上海市高中数学竞赛试题及答案(word版)

高中数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小
题7分，后4小题每小题8分）
B1A 2
F2
F1
A1
1.如图,正六边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为 1,它的6条
对角线又围成一个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此
继续下去,则所 有这些六边形的面积和
是 .

C1
B2
E2
C2
D2
E1
D1
3
?,1?i?j?10
,则
a
10
的最2.已知正整数
a
1
,a
2
,?,a
10
满足:
a
i
2
a
j
小可能值是 .

17
3.若
tan
?
?tan
?
?ta n
?
?
，
6
4
cot
?
?cot
?
?cot
?
??
,
5
cot
?
co t
?
?cot
?
cot
?
?cot
?
co t
?
??
17
，则
5
A
D
tan
?
?
?
?
?
?
?
?
.
4．已知关于
x
的方程
lg
?
kx
?
?2lg
?
x?1
?
仅有一个实数
解，则实数
k
的 取值范围是 .


B
E
F
C< /p>

5．如图，
?AEF
是边长为
x
的正方形
AB CD
的内接三角形，
已知
?AEF?90?
，
AE?a,EF?b, a?b
，则
x?
.

mnn?1m2?3?3?2?13
的非负整数解6．方程
?
m,n
?
? .

7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色 的，
两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相
邻两个小球的颜色均不相同的概 率是 （.用数字
作答）
8．数列
?
a
n
?
定义如
.
下：
若
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
2
?
n?1
?
n
?a< br>n?1
?a
n
,n?1,2,
?
n?2n?2
201 1
a
m
?2?
，则正整数
m
的最小值为 .
2012

二、解答题
AB?x
，
BC?1
，9（．本题满分14分）如图，在平行四边形
ABCD
中，
对角线
AC与
BD
的夹角
?BOC?45?
，记直线
AB
与
CD
的距离为
h(x)
．
求
h(x)
的表达式，并写出
x
的取值范
围．
A
D
C
O
B

10．（本题满分14分）给定实数
a?1
，求函数
(a?sinx)(4?sinx)
f(x)?
的最小值．
1?sinx


11．（本题满分16分）正实数
x,y,z满足
9xyz?xy?yz?zx?4
，求证：
4
（1）
xy?yz?zx?
3
；
（2）


12．（本题满分16分）给定整数
n(?3)
，记
f(n)为集合
n
1,2,?,2?1
?
的满足如下两个条件的子集
A< br>的元素个数的
?
x?y?z?2
．
最小值：
(a)

1?A,2
n
?1?A
；
1外）均为
A
中的另两个（可以相同）
(b)

A
中的元素（除
元素的和．
（1）求
f(3)
的值；
（2）求证：
f(100)?108
．

2012年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
4
2、92
3、11 4、
?
??,0
?
?
?
4
?

5、
5
a
2
a?(a?b)
22
6、
?
3,0
?
,
?
2,2
?

7、
2
8、
4025


9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB
2
?OC
2
?
11
(AB
2
?BC
2
)?(x
2
?1)
． ①………（2分）
22
在
?OBC
中，由余弦定理
BC
2
?OB< br>2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC
，
所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
， ②
x
2
?1
由①，②得
OB?OC?
． ③………（5分）
22
1
S?4S?4?OB?OCsin?BOC
所以
ABCD?OBC
2
x
2
?1
?2OB?OC
?< br>，
2
x
2
?1
故
AB?h(x)
?
，
2
x
2
?1
所以
h(x)?
． ………（10分）
2x
由③可得，
x?1?0
，故
x
2
?1
．
22
OB?OC?2OB?OC
，结合②，③可得 因为

1
2
x
2
?1

2
(x?1)?2?
，
22
解得（结合
x?1
）
1?x?2?1
．
x
2
?1
综上所述，
h(x)?
，
1?
2x
x?2?1
．…（14分）

10．解
f(x)?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1 ?sinx??a?2
．
1?sinx1?sinx
7
当
1?a?
时，
0?3(a?1)?2
，此时
3
f(x) ?1?sinx?
3(a?1)
?a?2?23(a?1)?a?2
，
1? sinx
且当
sinx?3(a?1)?1
?
?
?
?1,1
?
?
时不等式等号成立，故
f
min
(x)?23(a?1 )?a?2
． ……………（6分）
7
当
a?
3
时，
y?t?
3(a?1)?2
，此时“耐克”函数
3(a?1)< br>在
0,3(a?1)
?
?
内是递减，故此时
t
?< br>3(a?1)5(a?1)
f
min
(x)?f(1)?2??a?2?
．
22
综上所述，
7
?
23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
f
min
(x)?
?
………（14分）
5(a?1)7
?
,a?.
?
3
?
2

11．证 （1）记
t?
xy?yz?zx
，由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3< br>2
?
xy?yz?zx
?
?
??
． ………（4分）
3
??
3
2
于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t
3
?3t
2
，
2
3t?23t
?
?
?3t?2
?
?0
， 所以
?
而
3t
2
?3t?2?0
，所以
3t?2?
2
0
，即
t?
，
3
4
xy?yz?zx?
． …………（10分） 从而
3
2
(x?y?z)?3(xy?yz?zx)
， （2）又因为
所以
故


(x?y?z)?4
，
2
x?y?z?2
． …………（16分）
12．解 （1）设集合
A?
?
1,2,?,2
3
?1
?
，且
A
满足
(a),(b)
．则
1?A,7?A
．由于
?
1,m,7
??
m?2,3,?,6
?
不满
足
( b)
，故
A?3
．
又
?
1,2,3,7
?,
?
1,2,4,7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2,6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1,3,5,7
?
,
?
1,3,6,7< br>?
,

?
1,4,5,7
?
,
?
1 ,4,6,7
?
,
?
1,5,6,7
?
都不满足
( b)
，故
A?4
．

而集合
?
1,2,4 ,6,7
?
满足
(a),(b)
，所以
f(3)?5
．…（ 6分）
（2）首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,?
． ①
n
A?1,2,?,2?1
?
，满足
(a),(b)
， 且
A
的元
?
事实上，若
素个数为
f(n)
． n?1n?1
n?1n
B?A?2?2,2?1
??
2?2?2?1，令，由于
故
B?f(n)?2
．
n?1nn?1n?1
2?2?2(2?1),2?1?1?(2?2)
， 又
所以，集合
B?
?
1,2,?,2
n?1
?1
?
，且
B
满足
(a),(b)
．从而
f(n?1)?B?f(n)?2
． ……………（10分）
其次证明：
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,?
． ②
n
A?1,2,?,2?1
?
满足
(a),(b)
，
?
事实上，设且
A
的元素个数
为
f(n)
．令
B?A?< br>?
2(2
n
?1),2
2
(2
n
?1),? ,2
n
(2
n
?1),2
2n
?1
?
，
n2nnn2n
2(2?1)?2(2?1)???2(2?1)?2?1
，由于
2n
B?1,2,?,2?1
?
，且
B?f(n)?n?1
．而
?
所以
2
k?1
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1)?2
k
(2
n
?1),k?0,1 ,?,n?1
，
2
2n
?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)
，
从而
B
满足
(a),(b)
，于是

f(2n)?B?f(n)?n?1
．……………（14分）
由①，②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
． ③
反复利用②，③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51

?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92

?f(3)?3?1?99?108
． …………（

16分）