2005年全国高中数学联赛试题及详细解析

说明：
1． 评阅试卷时，请依据 本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和
0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本 评分标准规定的评分档次给分，不要再
增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解 答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本
评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不 要再增加其他中间档次。
[来源:21世纪教育网]

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其 中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错 或选出的代
表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于
x< br>的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数
k
的最大值是（ ）
A．
6?3
B．
3
C．
6?3
D．
6

2．空间四点A、B、C、D 满足
|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,
则
AC?BD< br>的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个

6.记集合
T?{0,1,2,3 ,4,5,6},M?{
a
1
a
2
a
3
a
4
???|a
i
?T,i?1,2,3,4},
将M中的元素
77
2
7
3
7
4

按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
55635562
?
2
?
3
?
4
B．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
11041103
C．
?
2
?
3< br>?
4
D．
?
2
?
3
?
4

7
7
7
77777
A．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于
x
的多项式f(x)?1?x?x
2
?x
3
???x
19
?x20
表为关于
y
的多项式
g(y)?
21世纪教育网

其中
a
0
?a
1
y?a
2
y
2< br>???a
19
y
19
?a
20
y
20
,
a
0
?a
1
???a
20
?
.
y?x?4.
则
8.已知
f(x)
是定义在
(0,?? )
上的减函数，若
f(2a
2
?a?1)?f(3a
2
?4 a?1)
成立，
则
a
的取值范围是 。
12.如果自然数
a
的各位数字之和等于7，那么称
a
为“吉祥 数”.将所有“吉祥数”从小到
大排成一列
a
1
,
a
2,
a
3
,
?
,
若
a
n
?20 05,
则
a
5n
?
.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列
{a
n
}
满足：
a
0
?1,a
n?1
?
2
7a
n
?45a
n
?36
21世纪教育网

2
,n?N.

证明：（1）对任意
n?N,a
n
为正整数；(2)对任意
n?N,a
n
a
n?1
?1
为完全 平方数。
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上< br>各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放
法的 概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同
的放法）

15.过抛物线
y?x
2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交
x
轴于D，交
y
轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足
AEBF
?
?
1
;点F在线段BC上，满足
?
?
2
，
ECFC
且
?
1
?
?
2
?1
，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线 上移动时，求点P的轨迹方程.

2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案


二、（本题满分50分）
设正数
a
、b、c、< br>x
、y、z满足
cy?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.


x
2
y
2
z
2
求函数
f(x, y,z)?
的最小值.
??
1?x1?y1?z
当n为平方数,
?
0
?
对每个正整数n，定义函数
f(n)?
?
1

[]当n不为平方数.
?
{n}
?
（其中[
x
]表 示不超过
x
的最大整数，
{x}?x?[x]).
试求：
三、（本题满分50分）







?
f(k)
的值.
k?1
240

2005

年全国高中数学联赛解答

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A ，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小 题选对得6分；不选、选错或选出的代
表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于
x
的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数
k
的最大值是（ ）
6?3
D．
6
A．
6?3
B．
3
C．
2．空间四 点A、B、C、D满足
|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,
则AC?BD
的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
【答案】A
?
【解析】注意到3?11?1130?7?9,
由于
AB?BC?CD?DA?0,
则
2 222
DA?DA
=
2
2
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?BC?BC?C D?CD?AB)?AB
2
?

BC
2
?CD
2< br>?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?

2
BC)?(BC?CD),
即
2AC?BD?AD
2
?BC
2
?AB
2
?CD< br>2
?0,?AC?BD
只有一个值得
0，故选A。

3．< br>?ABC
内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于
A
1
、
B
1
、
C
1
。
AA
1
?cos
则
ABC
?BB
1
?cos?CC
1
?c os
222
的值为（ ）
sinA?sinB?sinC
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【 解析】如图，连
BA
1
，则
AA
1
?2sin(B?
AA?B?CBC
)?2sin(??)

2222
?2cos(
BC
?).
22
[21世纪教育网]

?AA
1
cos
ABCAA?B?CA?C?B
???2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)?cos(?B)
22222222< br>BCA
?sinC?sinB,同理BB
1
cos?sinA?sinC,CC
1
cos?sinA?sinB,?AA
1
cos?BB
1
?
222
BC2(sinA?sinB?sinC)
cos?CC
1
cos?2(sinA?sinB?sinC),?原式??2.选A.
22sinA?sinB?si nC

5.方程
x
2
sin2?sin3
?
y< br>2
cos2?cos3
?1
表示的曲线是（ ）
A．焦点在
x
轴上的椭圆 B．焦点在
x
轴上的双曲线
C．焦点在
y
轴上的椭圆 D．焦点在
y
轴上的双曲线
【答案】C
【解析】
?2?3?
?
,?0?
?
2
?2?3?
?
2
?
?
2
,?cos(
?< br>?2)?cos(3?),
即
22
?
sin2?sin3.

又
0?2?
??
,?3?
?
,?cos2?0,cos3? 0,?cos2?cos3?0,
方程
22
表示的曲线是椭圆。
?(sin2?sin3)?(cos2?cos3)?22sin

2?32?3
?
sin(?)??(?)
224

2?32?3
?
?0,?sin?0,?
2222
2?3
?
?sin(?)?0,?(?)式?0.
24
??
?
2? 33
?
3
?
?,??
244
2?3
?
??
?
.
24

即
sin2?sin3?cos2?cos3. ?
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆，选C。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于
x
的多项式
f(x)?1?x?x?x???x
2319
?x
20
表为关于
y
的多项式
g(y)?

a
0
?a
1
y?a
2
y
2
???a19
y
19
?a
20
y
20
,
其中< br>y?x?4.
则
a
0
?a
1
???a
20< br>?
.
5
21
?1
【答案】 < br>6
【解析】由题设知，
f(x)
和式中的各项构成首项为1，公比为
? x
的等比数列，由等
(?x)
21
?1x
21
?1
(y?4)
21
?1
?.
令
x?y?4,
得
g(y )?
比数列的求和公式，得：
f(x)?
,
?x?1x?1
y?5< br>

取
y?1,

有
a
0
?a
1
?a
2
???a
20

5
21
?1
?g(1)?.

6
9.设
?
、
?
、
?
满足
0?
?
?
?
?
?
?2
?
，若对于任意
x?R,cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?

cos(x?
?
)?0,则
?
?
?
?
。
【答案】
4
?
.

3
【解析】设
f(x)?cos (x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
),由
x?R
，
f(x)?0
知，
f(?
?
)? 0,f(?
?
)?0,f(?
?
)?0,
即
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1,cos(
?
?
?
)?

cos(
?
?
?< br>)??1,cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)??1.?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)?
12
?4
?
?.?0?
?
?
?
?
?
?2?
,?
?
?
?
,
?
?
?
,< br>?
?
?
?{,},
又
?
?
?
??
?
?
,
?
?
?
?

233
2
?
4
?
?
?
?
.
只有
?
?
?
?
?
?
?
?.?
?
?< br>?
?.

33

10.如图，四面体DABC的体积为
1
AC
，且满足
?ACB?45?,A D?BC??3,
则
6
2
CD?
.
【答案】
3

【解析】
?
111
AD?(?BC? AC?sin45?)?V
DABC
?,

326
即
AD? BC?
AC
2
?1.
又
3?AD?BC?
AC
2< br>?
3
AD?BC?
AC
2
AC
2
?3,
等号当且仅当
AD?BC??1
时成立，这时
AB?1,AD?
面ABC，
?DC?3
.
2
11.若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17
上，另外两个顶点在抛物线
y?x
上.
则该正方形面积的 最小值为 .
【答案】80
【解析】设正方形的边AB在直线
y?2x?1 7
上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1
,y
1
)
、
D(x
2
,y
2
)
，则CD所在直线
l
的方程
y?2x?b,
将直线
l
的方程与抛物线方程
联立， 得
x
2
?2x?b?x
1,2
?1?b?1.

令 正方形边长为
a,
则
a?(x
1
?x
2
)?(y< br>1
?y
2
)?5(x
1
?x
2
)?20(b ?1).
①
在
y?2x?17
上任取一点（6，,5），它到直线
y?2x?b
的距离为
a,?a?
②.
①、②联立解得
b
1
?3,b
2
?63.?a?80,
或
a?1280.?a
min
?80.

222
2222
|17?b|
5

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列
{a
n
}
满足：
a
0
?1,a
n?1
?
2
7a
n
?45a
n
?36
2< br>,n?N.

【解析】证明：（1）对任意
n?N,a
n
为正 整数；(2)对任意
n?N,a
n
a
n?1
?1
为完全平方数。
证明：（1）由题设得
a
1
?5,
且
{a< br>n
}
严格单调递增.将条件式变形得
2
22
2a
n? 1
?7a
n
?45a
n
?36,
两边平方整理得
a
n
?7aa?a
?1nn?1n
?9?0
①
22
?a
n
?7a
n?1
a
n
?a
n?1
? 9?0
②
①-②得
(a
n?1
?a
n?1
)( a
n?1
?a
n?1
?7a
n
)?0,a
n?1< br>?a
n
,?a
n?1
?a
n?1
?7a
n< br>?0?

a
n?1
?7a
n
?a
b?1
.
③ < br>由③式及
a
0
?1,a
1
?5
可知，对任意
n?N,a
n
为正整数.

14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上
各有 一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放
法的概率.（注 ：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同
的放法）
【解析】 九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不
同元素在圆周上的一个圆形排 列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
8!
种. …
2
5分
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径 ，对其中任一
条路径，设
x
1
,x
2
,
?
,x
k
是依次排列于这段弧上的小球号码，则
|1?x
1
|?|x
1
?x
2
|???||x
k
?9|?|(1?x
1
)?(x
1
?x
2
)???(x
k
?9)|?|1 ?9|?8.
上式取等号当且仅当
1?x
1
?x
2
???x
k
?9
，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递
增排列.
因此
S
最小
?2?8?16
.
由上知，当每个弧段上的球 号
{1,x
1
,x
2
,?x
k
,9}
确定 之后，达到最小值的排序方案便唯
一确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号 2,3，…，8，将它们分为两个子集，元
0123
素较少的一个子集共有
C
7
?C
7
?C
7
?C
7
?2
6
种 情况，每种情况对应着圆周上使S值达
2
6
1
?.
到最小的唯一排 法，即有利事件总数是
2
种，故所求概率
P?
8!
315
2
6
15.过抛物线
y?x
上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x
轴于D，交
y
轴于
B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足2
AEBF
?
?
1
;点F在线段BC上，满足
?
?
2
，
ECFC
且
?
1
?
?
2
?1
，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

当
x
0
?
11
31131
时，EF方程为：
?y?(
?
2
?
?
1
?3)x??
?
2
,CD
方程为：
x?
，联
22
24424
1
??
x?,
?
2
??
2
?
x?1,?x?.
立解得
?
也在P点轨迹上.因C与A不能重 合，∴
?
0
3
?
y?
1
.
?
?< br>12
?
??
∴所求轨迹方程为
y?
12
(3x?1)
2
(x?).

33
解二：由解一知，AB的方程为
y?2 x?1,B(0,?1),D(,0),
故D是AB的中点.
令
?
?1
2
CDCACB
,t
1
??1?
?
1
,t
2
??1?
?
2
,
则
t
1
?t
2
?3.
因为CD为
?ABC
的中线，
CPCECF
?S
?CAB
?2S
?CAD
?2S
?CBD
.< br>
而
SS
t?t
1CE?CF
S
?CEF
1 1133
???
?CEP
?
?CFP
?(?)?
12
?,?
?
?,
t
1
t
2
CA?CBS
? CAB
2S
?CAD
2S
?CBD
2t
1
?
t
2
?
2t
1
t
2
?
2t
1< br>t
2
?
2
?P
是
?ABC
的重心.

2
设
P(x,y),C(x< br>0
,x
0
),
因点C异于A，则
x
0
?1,
故重心P的坐标为
22
0?1?x
0
1?x
0
? 1?1?x
0
x
0
1
2
x??,(x?),y??,
消去
x
0
,
得
y?(3x?1)
2
.

3
33333
故所求轨迹方程为
y?
12
(3x?1)2
(x?).

33
2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

一、（本题满分50分）
如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC 的外接圆的切线
l
，又以A为圆心，AC为
半径作圆分别交线段AB于D；交直线l
于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。






（2）再证DF过△ABC的一个旁心.
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I
1
，连II
1
、B I
1
、B I，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI
1
=90° =∠EDI
1
，∴D、B、l
1
、I四点共圆，
∵∠BI
l
1
=∠BDI
1
=90°－∠ADI
1

=（
11
∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I
1
共线.
22
I
1
是△ABC的BC边外的旁心

二、（本题满分50分）
设正数
a
、b、c、
x
、y、 z满足
cy?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.


x
2
y
2
z
2
求函数
f(x,y,z)?
的最小值.
??
1?x1?y1?z

cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
??< br>求函数
f(cosA
、
cosB
、
cosC
）=的最 小值.
1?cosA1?cosB1?cosC


令
u?cot A,v?cotB,w?cotC,
则
u,v,w?R
?
,uv?vw?wu ?1,

且
u
2
?1?(u?v)(u?w),v
2
?1?(u?v)(v?w),w
2
?1?(u?w)(v?w).

< br>cos
2
A
??
1?cosA
1?
u
2u
2
?1
u
u
2
?1
u
3
?
u
2
u?1(u?1?u)
u
3
22
?
u
2
(u
2
?1?u)
u?1
2

u
3
11
?u?u??u?(?),

2
2u?vu?w
(u?v)(u?w)
u?1
222
< br>cos
2
Bv
3
11cos
2
Cw
3
11
22
?v?(?),?w?(?).
同理，
1?cosB2u?vu ?w1?cosC2u?wv?w
1u
3
?v
3
v
3
?w
3
u
3
?w
3
1
?f?u?v?w?(?? )?u
2
?v
2
?w
2
?[(u
2
?uv ?v
2
)

2u?vv?wu?w2
222

11
(uv?vw?uw)?.
（取等号当且仅当
u?v?w
，
2211
此时，
a?b?c,x?y?z?),[f(x,y,z)]
min
?.

22
+
(v?vw?w)?(u?uw?w)]?
2222

三、（本题满分50分）

当n为平方数,
?
0
?
对每个正整数n，定义函数
f(n)?
?
1

[]当n不为平方数.
?
{n}
?

（其中[
x
]表示不超过
x
的最大整数，
{x }?x?[x]).
试求：
?
f(k)
的值.
k?1
240
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5
6

n
1
*





n2k
2
*
*




3
*

*



4
*
*

*


5
*





6
*
*
*


*
则
?
f(a)?
??
T(j)?n[T(1)?T(2)]?(n?1)[T(3)?T(4)]?
?
?[T(2 n?1)?T(2n)]

i?1i?1j?1
……②
由此，
?
f(k)?
?
(16?k)[T(2k?1)?T(k)]
……③
k?1k?1
25615
记
a
k
?T(2k?1)?T( 2k),k?1,2,?,15,
易得
a
k
的取值情况如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
k

a
k


3 5
16
n
6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10
因此 ，
?
f(k)?
?
(16?k)a
k?1k?1
15
k
?783
……④

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨


本文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴 趣的
读者参考。
题目：设正数a、b、c、x、y、z满足
cy?bz?a
；
az?cx?b; bx?ay?c
，求
x
2
y
2
z
2
函数
f(x,y,z)?
的 最小值。
??
1?x1?y1?z
一．几种迷茫思路的分析
这道题目初看 起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的
惊喜，殊不知，这是一个极 大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。
思路一：
x
2
y
2
z
2
由Cauchy不等式知
f(x,y,z)????
1?x1?y1?z
(x?y?z)
2
u
2
9
??(记u?x?y?z)?u?3??6

3?x?y?z3?uu?3
到此，在 u＞0的情况下，力图使用函数
f(x)?x?
1
的性质无法得到最小值。
x
思路二：考虑到题目的条件是6个变量的3个等量关系，于是，可根据三个条件等式
容易求出 x、y、z用a、b、c表达的式子：

b2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
-b
2
a
2
?b
2
-c
2
x?; y?; z?

2bc2ca2ab
因为a、b、c；x、y、z都是正数，所以，

a
2
?b
2
?c
2
?0; b
2
?c
2
-a
2
?0; c
2
?a
2
-b
2
?0

到此，似乎胜利 的曙光就在眼前，立刻想到在区间
?
4,
?
内使用函数
f(x)?x ?
的性质，
x
?
2
?
但也无法得到最小值，而此时的最大值 正好与题目的最小值
?
9
?
1
1
（由于函数
2cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
0
f(x,y,z)???
的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=60时
1?cosA1? cosB1?cosC
达到
1
）吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用Cau chy不等式过当！），它是答
2
题人再次陷入不能自拔的困境。
俗话说得好，失败 是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy
不等式，需要再对原式做更好的 更有用的恒等变形，可能是正确的途径。
二．赛题的解答
为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。
引理：在△ABC 中，求证：
tan
2
ABCABC
?tan
2
?tan
2
?2?8s insinsin
①
222222

等号成立的条件是△ABC为等边三角形。
证明：用向量方法证明如下
?
?
??
??
?
?
?
设
i,j,k
是平面上 的单位向量，且
j与k
成角为π-A,
k与i
成角为π-B,
i与 j
成角

?
A
?
B
?
C
2
为π-C,那么，
(itan?jtan?ktan)?0
,所以
222
ABC
?t an
2
?tan
2
222
ABBCCA
?2tantanc osC?2tantancosA?2tantancosB
222222

ABCB CA
?2tantan(1?2sin
2
)?2tantan(1?2sin
2
)?
222222
CAB
?2tantan(1?2sin
2)
222
tan
2
ABBCCA
??
?2
?< br>tantan?tantan?tantan
?
?
222222
??< br>ABC
sinsinsin
ABC
222
?4sinsinsin(? ?)
BCCAAB
222
coscoscoscoscoscos

222222
ABCsinA?sinB?sinC
?2?4sinsinsin?
ABC
222
2?coscoscos
222
ABC
?2?8sin sinsin.
222
注意到，在△ABC 中有熟知的等式：
tan
21世纪教育网

ABBCCA
tan?tantan?tantan?1
.
222222
从而①得证。
有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。
解：同思路二得到，以a、b、c为对应边可以构成一个锐角△ABC，
令
x?cosA,y?cosB,z?cosC,
从而
cos
2< br>Acos
2
Bcos
2
C1?sin
2
A1?sin
2
B1?sin
2
C
f(x,y,z)??????
ABC
1?cosA1?cosB1?cosC
2cos
2
2cos
22cos
2
222
AABBCC
1?4sin
2
cos
2
1?4sin
2
cos
2
1?4sin
2
cos
2
22
?
22
?
22

?
ABC
2cos
2
2cos
2
2cos
2
222
AAAABBBB
sin
2
?cos
2
?4sin
2
cos
2
sin
2
?cos
2
?4sin
2
cos
2
2222
?
2222
?
AB
2cos
2
2cos
2
22

CCCC
?cos
2
?4sin
2
cos
2
2222
?
C
2cos
2
2
31ABCABC
??(tan
2
?tan
2
?tan
2
)?2(s in
2
?sin
2
?sin
2
)
22222222
31ABCABC
??(tan
2
?tan
2
?tan2
)?2(1?2sinsinsin)
22222222

31ABC ABC
??(2?8sinsinsin)?2(1?2sinsinsin)
2222222 2
1
?
2
sin
2
等号成立的条件显然是A=B=C=60 时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。
0

1
x
2
y
2
z
2
所以，
f(x,y,z)?
的最小值为. ??
2
1?x1?y1?z
显然，在
?A??B??C?60
时 ，等号成立，所以
f(x,y,z)
的最小值为
三．背景探索
早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题：
0
1
. 2
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C1
???
在△ABC中，是否有： ②
222222
2
sinB?sinC sinC?sinAsinA?sinB
后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文[1 ]曾证明了这一猜想。
请看证明：分两种情况
（1）当△ABC为钝角三角形时，此时不妨设A＞90， 于是
a?b?c
，
0
222
所以
sinA?sinB?sinC?2?cosB?cosC
,∴
cosB?cosC?1?cosA

22222
222
sinA
＞
sinC
，所以， 再据
sinA
＞
sinB ,
cos
2
Ac os
2
Bcos
2
C
??
sin
2
B?s in
2
Csin
2
C?sin
2
Asin
2
A?sin
2
B
cos
2
Acos
2
C
??
sin
2
B?sin
2
Csin
2
A?sin
2
B
cos
2
Acos
2
C
??
22
sinA?sinCsin
2
A?sin
2
B
cos< br>2
B?cos
2
C1
??
2
2sinA2

即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。
对比③之后的叙述与今年的这道竞赛 加试第2题的解法，不难知道，今年的这道赛题
无非是在②的第2种情况的基础上增加了一个解方程组的 程序（并由此判断△ABC为锐角
三角形）罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识 的要求），判断三
角形种类、与求最值（高中知识的要求）三个问题的简单合成（串联）。
顺便指出，①的证明曾经是上世纪1990年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结
论。
四．条件等式的几何解释