吉林省实验高中数学组老师-高中数学一共有多少课本
2020全国高中数学联赛模拟试题(一)
一、
选择题:(每小题6分,共36分)
1、 方程6×(5
a
2
+
b
2
)=5
c
2
满足
c
≤20的正整数解(
a
,
b
,
c
)的个数是
(A)1 (B)3
(C)4 (D)5
2、
x
2
函数
y?
(
x
∈R,
x
≠1)的递增区间是
x?1
(A)
x
≥2
(B)
x
≤0或
x
≥2
(C)
x
≤0
(D)
x
≤
1?2
或
x
≥
2
3、 过定点
P
(2,1)作直线
l
分别交
x
轴正
向和
y
轴正向于
A
、
B
,使△
AOB
(<
br>O
为原点)的面积最小,则
l
的方程为
(A)
x
+
y
-3=0
(B)
x
+3
y
-5=0
(C)2
x
+
y
-5=0
(D)
x
+2
y
-4=0
4、
?
?
0
,
若方程cos2
x
+
3
sin2
x
=
a
+1在
?
??
上有两个不同的实数解
x
,则
?2
?
参数
a
的取值范围是
(A)0≤
a
<1
(B)-3≤
a
<1
(C)
a
<1
(D)0<
a
<1
5、
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
(A)42 (B)45 (C)48 (D)51
6、 在1,2,3,4,5的
排列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
中,满足条件
a
1
<
a
2
,
a
2
>
a
3
,
a
3
<
a
4
,
a
4
>
a
5
的排列的个数是
(A)8 (B)10 (C)14 (D)16
二、 填空题:(每小题9分,共54分)
1、[
x
]表示
不大于
x
的最大整数,则方程×[
x
2
+
x
]=1
9
x
+99的实数解
x
是 .
2、设
a
1
=1,
a
n
+1
=2
a
n
+
n
2
,则通项公式
a
n
=
.
3、数7
99
被2550除所得的余数是
.
4、在△
ABC
中,∠
A
=,sin
B
=?
3
5
,则cos
C
= . 13
1
2
5、设
k
、是实数,使得关于
x
的方
程
x
2
-(2
k
+1)
x
+
k
2
-1=0的两个根为
sin和cos,则的取值范围是
.
2n
6、数
?
5?24
?
(
n
∈N)
的个位数字是 .
三、 (20分)
已知
x、
y
、
z
都是非负实数,且
x
+
y
+
z
=1.
求证:
x
(1-2
x
)(1-3
x
)+
y
(1-2
y
)(1-3
y
)+
z
(1-2
z
)(1-3
z
)≥0,
并确定等号成立的条件
.
四、 (20分)
(1) 求出所有的实数
a
,使得关于<
br>x
的方程
x
2
+(
a
+2002)
x
+
a
=0的两根
皆为整数.
(2) 试求出所有的实数
a
,使得关于
x
的方程
x
3
+(-
a
2
+
2
a
+2)
x
-2
a
2
-2
a
=
0有三个整数根.
五、 (20分)
试求正数
r
的最大值,使
得点集
T
={(
x
,
y
)|
x
、
y
∈R,且
x
2
+(
y
-7)
2
≤
r
2
}一定被包含于另一个点集
S
={(
x
,
y
)|
x
、
y
∈R,且对任何∈R,都
有co
s2+
x
cos+
y
≥0}之中.
第二试
一、(50分)
设
a
、
b
、
c
∈R
,
b
≠
ac
,
a
≠-
c
,
z是复数,且
z
2
-(
a
-
c
)
z-
b
=0.
二、(50分)
如图,在
△
ABC
中,∠
ABC
和∠
ACB
均是锐角,
D<
br>是
BC
边上的内点,且
AD
平分∠
BAC
,过点D
分别
向两条直线
AB
、
AC
作垂线
DP、
DQ
,其垂足是
P
、
Q
,
B
两条直线
CP
与
BQ
相交与点
K
.求证:
(1)
AK
⊥
BC
;
AK?AP?AQ?
(2)
2S
△ABC
,其中
S
△ABC
表示△
ABC
的面积.
BC
a
2
?b
?
?
a?c
?
z
2
求证:
?1
的充分必要
条件是(
a
-
c
)+4
b
≤0.
ac?b
A
P
D
K
Q
C
三、(50分)
给定一个正整数
n
,设
n
个实数a
1
,
a
2
,…,
a
n
满足下列n
个方程:
a
i
4
?(j?1,2,3,?,n)
.
?
i?j2j?1
i?1
n
确定和式
S?
?<
br>i?1
n
a
i
的值(写成关于
n
的最简式子).
2i?1
参考答案
第一试
一、选择题:
题号
答案
二、填空题:
111
???
1
?
x?y?
?
x?z?
?
y?z?
三、证略,等号成立的条件是
x?y?z?
或
?
2
或
?
2
或
?
2
.
3
???
?
z?0
?
y?0
?
z?0
1
C
2
C
3
D
4
A
5
B
6
D
1、
?
1811587
或;
3838
2、7×2
n
-1
-
n
2
-2
n
-3;
53?12
;
26
3、343; 4、
5、{|=2
n
+或2
n
?
2
-,
n
∈Z}
;6、1(
n
为偶数);7(
n
为奇数).
四、(1)
a
的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;(2)
a
的可能取值有-3,11,-1,9.
五、
r
max
=
42
.
第二试
a?c??
?
a?c
?
?4b?i
一、证略(提示:直接解出
z?
,通过变形即得充分性成立,<
br>2
2
然后利用反证法证明必要性).
二、证略(提示:用同一法,
作出
BC
边上的高
AR
,利用塞瓦定理证明
AR
、
BQ
、
CP
三线共点,从而
AK
⊥
BC
;记
AR
与
PQ
交于点
T
,则
AP
,对于
A
K
<
AP
,可证∠
APK
<∠
AKP
).
三、
S??
1
?
2n?1
?
2
?1
.
2S
△ABC
BC
=
AR
>
AT
>
AQ
=