2018年贵州省高中数学联赛试题含答案

2018年贵州省高中数学联赛试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：每小题6分，本大题共30分.
1.小王在
word
文档中设 计好一张
A4
规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计
1000
张， 小王欲使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本
word
文档中 “粘贴”）的办法满足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ）
A．
9
次 B．
10
次 C．
11
次 D．
12
次
2.已知一双曲线的 两条渐近线方程为
x?3y?0
和
3x?y?0
，则它的离心率是（ ）
A．
2
B．
3
C．
22
D．
3?1

3.在空间直角坐标系 中，已知
O(0,0,0)
，
A(1,0,0)
，
B(0,1,0)
，
C(0,0,1)
，则到面
OAB
、
面
OBC< br>、面
OAC
、面
ABC
的距离相等的点的个数是（ ）
A．
1
B．
4
C．
5
D．无穷多
4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为
角是（ ）
A．
ar csin
22
，则此截面与圆柱底面所成的锐二面
3
1122
B．
arccos
C．
arcsin
D．
arccos

3333
5.已知等差数列
?
a
n
?
及
?
b
n
?
，设
A
n?a
1
?a
2
?????a
n
，
B
n
?b
1
?b
2
?????b
n
，若对
?n ?N
*
，有
A
n
3n?5
a
?
，则
10
?
（ ）
B
n
5n?3
b
6
A．
31175155
35
B． C． D．
299987
33
二、填空题（每小题6分，本大题共60分）
6.已知< br>O
为
?ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
OP? OA?
?
(
AB
AB
?
AC
AC
)
，其
?
?[0,??)
，则
P
点的轨迹为 ．
7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：
① 最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中
1

最佳选手是 ．
?
x
2
?y< br>2
?26
8.方程组
?
的实数解为 ．
?
xy(x?y)??6
9.如图，在
?ABD
中，点
C
在
AD
上，
?ABC?
?
2
，
?DBC?
?
6
，
AB?CD?1
，则
AC?
．

10.函数
z?2x?2x?1?2x?10x?13
的最小值是 ．
11.若边长为
6
的正
?ABC
的三个顶点到平面
?< br>的距离分别为
1
，
2
，
3
，则
?ABC的重心
22
G
到平面
?
的距离为 ． 12.若实数
a
使得不等式
x?2a?2x?a?a
对任意实数
x
恒成立，则实数
a
的取值范
围 ．
13.若 方程
a?x(a?0,a?1)
有两个不等实根，则实数
a
的取值范围是 ．
14.顺次连结圆
x?y?9
与双曲线
xy?3
的交点，得到一 个凸四边形.则此凸四边形的面
积为 ．
15.函数
y?2(5 ?x)sin
?
x?1(0?x?10)
的所有零点之和等于 ．
22
x
2
三、解答题（每小题15分，本大题共60分）
16.已知函数
y?3x?x
2
?2x
，求该函数的值域.
2
x
2
y
2
17.已知椭圆
C
：
2?
2
?1(a?b?0)
的离心率
e?
，直线
y?2x ?1
与
C
交于
A
、
2
ab
B
两点 ，且
AB?
8
5
.
9
（1）求椭圆
C
的方程；
2

（2） 过点
M(2,0)
的直线
l
（斜率不为零）与椭圆
C
交于不 同的两点
E
、
F
（
E
在点
F
、
M
之间），记
?
?
S
?OME
，求
?
的取值 范围.
S
?OMF
18.证明：（1）
1111
???????? 1
(n?2,n?N)
；
2
k
2
k
?12
k
?22
k?1
?1
1113
，，…，，…为边长的正方形能互不 重叠地全部放入一个边长为
23n2
（2）分别以
1
，
的正方形内.
19.已知梯形
ABCD
，边
CD
、
AB
分别为上 、下底，且
?ADC?90
，对角线
AC?BD
，
过
D作
DE?BC
于点
E
.

（1）证明：
AC?CD?AB?CD
；
（2）证明：
22
AEAC?CD
?
.
BEAC
2
?CD
2
3

参考答案
一、选择题
1-5: BACBB
二、填空题
?
x??1
?
x?3
?BAC
6. 的角平分线 7. 牛得亨先生的女儿 8.
?
或
?

y?3y??1
??
3
9.
2
10.
10
11.
?
0,
?
24
?
,,2
?

33
??
1
?
33
?
12.
?
?,
?
13.
1?a?e
e
14.
65
15.
60

?
22
?
三、解答题
16.解：令
u?x?1
， 则
y?3u?3?u
2
?1
，则
u?1
，
设u?1?u?t?0
，则
0?t?u
min
?1
，且
u ?
2
11
(t?)
.
2t
当
u?0
时，
y?
31112
(t?)?3?(t?)?t?t??3
，
2t2 tt
由于
0?t?1
，故函数单调递减，所以
y?1?2?3?6
.
当
u?0
时，
y??
3111
(t?)?3?(t?)?t

2t2t
2
4?32
1
??2t??3?3?22
（当且仅当
t?
，即
x?
时取等号）
2
4
t< br>所以函数的值域为
(??,3?22][6,??)
.
17.解：（1）由< br>e?
2
222
得
a?2c?2b
，所以椭圆的方程为
x?2y?2b?0
，
2
?
x
2
?2y
2
?2b
2
?0
22
由
?
得
9x?8x?(2?2 b)?0
，
?
y?2x?1
所以
??64?36(2?2b)
，
2
4

由
AB?
?85
8
2?
5
得
1?2
2
，即
b?1
，
99
9
x
2
?y
2
?1
. 所以椭圆C
的方程为
2
（2）设
l
：
x?my?2
，且
E(x
1
,y
1
)
、
F(x
2
, y
2
)
，
?
x
2
?2y
2
?2 ?0
22
由
?
得
(m?2)y?4my?2?0
，
?
x?my?2
所以由
??0
解得
m?2
，且
y
1
?y
2
??
2
4m2
y?y?
，① < br>12
m
2
?2m
2
?2
由
?
?S
?OME
S
?OMF
1
?OM?y
1
得，< br>y
1
?
?
y
2
②
?
2
1
?OM?y
2
2
?
m
2
?211
???< br>由①②得，
(1?
?
)
2
8m
2
84m< br>2
所以
1
?
1
??
，解得
0?
?< br>?3?22
，且
?
?1
.
2
8(1?
?< br>)4
1111
1112
k
?
k
?????
k ?1
?
k
?
k
?????
k
?
k
?1
. 18.证明：（1）
k
?
k
22?12?22?1
2222
2
k
个
（2）由（1）知，
1111
?????? ??1
，
kkkk?1
22?12?22?1
故以边长为
111< br>11
1
，，，…，的正方形可以并排放入底为，高为的
2
k?1
?1
2
k
2
k
?12
k
?2
2
k
矩形内，而不重叠.
取
k?2,3,4
，…，即得底分别为
111111
????????????
，，
2
2
22
?12
3
?12
3
2
3
?12
4< br>?1
1111
11
??????
，高分别为，，，…的一系列矩形，
2
4
2
4
?12
5
?1
2
22
3
2
4
这些矩形的底小于
1
，高的和为
5

11
(1?)
2n
111
22
?lim
1
(1?
1
)?
1
.
???????limx??
2
x??
1
2
n
2
2
2
2
3
2
4
1?
2
因此，以
1
，
11111
，，…，，…为边长的正方形中，除了边长为
1
，，的正方形外，
23n23
1
的矩形中（如图阴影部分）.
2
其余的正方形全部可以放入底 为
1
，高为
而边长为
1
，
113
，的三个正方形显 然可以放入底为，高为
1
的矩形内（如图）.
232

19.证明：如图.
（1）由于
?ADC?90
，故
AC?CD?AD
.
因为 对角线
AC?BD
，所以
?DCA?90??BDC??ADB
.
而
?ADC?90??BAD
，则
?ACD
222
?BDA
，故
ADAB
??AD
2
?AB?CD
.
CDAD
因此，有
AC?CD?AB?CD
.
（2）由于
?ADC?90
，故
AC?CD?AD
，
222
22
AC?CDAC?CDAC?CDAC
???
所以. < br>222
AC?CDADAB?CDAB
因为
?BAD??DEB?180
，
所以
A
、
B
、
E
、
D
四点 共圆，故
?AEB??ADB
.
由于
?BAC?90??CAD??ADB
，
且
?AEB??BAC
，
?EBA??ABC
，
6 < /p>

则
?ABE?CBA
，故
AE
BE
?
CA
AB
.
所以
AE
BE
?
AC?CD
AC
2
?CD
2
.


7