高中数学教师队伍建设-2019全国高中数学竞赛金牌排名
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上
．
1．设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B?{?
1,3,5,8}
，则集合
A?
．
2．函数
f(x)?
x
2
?1
x?1
的值域为
．
3．设
a,b
为正实数，
??22
，
(a?
b)
2
?4(ab)
3
，则
log
a
b?
．
1
a
1
b
<
br>4．如果
cos
5
?
?sin
5
?
?7(s
in
3
?
?cos
3
?
)
，
?
?
[0,2
?
)
，那么
?
的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数
为
．（用数字作答）
6．在四面体
ABCD
中，已知
?ADB??
BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3
，则四面体
ABCDCD?2<
br>，
的外接球的半径为 ．
7．直线
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点，
C
为抛物线上的一点，
?
ACB?90?
，则
点
C
的坐标为 ．
8．已知
a
n
?
C
?
?
6?
n
3
200
200?n
?
1
?
?<
br>?
?
??
(n
?
1,2,
?
,95)
，则数列
{a
n
}
中整数项的个数为
2
??
n
．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．
（本小题满分16分）设函数
f(x)?|lg(x?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a?6b?21)?4lg2
，求
a
,b
的值．
b?1
)
，
b?2
10．（本小题
满分20分）已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?2t
?3(t?
R且
t??1)
，
a
n?1
?
(2t<
br>n?1
?3)a
n
?2(t?1)t
n
?1
a
n
?2t
n
?1
(n?
N
*
)
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
t
?0
，试比较
a
n?1
与
a
n
的大小．
11．（本小题满分20
1
x
2
y
2
分）作斜率为
的直线
l
与椭圆
C
：
??1
3
364
y
P
O
x
B
A
交于
A,B
两点（
如图所示），且
P(32,2)
在直线
l
的左上方．
（1）证明：△
PAB
的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日
9：40—12：10
二、（本题满分40分）证明：对任意整数
n?4
，存在一个
n
次多项式
f(x)?x
n
?
a
n?1
x
n?1
?
?
?a
1
x?a0
具有如下性质：
（1）
a
0
,a
1,?,a
n?1
均为正整数；
（2）对任意正整数
m
，及任意
k(k?2)
个互不相同的正整数
r
1
,r
2
,<
br>?
,r
k
，均有
f(m)?f(r
1
)f(r2
)?f(r
k
)
．
三、（本题满分50分）设
a
1
,a
2<
br>,
?
,a
n
(n?4)
是给定的正实数，
a
1
?a
2
???a
n
．对任意正实
数
r
，
满足
a
j
?a
i
a
k
?a
j
?r
(1?i?j?k?n)
的三元数组
(i,j,k)
的个数记为
f
n
(r)
．
n
2
证明：
f
n
(r)?
．
4
四、（本题满分50分）设A是一个
3?9
的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称
A中的一个
m?n(1?m
?3,1?n?9)
方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A
中的一个1?1
的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数
的最
大值．