2012年全国高中数学联赛试题及答案

1988年全国高中数学联赛试题


第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有 一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均
得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y =φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第
二个函数的图象关于x+y=0对称， 那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－
x)
2．已知原点在 椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )
A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－13．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)| (x－12)2+(y+12)2+(x+12)2+(y－12)2<22}，
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．． C．．A、B、
C都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ， 且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α
=c．若有
命题甲：θ>π3；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有 直线的集合，M表
示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多 个整
点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，
正确的表达式的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： < br>1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那 么b4
－b3a2－a1= ．
2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC= ．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，
负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜
利，形成一 种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．
三．(15分)长为 2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的
旋转体的体积．
四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0， 另一个动点
Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．
五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1，试证：对每一个n∈N*，

(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．

1988年全国高中数学联赛二试题
一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， < br>an+2=5an+1－3an(an?an+1为偶数)，an+1－an(an?an+1为奇数)．
试证：对一切n∈N*，an≠0．











二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：
．













三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……， ln，…的直线族，它满足
条件：
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是 ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，
(n=1，2，3，……)；
⑶ knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
并证明你的结论．



1988年全国高中数学联赛解答
一试题

一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均
得0 分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与 第
二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－
x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x= φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky +k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )
A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，选D．
3．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)| (x－12)2+(y+12)2+(x+12)2+(y－12)2<22}，
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．．．．A、B、
C都不成立
解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0) ，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括
边界)；N表示焦点为(12，－12)，(－ 12，12)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由
x+y=±1，x=±1，y=±1围成的 六边形内部的点的集合．故选A．
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β =a，β∩γ=b，γ∩α
=c．若有
命题甲：θ>π3；
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对
解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=π3．当 它们交于一点时，π3<θ
<π．选C．
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点 ，我们用I表示所有直线的集合，M表
示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合 ，P表示通过无穷多个整
点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，
正确的表达式的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解：均正确，选D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2， a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么b4
－b3a2－a1= ．
解：a2－a1=14(y－x)，b4－b3=23(y－x)，－b3a2－a1=83．
2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ．
解：(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C12n+12xn+C32n+123xn－1+C5 2n+125xn－2+…
+C2n+12n+122n+1)．
令x=1，得所求系数和=12(32n+1+1)．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC= ．
解：△AED∽△ABC，DEBC=ADAC=|cosα|．

4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，
负者被 淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜
利，形成一种比赛过 程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．
解 画1行14个格子，每个 格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格
子中写上他的顺序号(两方的人各用一种 颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后
面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号． 于是每一种比赛结果都对应一种填表方
法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所 求方法数等于在14个格
子中任选7个写入某一方的号码的方法数．
∴共有C714种比赛方式．
三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在 的直线为轴旋转一周，求得到的
旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=23=63．其体积V=π
3(6 3)2?3=239π．同样，
△BCD旋转所得旋转体的体积=239π．
其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=32，OM=DO?ABDA=64．
∴其体积=2?13π?(64)2?32=38π．
∴ 所求体积=2?239π－38π=23723π．
四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为 |Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点
Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹， 指出它在复平面上的形状和位置．
解：Z1=－1Z，故得|－1Z－Z0|=|1Z|，即|ZZ0 +1|=1．|Z+1Z0|=|1Z0|．即以－1Z0为圆心|1Z0|
为半径的圆．
五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1．试证：对每一个n∈N*，
(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．
证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2ab，∴ ab≥2ab，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．
又 ak+bk≥2akbk=2(a+b)k≥2k+1．下面用数学归纳法证明：
1° 当n=1时，左=右=0．左≥右成立．
2° 设当n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．
则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak －1+bk－1)
=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ ab(ak－1+bk－1)≥4 ?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－
4?2k+1+4?2k=22(k+1)－2 (k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．
故对于一切n∈N*，命题成立．

二试题
一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，
an+2=5an+1 －3an(an?an+1为偶数)，an+1－an(an?an+1为奇数)．
试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）
分析：改证an?0(mod 4)或an?0(mod 3)．
证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……
∴ a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod 4)．
设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod 4)．
则 a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod 4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod 4)；a3k+3≡5×2－3×1=7
≡3(mod 4)．
根据归纳原理知，对于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod 4)恒成立，故an?0(mod

4)成立，从而an≠0．
又证：a1≡1，a2≡2(mod 3)．
设a2k－1≡1，a2k≡2(mod 3)成立，则
当a2k－1?a2k为偶数时a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod 3)，当a2k－1?a2k为奇数时a2k+1≡2－1
≡1(mod 3)，总之a2k+1≡1(mod 3)．
当a2k?a2k+1为偶数时a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod 3)，当a2k?a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡
2(mod 3)，总之，a2k+2≡2(mod 3)．于是an?0(mod 3)．故an≠0．
二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：
．
证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=13．
则，但AB<12，于是PQAB>23，
AP≤AB－PQ<12－13=16，∴ AR=13－AP>16，AC<12，故ARAC>13，从而
．
三．在坐标平面上，是否 存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足
条件：
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是 ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，
(n=1，2，3，……)；
⑶ knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
并证明你的结论．
证明 ：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不 存
在，故kn≠±1．
现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－1kn，∴ kn+1=kn－1kn．此时
knkn+1=kn2－1．
∴ kn>1或kn<－1．从而k1>1或k1<－1．
⑴ 当k1>1时，由于0<1k1<1，故k 1>k2=k1－1k1>0，若k2>1，则又有k1>k2>k3>0，依此
类推，知当km>1时 ，有k1>k2>k3>?…>km>km+1>0，且0<1k1<1k2<…<1km<1，
km +1=km－1km由于k1－mk1随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－m0k1≤1，从< br>而必存在一个m值m=m1≤m0，使km1－1≥1，而1>km1=km1－1－1km1－1>0， 此时km1
?km1+1<0．
即此时不存在这样的直线族．
⑵ 当k1<－1时 ，同样有－1<1k1<0，得k1依此类推，知当km<－1时，有k11k1>1k2 >…>1km>－1，
km+1=km－1km>km－1k1=km－1－1km－1－1k1>k m－1－2k1>…>k1－mk1．
由于k1－mkm随m的增大而线性增大，故必存在一个m值， m=m0，使k1－m0k1≥－1，
从而必存在一个m值，m=m1(m1≤m0)，使km1－1≤ －1，而－1此时km1?km1+1<0．
即此时不存在这样的直线族．
综上可知这样的直线族不存在．