2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分
标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理 、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其 他中间档次．
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
x
?
99
?
?
f
1． 若函数
f
?
x
?
?
且
f
(n)
?
x
??f
?
，则
fffx
??
?
1
?
?< br> ．
??
?
??
?
2
1?x
n
1
【答案】
10
【解析】
f
?
1
?
?
x
?
?f
?
x
?
?
f
?
2
?
x
1?x
2
，
x
?
x
?
?f
?
?
f
?
x
?
?
?
?
?
x
?
?
x
2
1?2x
2< br>
……
1?99x
1
故
f
?
99
?
?
1
?
?
．
10
f
?
99
?
．

2． 已知直线< br>L:x?y?9?0
和圆
M:2x
2
?2y
2
?8x ?8y?1?0
，点
A
在直线
L
上，
B
，
C
为圆
M
上两点，
在
?ABC
中，
?BAC?45 ?
，
AB
过圆心
M
，则点
A
横坐标范围为 ．
【答案】
?
3，6
?

9?a
?
， 则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin45?
，【解析 】 设
A
?
a，
由直线
AC
与圆
M
相交， 得
d≤
34
．
2
解得
3≤a≤6
．

?
y≥0
?
3． 在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，
M
为
?
y≤x
，
N
是随
t变化的区域，它由不等式
t≤x≤t?1
?
y≤2?x
?
所确定 ，
t
的取值范围是
0≤t≤1
，则
M
和
N
的公共面积是函数
f
?
t
?
?
．
1

2
【解析】 由题意知
【答案】
?t
2< br>?t?
f
?
t
?
?S
阴影部分面积

y

?S
?AOB
?S
?OC
?
D
S
?

B
C
11
2
E

?1?t
2
?
?
1?t
?

22
F
B
x
O
D
1
2

??t?t?

2

1111
4． 使不等式
?? ??a?2007
对一切正整数
n
都成立的最小正整数
a
的值为 ．
n?1n?22n?13
【答案】
2009

1111
【解析】 设
f
?
n
?
?
．显然
f
?
n
?
单调递减，则由
f
?
n
?
的最大值
f
?
1
?
?a?2007
，可
???
n?1n?22n?13
得
a?2009
．

A

x
2
y
2
5． 椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
，
Q
，若< br>OP?OQ
，则乘积
OP?OQ
的最小值为 ．
ab
22
2ab
【答案】
22

a?b
【解析】 设
P
?
OPcos
?
，OPsin
?
?
，
?
π
?
π
?
?
??
Q
?
OQcos
?
?
?
?
，OQsin
?
?
?
?
?
．
2
?
2
?
?
??
?
由
P
，
Q
在椭圆上，有
cos
2
?
sin
2
?
??
2
①
2
a
2
b
OP
1
sin
2
?
cos
2
?
??
②
2
a
2
b
2
OQ
1
①+②
得
1111
???
．
22
a
2
b
2
OPOQ
2a
2
b
2
2a
2
b
2
于是当
OP?OQ?
时，
OPOQ
达到最小值
22
．
a
2
?b
2
a?b

6． 若方程
lgk x?2lg
?
x?1
?
仅有一个实根，那么
k
的取值范围是 ．
【答案】
k?0
或
k?4

?
kx?0
?
?
【解析】
?
x?1?0
?
2
kx?x?1
??
?
?
当且仅当

kx?0


x?1?0

x
2
?
?
2?k
?
x?1?0

①
②
③
对③由求根公式得
1
x
1
，
x
2
?
?
k?2?k
2
?4k
?
④
?
2
?
??k
2
?4k≥0?k≤0
或
k≥4
．
(ⅰ)当
k?0
时，由③得
?
x
1
?x
2
?k?2?0

?
xx?1?0
?
12
所以
x
1
，
x
2同为负根．
?
x
1
?1?0
又由④知
?

x?1?0
?
2
所以原方程有一个解
x
1
．
k
?1?1
．
2
?
x
1
?x
2
?k?2?0
(ⅲ)当
k?4
时，由③得
?

xx ?1?0
?
12
(ⅱ)当
k?4
时，原方程有一个解
x?< br>所以
x
1
，
x
2
同为正根，且
x
1
?x
2
，不合题意，舍去．
综上可得
k?0
或
k?4
为所求．

7． 一个 由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行

仅有一个数，第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数
表示）
【答案】
101?2
98

【解析】 易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d
1
?1
，
d
2
?2
，
d
3
?2
2
，…，
d
99
?2
98

(ⅲ)
a
100
为所求．
设第
n
?
n≥2
?
行的第一个数为
a
n
，则

a< br>n
?a
n?1
?a
n?1
?2
n?2
?2a
n?1
?2
n?2

n?3n?2
?2
?
?
2a
n?2
?2
?
?
?2

n?4n?2n?2
?

?2
2
?
2a?2?2? 2?2
n?3
??
??
?2
3
a
n?3
? 3?2
n?2

……
?2
n?1
a
1
?
?
n?1
?
?2
n?2

?
?
n?1
?
2
n?2

故
a
100
?101?2
98
．

8． 某车站每天
8∶00~9∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站 ，但到站的时刻是随机的，且两者到站
的时间是相互独立的，其规律为
8∶10

8∶30

8∶50

到站时刻
9∶10

9∶30

9∶50

11
1

概率
62
3
一旅客
8
．
∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间（分）
概率
10 30 50 70 90
1

2
1

3
11
?

66
11
?

26
11
?

36
候车时间的数学期望为
11111
10??30??50??70??90??27

23361218

二、解答题
x
2
y
2
1． （本小题满分14分）设直线
l:y?kx ?m
（其中
k
，
m
为整数）与椭圆
??1
交于不同 两点
A
，
1612
x
2
y
2
B
， 与双曲线
??1
交于不同两点
C
，
D
，问是否存在直线l
，使得向量
AC?BD?0
，若存在，
412
指出这样的直线 有多少条？若不存在，请说明理由．
?
y?kx?m
?
【解析】 由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
??1
?
?
1612
?
3?4k
?
x
2 2
?8kmx?4m
2
?48?0

设
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
x
2，y
2
?
，则
x
1
?x
2
??
8km

3?4k
2
2
?
1
?
?
8km
?
?4
?
3?4k
2
??
4m
2
?48
?
?0
① ………………………………………………4分

?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
消去
y
化简整理得
??1
?
?412
?
3?k
?
x
22
?2kmx?m
2
?12?0

2km

2
3?k
m
2
?12?0
② ………………………………………………8分
设
C
?
x
3< br>，y
4
?
，
D
?
x
4
，y
4
?
，则
x
3
?x
4
?
?
2?
?
?2km
?
?4
?
3?k
2
??
2
?
因为
AC?BD?0
，所以
?
x
4< br>?x
2
?
?
?
x
3
?x
1
?
?0
，此时
?
y
4
?y
2
?
?
?
y
3
?y
1
?
?0
．由
x1
?x
2
?x
3
?x
4
得
?
8km2km
．
?
3?4k
2
3?k
2
所以
2km?0
或
?
41
．由上式解得
k?0< br>或
m?0
．当
k?0
时，由①和②得
?
3?4k2
3?k
2
?23?m?23
．因
m
是整数，所以m
的值为
?3
，
?2
，
?1
，
0，
1
，
2
，
3
．当
m?0
，由①和②
得
?3?k?3
．因
k
是整数，所以
k??1
，< br>0
，
1
．于是满足条件的直线共有9条．………14分

2． （本小题15分）已知
p
，
q
?
q?0
?< br>是实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，< br>?
，数列
?
a
n
?
满足
4，
a1
?p
，
a
2
?p
2
?q
，
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n?3，
?

(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式（用?
，
?
表示）；
1
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
，求
?
a
n
?
的前
n
项和．
4
【解析】 方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
，又
?
?
?
?p
，所以
a
n
?px
n?1
?qx
n?2
?
?
?
??
?
a
n?1
?
??
a
n?2
，?
n?3，4，5，
?

整理得
a
n
?
?
a
n?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n?2
?

2，
令
b
n
?a
n?1
?
?
a
n
，则
b
n?1
?
?
b
n
?
n?1，
?
．所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列．
数列
?
b
n
?
的首项为：
b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
． 2
2，
所以
b
n
?
?
2
?
?
n?1
?
?
n?1
，即
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，
?
．所以
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
．
2，
?
变为①当??p
2
?4q?0
时，
?
?
?
?0
，
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
，< br>a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1?
n?1，
2，
a
n?1
?
?
a
n< br>?
?
n?1
?
n?1，
?
．整理得，
a1
a
n?1
?
?
n?1
a
n
?
n
2，
?1
，
?
n?1，
?
．所以，数列
?
?
a
n
?
成
n
?
?
??公差为
1
的等差数列，其首项为
?
?
2
?
?< br>?2
．所以
a
n
?
n
?2?1
?
n?1
?
?n?1
．
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n< br>?
?
n?1
?
?
n
；…………………………………… ………………………………………5分
②当
??p
2
?4q?0
时 ，
?
?
?
，

a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1

?
?
?
n?1
?
?
a
n
?
?

?
?< br>?
?
?
a
n
?
?
?
?
?< br>?
n?1
?
?
?
?
?
2，
?
n?1
?
n?1，
?
．
整理得

?
?
n?2
?
n?1
?
2，
a
n ?1
??
?
?
a
n
?
?
，
?n?1，
?
?
??
?
?
??
?
． < br>?
?
n?1
?
?
2
?
2
?
2
所以，数列
?
a
n
?
．所
?
?
?
?
??
?
成公比为
?
的等比数列，其首项为
a< br>1
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
?
??
?
n?1
?
2
n?1
以
a
n
??
?
．
?
?
??
?< br>?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
．……………………… ………………………10分
?
?
?
11
(Ⅱ)若
p?1< br>，
q?
，则
??p
2
?4q?0
，此时
?< br>?
?
?
．由第(Ⅰ)步的结果得，数列
?
a
n
?
的通项公
42
?
1
?
n?1
式为
a< br>n
?
?
n?1
?
??
?
n
，所以，
?
a
n
?
的前
n
项和为
2
?< br>2
?
234nn?1
s
n
??
2
?
3
??
n?1
?
n

22222
1234nn?1

s
n
?
2
?
3
?
4
???
22222n2
n?1
13n?3
以上两式相减，整理得
s
n
??
n?1

222< br>n?3
所以
s
n
?3?
n
．…………………………… ………………………………………………15分
2
n
方法二：
(Ⅰ)由韦 达定理知
?
?
?
?q?0
，又
?
?
??p
，所以
a
1
?
?
?
?
，
a
2
?
?
2
?
?
2
?
??．
特征方程
?
2
?p
?
?q?0
的两个根为
?
，
?
．
2，
①当
?
?
??0
时，通项
a
n
?
?
A
1
?A2
n
?
?
n
?
n?1，
?
由
a
1
?2
?
，
a
2
?3
?
2得
?
?
?
A
1
?A
2
?
?
?2
?

?
22
?
?
?
A
1
?2A
2
?
?
?3
?
解得
A
1
?A
2
?1
．故
a
n
?
?
1?n
?
?
n
．………………………………………… …………5分
2，
②当
?
?
?
时，通项
a
n
?A
1
?
n
?A
2
?
n
?< br>n?1，
?
．由
a
1
?
?
?
?，
a
2
?
?
2
?
?
2
???
得
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?

?

2222
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
解得
A
1
?
，
A
2
?
．故
?< br>?
?
?
?
?
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1
??

a
n
?
．…………………………………………………………10分
?
?
??
?
?
?
??
(Ⅱ)同方法一．

3． （本小题满分15分）求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值．
13
?
.因为 【解析】 函数的定义域为
?
0，
y?x? x?27?13?x?x?27?13?2x
?
13?x
?


≥27?13


?33?13

当
x?0
时等号成立．故
y
的最小 值为
33?13
．……………………………………………5分
又由柯西不等式得
y
2
?
?
x?x?27?13?x
?
2

1
??
1

≤
?
?1?
?
?< br>2x?
?
x?27
?
?3
?
13?x
??
?121

3
??
2
所以
y≤11
． ………………………………………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条 件，得
4x?9
?
13?x
?
?x?27
，解得
x ?9
．故当
x?9
时等号成立．因此
y
的最大值为
11．…………………………………………………………………………………15分
2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次评分，10分为一个档次，不 要增加其他中间档次．
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
9． 如图，< br>M
，
N
分别为锐角三角形
?ABC
（
?A??B）的外接圆
?
上弧
BC
、
AC
的中点．过点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点，
I
为
?ABC
的内心，连接
PI
并延长交圆
?
于
T< br>．
⑴求证：
MP?MT?NP?NT
；
⑵在弧
AB
（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠A
，
T
，
B
），记
?AQC
，
△QCB
的内心分别为
I
1
，
I
2
，
P
N
I
T
A
Q
C
M
B
求证：
Q
，
I
1，
I
2
，
T
四点共圆．


【解析】 ⑴连
NI
，
MI
．由于
PC∥MN
，< br>P
，
C
，
M
，
N
共圆，故
PCMN
是等腰梯形．因此
NP?MC
，
PM?NC
．
P
N
I
T
A
C
M
B

连
AM
，
CI
，则
AM
与
CI
交于
I
，因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI
，
所以
MC?MI
．同理
NC?NI
．
于是
NP?MI
，
PM?NI
．
故四边形
MPNI
为 平行四边形．因此
S
△PMT
?S
△PNT
（同底，等高）． 又
P
，
N
，
T
，
M
四点共圆，故?TNP??PMT?180?
，由三角形面积公式
1
S
△PMT
?PM?MTsin?PMT

2

1

?S
△PNT
?PN?NTsin?PNT

2
1

?PN?NT

Tsin?PM
2
于是
PM?MT?PN?NT
．
⑵因为
?NCI
1
??NCA??ACI
1
??NQC??QCI
1
??CI
1
N
，
P
N
I
I
2
I
1
A
T
Q
C
M
B

N TMT
所以
NC?NI
1
，同理
MC?MI
2
．由
MP?MT?NP?NT
得．
?
MPNP
由⑴所证
MP?NC
，
NP?MC
，故
NTMT
．
?
NI
1
MI
2
又因
?I
1
NT??QNT??QMT??I
2
MT
，
有
?I
1
NT∽?I
2
MT
．
故
?NTI
1
??MTI
2
，从而
?I
1
QI
2
??NQM??NTM??I
1
TI
2
．
因此
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．
10． 求证不等式：
1
?
n
k
?
?1?
?
?
2
?lnn≤
，
n?1
，2 ，…
?
2
?
k?1
k?1
?
【解析】 证明：首先证明一个不等式：
x
⑴
?ln(1?x)?x
，
x?0
．
1?x
事实上，令
h(x)?x?ln(1?x)
，
g(x)?ln(1?x)?
x
．
1?x
则对
x?0
，
11x
1
???0
．
h
?
(x)?1??0，
g
?
(x)?
22
1?x(1?x)(1?x)
1? x
于是
h(x)?h(0)?0
，
g(x)?g(0)?0
．
1
在⑴中取
x?
得
n
1
?
1
?
1
?ln
?
1?
?
?
． ⑵
n?1
?
n
?
n
令
x
n
?
?
k
1
?lnn
，则，
x?
1
2
k?1
2
k?1
n

n1
??
?ln1?
??

n
2
?1
?
n?1
?
n1

?
2
?

n?1n
1

??
2
?0

(n?1)n
1
因此
x
n
?x
n?1
??x
1
?
．
2
又因为
x
n
?x
n?1
?

lnn?(lnn?ln(n?1))?(ln(n?1)?ln(n?2))?
从而
n?1
k
?
1
?
x
n
?
?
2
?
?
ln
?
1?
?

?
k
?
k?1
k?1
k?1
n
?
1
??(ln2?ln1)?ln1?
?
ln
?
1?
?
．
?
k
?
k?1
n?1
n?1
?kn
1?
?
1
?
?
?
k
?ln
?
1 ?
?
?
?
2

?
?
?
2
?
?
?
2
?
?

?
k
?
?
n?1
k?1
?
k?1k
?
k?1< br>?
k?1
n?1n?1
11
≥?
?

??
?
2

(k?1)k(k?1)k
k?1k?1
1

??1???1
．
n
11． 设
k
，
l
是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数
m≥k
，使得
C
k
m
与
l
互素．
n?1
【解析】 证法一：对任意正整数
t< br>，令
m?k?t?l?(k!)
．我们证明
C
k
l?1
．
m
，
C
k
设
p
是
l
的任一 素因子，只要证明：
p?
m
．
??
若
p?k!
，则由
k!C?
?
(m?k?i)

k
m
i?1
k
k
i?tl(k!

)]

?
?
[(
i?1
k

?
?
i

i?1

?k!modp
?
?1
．
?
?1
k!
， 知
p
?
|
k
!C
k
?
k!C
k< br>C
k
及
p
?
|k!
，且
p
?
?1
?
m
且
p
m
．从而
p?< br>m
．
??
证法二：对任意正整数
t
，令< br>m?k?t?l?(k!)
2
，我们证明
C
k
l?1
．
m
，
C
k
设
p
是
l
的任一素因子，只要证明：
p?
m
．
??
若
p?k!
，则由
k!C?
?
(m?k?i)

k
m
i?1
k
k
i?tl(k
2
!)

]

?
?
[(
i?1
k

?
?
i

i?1
p
?
．
?k!
?
mod
C
k
即
p
不整除上式，故
p?
m
．
k!
．
p
?
?1
|(k!)
2
．故由 若
p|k!
，设
?
≥1
使
p
?
|k!，但
p
?
?1
?
k?1
i?1
k!C?
?
(m?k?i)

k
m

?
?
[(i?tl(k
2
!)

]
i?1
k
k

?
?
i

i?1

?k!modp
?
?1

?
?1
k!
，知
p
?
|
k
!C< br>k
?
k!C
k
C
k
及
p< br>?
|k!
，且
p
?
?1
?
m
且p
m
．从而
p?
m
．
12． 在非负数构成的
3?9
数表
x
7
?
x
?
x
11
x
12
x
13
x
14
x
1
x
51
x
611
??
x
22
x
2 3
x
24
x
25
x
2
x

P?
?
x
2162
x
7
?

x< br>2829
?
xxxxxxxx
?
x
?
337
?
3839
中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，
x17
?x
28
?x
39
?0
，
x
27
，
x
37
，
x
18
，
x
38，
x
19
，
??
x
29
均大于．如果
P
的前三列构成的数表
?
x
11
x
12
x
13
?
??

S?
?
x
21
x
22
x
23
?

?
xxx
?
?
313233
?
?
x
1k
?
??
3
?
满足下面的性质
(O)
：对于数表
P
中的 任意一列
?
x
2k
?
（
k?1
，2，…，9）均存 在某个
i?
?
1，2，
?
x
?
?
3k?
使得
⑶
x
ik
≤u
i
?min
?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
．
求证：
（ⅰ）最小值
u
i
?min
?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
，
i?1
，2， 3一定自数表
S
的不同列．
?
x
1k
*
?
??
（ⅱ）存在数表
P
中唯一的一列
?
x
2k
*
?
，
k
*
≠1
，2，3使得
3?3
数表
?
?
x
?
?
?
3k
*
?
?
x
11
x
12
x
1k
*
?
??
?
S?
?
x
21
x
22
x
2k< br>*
?

?
?
x
31
x
32
x
?
?
3k
*
??
仍然具有性质
(O)
．
【解析】 （ⅰ）假设最小值
u
i
?min
?
x
i 1
，x
i2
，x
i3
?
，
i?1
，2，3 不是取自数表
S
的不同列．则存在一列不含
任何
u
i
．不妨 设
u
i
≠x
i2
，
i?1
，2，3．由于数表P
中同一行中的任何两个元素都不等，于是
u
i
?x
i2
，
3
?
使得
i?1
，2，3．另一方面，由于数表
S具有性质
(O)
，在⑶中取
k?2
，则存在某个
i
0< br>?
?
1，2，
x
i
0
2
≤u
i0
．矛盾．
（ⅱ）由抽届原理知
min
?
x
11
，x
12
?
，
min
?
x
21
，x
22
?
，
min
?
x
31
，x
32
?

中至少有两个值取在同一列．不妨设

min
?
x21
，x
22
?
?x
22
，
min
?
x
31
，x
32
?
?x
32
．
由前面的结论知数表
S
的第一列一定含有某个
u
i
，所以只能是x
11
?u
1
．同样，第二列中也必含某
个
u
i
，
i?1
，2．不妨设
x
22
?u
2
． 于是
u
3
?x
33
，即
u
i
是数表
S
中的对角线上数字．
?
x
11
x
12
x13
?
??

S?
?
x
2 1
x
22
x
23
?

?
xxx
?
?
313233
?
9
?
，令集合 记
M?
?
1，2，，
i?1，3
?
．
I?
?
k?M|x
ik
?min
?
x
i1
，x
i2
?
，

显然
I?
?
k?M|x
1k
?x11
，x
3k
?x
32
?
且1，2
3?I．因为
x
18
，
x
38
?1≥x
11
，
x
32
，所以
8?I
．
故
I≠?
．于是存在
k
*
?I
使得
x
2k
*
?max
?
x
2k
|k?I
?
．显然，
k
*
≠1
，2，3．
下面证明
3?3
数表
?
x
11
x
12
x
1k
*
?
??

S
?
?
?
x
21
x
22
x
2k
*
?< br>
?
?
x
31
x
32
x
?
?
3k
*
??
具有性质
(O)
．
从上面的选法可知
u
i
?
:?minx
i1
，x
i2
，x
ik
*
?min
?
x
i1
，x
i2
?
，
(i?1，3)
．这说明

x
1k
*
?min
?
x11
，x
12
?
≥u
1
，
x
3k*
?min
?
x
31
，x
32
?
≥u
3
．
??
?
?minx
21
，x
22< br>，x
2k
*
?x
2k
*
．下证 又由
S
满足性质
(O)
．在⑶中取
k?k
*
，推得
x
2k
*
≤u
2
，于是
u
2
对任 意的
k?M
，存在某个
i?1
，2，3使得
u
i
?
≥x
ik
．假若不然，则
x
ik
?min
?
x
i1
，x
i2
?
，
i?1
，3
且x
2k
?x
2k
*
．这与
x
2k
*< br>的最大性矛盾．因此，数表
S
?
满足性质
(O)
．
下证唯一性．设有
k?M
使得数表
?
x
11
x
1 2
x
1k
?
??

S?
?< br>x
21
x
22
x
2k
?

?
xxx
?
?
31323k
?
??
具有性质
(O)
，不失一般性，我们假定
x
1
，

u
1
?min
?
x
1
，
?
1?
312
x
x
3
，

u
3
?min
?
x
3
，
?
3
?
312
x
x

x

11
⑷
u
2
?min
?
x
21
，x
22
，x
23
?
?x
22

33

x
32
?x
3
．
1

由于
x
32
?x
31
，
x
22
?x
21
及（ⅰ），有
u
1
?min
?
x
11
，x
12
，x
1k
?
?x
11
．又由（ⅰ）知： 或者
(a)
u
3
?min
?
x
31
，x< br>32
，x
3k
?
?x
3k
，或者
(b)u< br>2
?min
?
x
21
，x
22
，x
2k
?
?x
2k
．
如果
(a)
成立，由数表
S
具有性质
(O)
，则
x
?
1
?

u
1
?min
?
x
11
，x
1
，
2k
x，
1

1
⑸
u
2
?m in
?
x
21
，x
22
，x
2k
?
?x
22
，

u
3
?min
?
x
31
，x
3
，
2
x
k
?
3
?x
k
．
3

3
?
使得< br>u
i
≥x
ik
*
．由
k
*
?I及⑷和 由数表
S
满足性质
(O)
，则对于
3?M
至少存在一个
i?
?
1，2，
⑹式知，
x
1k
*
?x
11
?u
1
，
x
3k
*
?x
32
?u
3
．于是只能有
x
2k
*
≤u
2
?x
2k
．类似地，由
S
?
满足性 质
(O)
及
?
?x
2k
*
．从而
k
*
?k
．
k?M
可推得
x
2k
≤u
2