
，
，
，导致矛盾，故只有
，即
，则
时，不存在满足条 件的实数。
，考虑，有
。考虑，有
，所以
或
或
，即，这时
，即
，这又矛盾，所以
只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个 元
素的集合
【解】
，

求的最小值。

设 B中每个数在所有
在出现的所有
}
中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（） ，则
中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，
，其中
，为满足题意的集合。必各不相
同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满
足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合
的最小正整数
【解】 设其中第 个三元集为
所以。当为偶数时，有
则1+2+…+
，所以
，其中，求满足条件

，所以，，当为奇数时，有
当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3 ，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最
小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合
2．若集合
3．集合
4．已知集 合
集合P=___________。
5．已知
6．若非空集合S满足
个。
7．集合
8．若集合
9．集合
___________。
10．集合
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1）
含有多少个元素？说明理由。
12．已知
值范围。
四、高考水平训练题
1．已知集合

2．
，则___________。
，且A=B，则
）若，则。如果，S中 至少
，其中，
，且
，且若
，则实数的取值范围是___________。
中只有一个元素，则=___________。
的非空真子集有___________个。
，若，则由满足条件的实数组成的
，则常数的取值范围是___________。
，则，那么符合要求的集合S有___________
之间的关系是___________。
且
，且
，若，则A中元素之和是___________。
，则满足条件的值构成的集合为
，则
，又C为单元素集合，求实数的取
___________，

___________。

3．已知集合
围是___________。
，当时，实数的取值范
4．若实数为常数，且
5．集合
6．集合
7．集合
8．已知集合9．设集合
是否存在，使得
且C中含有3个元素；2）
，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，
，且
___________。
，若
，则
，且A=B，则
，则
，则___________。
中的最小元素是___________。
___________。
的取值范围是___________。
，问：
含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）
。
，若 对任何，11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，
都有，则必有
五、联赛一 试水平训练题
，证明你的结论。
1．已知集合
___________。
2．集合
最大值是___________。
3．已知集合
___________。
4．已知集合
的顶点所构成的集合 ，则
的子集B满足：对任意的
，其中，且
，则实数的取值范围是
，则集合B中 元素个数的
，若P=Q，则实数
，若
___________。
，集合，集合A满足：，且当
，≤则使
时，
是平面上正八边形
，则集
， 则A中元素最多
成立的所有的集合是
5．集合
合M与N的关系是__________ _。
6．设集合
有___________个。
7．非空集合
___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集
C）个数是___________。
9．已知集合
时，
, 则满足条件的有序三元组（A，B，
，问：当取何值< br>为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
，并且C的元素乘积等于B的元素和。
，则恰有一个成立，并且若，则
10．求集合 B和C，使得
11．S是Q的子集且满足：若
，试确定集合S。
12．集合S={1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在
两个 不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题

1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列
。求证：中必有两个相等。
，如 果，，则
2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每 个
恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？ < br>4．设
求集合
5．设S是由
6．对于整数
一个
是20个两两不 同的整数，且整合
中不同元素个数的最小可能值。
个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
，求出最小的整 数，使得对于任何正整数，集合的任
中有201个不同的元素，
元子集中，均有至少3个两两互 质的元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两 个不同的数a和b，
满足。
8．集合，试作出X的三元子集族&，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；
（2）
9．设集合
存在某个集合




。
，求最小的正整数
，在
，使得对A的任意一个14-分划
。
，一定
中有两个元素a和b满足
高中数学精神讲义（二）
──二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当0时，y=ax
2< br>+bx+c或f(x)=ax
2
+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x= -，
另外配方可得f(x)=a(x-x
0
)
2
+f(x
0
)，其中x
0
=-，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的 图象开口向上，在区间（-∞，x
0
]上随自变量x增大函数值减小（简
称递减），在 [x
0
, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax
2
+bx+c=0…①和不等式ax
2< br>+bx+c>0…②及ax
2
+bx+c<0…③与函数f(x)的关
系如下（ 记△=b
2
-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x
1
,x
2
(x
1
2
)，不等式②和不等式③的解 集分别是{x|x1
或x>x
2
}
和{x|x
1
2
}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x) =a(x-x
1
)(x-x
2
).
2）当△=0时，方程①有两个 相等的实根x
1
=x
2
=x
0
=
和空集，f(x) 的图象与x轴有唯一公共点。
.f(x)图象与x轴无公共点。
,不等式②和不等式③的解 集分别是{x|x}
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a>0，当x=x
0
时，f(x )取最小值f(x
0
)=
取最大值f(x
0
)=
,若a<0 ，则当x=x
0
=时，f(x)
.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=a x
2
+bx+c(a>0)，当x
0
∈[m, n]时，f(x)在[m, n]

上的最小值为f(x
0
); 当x
0
0
>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以
上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的 语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、
“且”、“非”的 命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只 有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，
q同时为真命题时为真， 否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为 结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：
若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q ”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知p
q,则p是q的充分条件；如果 qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非
必要条件；如果p不q但pq， 则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。
例1 设方程x
2
-x+1=0的两根是α，β，求满 足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
【解】 设f(x)=ax
2
+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，
因为方程x
2
-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax
2
-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα
2
-(a+1)α+2=β,
所以aα
2
-aα+2=α+β=1，所以aα
2
-aα+1=0.
即a(α
2
-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x
2
-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax
2
-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>0， 因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对
任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x
1< br>, x
2
满足01
2
<
（Ⅰ）当x∈(0, x
1
)时，求证：x1
；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x
0
对称，求证：x
0
<
【证明】 因为x
1
, x
2
是方程f(x)-x=0的两根，所以 f(x)-x=a(x-x
1
)(x-x
2
)，
即f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)+x.
（Ⅰ）当x∈(0, x
1
)时，x-x
1
<0, x-x
2
<0, a>0，所以f(x)>x.
其次f(x)-x
1
=(x-x
1
)[a(x-x
2
)+1]=a(x-x
1
)[x-x
2
+]<0，所以f(x)1
.
,

综上，x1
.
（Ⅱ）f(x)=a(x-x
1
)(x-x
2
)+x=ax
2
+[1-a(x
1
+x
2
)]x+ax
1
x
2
,
所以x
0
=,
所以，
所以
5．构造二次函数解题。
例5 已知关于x的方程(ax+1)
2
=a
2
(a-x
2
), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 方程化为2a
2
x
2
+2ax+1-a
2
=0.
构造f(x)=2a
2
x
2
+2ax+1-a
2
,
f(1)=(a+1)
2
>0, f(-1)=(a-1)
2
>0, f(0)=1-a
2
<0, 即△>0，
所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x取何值时，函数y=
【解】 y=1-,令
取最小值？求出这个最小值。
u,则0y=5u
2
-u+1=5
且当即x=3时，y
min
=
,
.
，求b的值。 例7 设变量x满足x
2
+bx≤-x(b<-1)，并且x
2
+bx的最小值是
【解】 由x
2
+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-
ⅱ) -
≤-(b+1)，即b≤-2时，x
2
+bx的最小值为-
>-(b+1) ，即b>-2时，x
2
+bx在[0，-(b+1)]上是减函数，
,b=-.
，所以b
2
=2，所以（舍去）。
所以x
2
+bx的最小值为b+1,b+1=-
综上，b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。
【解】 因为方程x
2
-x+a-a
2
=0的两根为x
1
=a, x
2
=1-a,
若a≤0，则x
1
2
.①的 解集为a1-2a.
因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。
若a>0，ⅰ）当01
2
,①的解集为a因为0ⅱ）当a=
ⅲ）当a>
时，a=1-a，①无解。
时，a>1-a，由②得x>1-2a，

所以不等式组的解集为1-a又不等式组的整数解恰有2个，
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1综上，a的取值范围是18．充分性与必要性。
例9 设定数A，B，C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①
对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及
A，B，C的等式或不等式表示条件）
【解】 充要条件为A，B，C≥0且A
2
+B
2
+C
2
≤2(AB+BC+CA).
先证必要性， ①可改写为A(x-y)
2
-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)
2
≥0 ②
若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C =0，若A0，则因为②恒成立，所以
A>0，△=(B-A-C)
2
(y-z)2
-4AC(y-z)
2
≤0恒成立，所以(B-A-C)
2
- 4AC≤0，即A
2
+B
2
+C
2
≤2(AB+BC+CA )
同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。
再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A
2
+B
2
+C
2
≤2(AB+BC+CA)，
1 ）若A=0，则由B
2
+C
2
≤2BC得(B-C)
2
≤0 ，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
定理2 若a,b∈R, 则a
2
+b
2
≥2ab；若x,y∈R
+
,则x+y≥
(证略)
注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。
三、基础训练题
1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0， 则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个
全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2
+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三
个内角相等”的逆否命题。
2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为 假，
非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p :a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④ p: QR, q:
N=Z.
3. 当 |x-2|2
-4|<1成立，则正数a的取值范围是________.
4. 不等式ax
2
+(ab+1)x+b>0的解是15. x1且x2是x-1的__________条件，而- 22
+mx+n=0有两
个小于1的正根的_ _________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若 S={x|mx
2
+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________ .
8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B=, 则(C
R
A)∩B=_________.
9. 设a, b是整数，集合A={( x,y)|(x-a)
2
+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2） A则a,b
的值是_________.
10．设集合A={x||x|<4}, B={x|x
2
-4x+3>0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11. 求使不等式ax
2
+4x-1≥-2x
2
-a对任意实数x 恒成立的a的取值范围。
12．对任意x∈[0,1],有 ①②成立，求k的取值范围。
四、高考水平训练题
1．若不等式|x-a|2． 使不等式x
2
+(x-6)x+9>0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_______ __.
3．若不等式-x
2
+kx-4<0的解集为R，则实数k的取值范围是__ _______.
4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|

5．设a
1
、a
2
, b
1
、b
2
, c
1
、c
2
均为非零实数 ，不等式a
1
x
2
+b
1
x+c
1
>0和 a
2
x
2
+b
2
x+c
2
>0解集分别为 M和N，
那么“”是“M=N”的_________条件。
6．若下列三个方程x
2
+4ax-4a+3=0, x
2
+(a-1)x+a
2
=0, x
2
+2ax-2a= 0中至少有一个方程有实根，则实数a的
取值范围是_________.
7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。
8．已知p: |1-|≤2, q: x
2
-2x+1-m
2
≤0 (m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围
是_________.
9．已知a>0，f(x)=ax
2
+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x) ，若f(1-2x
2
)2
)，求x 的取值范围。
10．已知a, b, c∈R, f(x)=ax
2
+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1时，|f(x)|≤1,
(1)求证：|c|≤1;
(2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤2;
(3)当a>0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).
11.设实数a,b,c,m满足条件：
满足00
<1.
五、联赛一试水平训练题
1．不等式|x|
3
-2x
2
- 4|x|+3<0的解集是_________.
=0，且a≥0,m>0，求证：方程ax
2
+bx+c=0有一根x
0
2．如果实数x, y满足：，那么|x|-|y|的最小值是_________.
3．已知二次函数f(x)=ax< br>2
+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的最小值取最大值时 ，
a+b
2
+c
3
=_________.
4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。
5．若关于x的方 程4x
2
-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是________ _.
6．若f(x)=x
4
+px
3
+qx
2
+ x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q
2
=_________.
7. 对一切x∈R，f(x)=ax
2
+bx+c(a8．函数f(x)=ax
2
+bx+c的图象如图，且=b-2ac. 那么b
2
-4ac_________4. （填>、=、<）
9．若a10．某人 解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方
程：它的常 数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可
能无限 次继续下去，并求最多能延续的次数。
11．已知f(x)=ax
2
+bx+c在[ 0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、联赛二试水平训练题
1．设f(x)=ax
2
+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？
2．设函数f(x)=ax
2
+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l( a)]上，
不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。
3．设x
1
,x
2
,…,x
n
∈[a, a+1]，且设x=, y=, 求f=y-x
2
的最大值。
4．F(x)=ax
2
+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。
5．已知f(x)=x
2
+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤,|f(m +1)|≤
6．设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件：
1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
,求△=a
2
-4b的最大值和最小值。
2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤
3）f(x)在R上最小值为0。
;

求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x.
7.求证：方程3ax
2
+2bx-(a+b)=0( b0)在(0,1)内至少有一个实根。
8．设a,b,A,B∈R
+
, a1
, a
2
,…,a
n
位于a与A之间，n个正数b
1
, b
2
,…,b
n
位于b与B
之间，求证：

9．设a,b,c为实数，g(x)=ax
2
+bx+c, |x|≤1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值：
（ⅰ）=381;
（ⅱ）g(x)
max
=444;
（ⅲ）g(x)
min
=364.



高中数学竞赛讲义（三）
──函数
一、基础知识
定义1 映射，对于 任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一
个元素与之对应， 则称f: A→B为一个映射。
定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, xy, 都有f(x)f(y)则称之为单射。
定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的
满射。
定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做 一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B
到A由相反的对应法则f
-1
构成的映射 ，记作f
-1
: A→B。
定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈
A, y∈B，且f (x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的 定义
域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f
-1
: A→B叫原函数的反
函数，通常写作y=f
-1
(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f
-1
(y)，然后将x, y 互换得y=f
-1
(x)，
最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y= 的反函数是y=1-(x0).
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x
1
, x
2
∈I并且x
1
< x
2
，总有f(x
1
)2
)(f(x)>f(x
2
))，则称
f(x)在区间 I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为 D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有
f(-x)=-f(x)，则称f(x)是 奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点
对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)
总成立，则称f(x)为周期函数，T称 为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T
0
，则这个正数叫做函数
f(x)的 最小正周期。
定义8 如果实数a区间[a,b]，集合{x|aa}记
作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].
定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的 定义域。通过画图
不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1） 向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；
（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象 ；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)
-1
的 图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f(x)的图 象关于直线
y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上 是
减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
例1 求方程|x-1|=的正根的个数.
的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 【解】 分别画出y=|x-1|和y=

例2 求函数f(x)=的最大值。

【解】 f(x)=
则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
，记点P(x, x
?2
)，A（3，2），B（0，1），

因为|PA|-|PA|≤|AB|=
所以f(x)
max
=
2.函数性质的应用。
,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x
2
的交点时等号成立。
例3 设x, y∈R，且满足，求x+y.
【解】 设f(t)=t
3
+1997t， 先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若af(b)-f(a)=b
3-a
3
+1997(b-a)=(b-a)(b
2
+ba+a
2
+1997)>0，所以f(t)递增。
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a
2
)<0，求 a的取值范围。
【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a
2
)=-f( a
2
-1)，由题设f(1-a)2
-1)。
又f(x) 在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a2
-1<1，解得0例5 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用I
k
表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x
∈I
0
时，f (x)=x
2
，求f(x)在I
k
上的解析式。
【解】 设x∈I
k
，则2k-1所以f(x-2k)=(x-2k)
2
.
又因为f(x)是以2为周期的函数，
所以当x∈I
k
时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)
2
.
例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(
【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为
m(+1)+n(+1)=0. ①
若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m
+1)=0.
0, n0.

ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(
m=-n，所以3 x-1+2x-3=0，所以x=
+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f( -n)，所以
ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=
综上，方程有唯一实数解x=
3.配方法。
例7 求函数y=x+
【解】 y=x+
=(+1)-1≥
=

,但与m<0矛盾。
的值域。
[2x+1+2
-1=-.
，+∞）。
+1]-1
当x=-时，y取最小值-
4．换元法。
例8 求函数y=(
【解】令< br>≤2，1≤
+
+
，所以函数值域是[-
+2)(+1),x∈[0,1 ]的值域。
≤4,所以≤u≤2,所以≤=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u
2
=2+2
,u
2
∈[+2，8]。 ≤2，所以y=
，8]。 所以该函数值域为[2+
5．判别式法。
例9 求函数y=的值域。
【解】由函数解析式得(y-1)x
2
+3(y+1)x+4y-4=0. ①
当y1时，①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+1)
2
-16(y-1)
2
≥0，解得≤y≤1.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[，7]。
6．关于反函数。
例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f
-1
(x)在(-
∞,+ ∞)上也是增函数。
【证明】设x
1
2
, 且y
1
=f
-1
(x
1
), y
2
=f< br>-1
(x
2
)，则x
1
=f(y
1
), x
2
=f(y
2
)，若y
1
≥y
2
，则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，
所以x
1
≥x
2
与假设矛盾， 所以y
1
2
。
即y=f
-1
(x)在(-∞,+ ∞)递增。
例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f
-1
(x).
【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x
1
, x
2
是定义域内变量，且x
1
2
<-;
=
所以f(x)在（ -∞，-
>0,
）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。

在方程f(x)=f
-1
(x)中，记f(x)=f
-1
(x)=y，则y≥ 0，又由f
-1
(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，设x同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化简得3x
5
+2x
4
-4x-1=0,
即(x-1)(3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1)= 0,
因为x≥0，所以3x
4
+5x
3
+5x
2
+5x+1>0，所以x=1.
三、基础训练题
1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得 x+f(x)
为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1，2，3}，B= {-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f
有__ _____个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。
3．若直线y=k(x -2)与函数y=x
2
+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有______ _个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。
5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x
2
-1)的单调递减 区间为_______。
8．若函数y=(x)存在反函数y=
-1
(x)，则y=
-1
(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。
9．函数f(x)满足
10. 函数y=
=1-，则f()=_______。
, x∈(1, +∞)的反函数是_______。
11．求下列函数的值域：（1）y=
y=
; (2)y=; (3)y=x+2; (4)
12. 已知定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数， 又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则
当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+ a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。
2．设0≤a<1时，f(x)=(a- 1)x
2
-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足104．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为 R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q
的关系为：P _______Q（填=、、）。
5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)
（4）y=
6. 设函数 y=f(x)(x∈R且x
函数，则不等式f(x)+f(x-
；（2）g(x)=|2x+1 |-|2x-1| (3) (x)=；
0)，对任意非零实数x
1
, x
2
满足f(x
1
x
2
)=f(x
1
)+f(x< br>2
)，又f(x)在（0，+∞）是增
)≤0的解集为_______。
7．函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P},
，则f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，则f(P) ∩f(M)f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=
；③若P∪M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪MR，则f(P) ∪f(M)R. 其中正确的判断是_______。
8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f
-1
(x+1)，并且f(1)=3997，则f (1998)= _______。

9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的 奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，
又f(6)=2，当x∈ [3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。
,（1）求f(α)、f(β)；11．设关于x的方程2x
2
-tx-2=0的两根为α， β（α<β），已知函数f(x)=
（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数 x
1
, x
2
，求证：<2|
α-β|.

五、联赛一试水平训练题
1．奇函数f(x)存在函数f
-1
(x)，若把 y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于
直线y=-x对称，得到的曲 线所对应的函数是________.
2．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）. < br>3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x )= ；③
F(x
-1
)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.设函 数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x +2，则f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对 任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若
g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________.
6. 函数f(x)=
7. 函数f(x)=
8. 函数y=x+
的单调递增区间是________.
的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
的值域为________.
9．设f(x)=,
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组： （在实数范围内）
11．设k∈N
+
, f: N
+
→N
+
满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N
+
, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈
N
+
, 都有n≤f(n)≤
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f
有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
； （2）对所
2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；( ⅱ)任意x>0, f(x)f=1，
试求f(1).
3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，
试求最小常数c，对满足（1） ，（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.
4. 试求f(x,y)=6(x
2
+y
2
)(x+y)-4(x
2
+xy+y
2
)- 3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+ q>1≥p
2
+q
2
，试求f(x)=(1-x)
的最大值。
+在[1-q,p]上

6．已知f: (0,1)→R且f(x)=
当x∈时，试求f(x)的最大值。
.
7．函数f( x)定义在整数集上，且满足f(n)=
8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标 原点旋转角
恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。
，求f(100)的值。
后不变。（1）求证：方程f(x)=x
9．设Q
+
是正有理数的集合，试构 造一个函数f: Q
+
→Q
+
，满足这样的条件：f(xf(y))=




x, y∈Q
+
.
高中数学竞赛讲义（四）
──几个初等函数的性质
一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=a
x
(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定 义域为R，值域为（0，+∞），
当0x
是减函数，当a>1时， y=a
x
为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=log
a
x(a>0, a1)的函数叫做对数函数 ，其定义域为（0，+∞），值域为R，
图象过定点（1，0）。当0a
x为减函数，当a>1时，y=log
a
x为增函数。
4．对数的性质（M>0, N>0）；
1）a
x
=Mx=log
a
M(a>0, a1)；
2）log
a
(MN)= log
a
M+ log
a
N；
3）log
a
（）= log
a
M- log
a
N；4）log
a
M
n
=n log
a
M；，
5）log
a
=log
a
M；6）a
loga
M
=M; 7) log
a
b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。
（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a
1
, a
2
,…,a
n
是不全为0的实数，b
1
, b
2
,…,b
n
∈R，则（
等号当且仅当存在R，使a
i
=, i=1, 2, …, n时成立。
）x
2
-2()x+=,
）（·）≥()
2
，
【证明】 令f(x)= （

因为
所以△=4(
展开得（
>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，
)-4（
）()≥(
）()≤0.
)
2
。
，使a
i
=, i=1, 2, …, n。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在
例3 设x, y∈R
+
, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u=
=xy++2.
=xy+≥xy++2·
令xy=t，则0因为0所以f(t)
min
=f()=+
≤1，所 以f(t)在
，所以u≥+
上单调递减。
+2.
++2. 当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为
2．指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R
+
且满足log
9
p= log
12
q= log
16
(p+q)，求的值。
【解】 令log
9
p= log
12
q= log
16
(p+q)=t，则p=9

t
, q=12

t
, p+q=16
t
，
所以9

t
+12

t
=16

t
，即1+
记x=
又>0，所以=
，则1+x=x
2
，解得


例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若a
x=b
y
=c
z
=70
w
，且
【证明】 由a
x
=b
y
=c
z
=70
w
取常用对数得x lga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
，求证：a+b=c.
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且log
a< br>x+log
c
x=2log
b
x，求证c
2
=(ac )
logab
.
【证明】 由题设log
a
x+log
c
x=2log
b
x，化为以a为底的对数，得

，
因为ac>0, ac1，所以log
a
b=log
ac
c
2
，所以c
2
=(ac)
logab
.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求 解。值得注意的是函数单调性的应用和
未知数范围的讨论。