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高中数学竞赛基本公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-17 19:56
tags:高中数学联赛

高中数学压轴题 毕业论文-高中数学必修3中中华传统美德



高中数学竞赛基本知识
一、三角函数
常用公式
由于是 讲竞赛,这里就不再重复过于基础的东西,例如六种三角函数之间的转换,两角和与
差的三角函数,二倍 角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多,有些还是不能
不写。先从最基础的开始(这些必 须熟练掌握):
半角公式
sin
?
2
??
1?cos
?

2
1?cos
?

2
1?cos
?
1?cos
?
sin
?

??
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
cos
?
2
??
tan
?
2
??
积化和差
sin
?
cos
?
?
1
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?< br>?
?

2
1
cos
?
sin
??
?
sin
?
?
?
?
?
?sin?
?
?
?
?
?

2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?< br>?
?
?cos
?
?
?
?
?
?

2
1
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?

2
和差化积
sin
??sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?
??
?
?
sin
?
?sin
?
?2co ssin

22
?
?
??
?
?
cos?
?cos
?
?2coscos

22
?
?< br>??
?
?
cos
?
?cos
?
??2sin sin

22
万能公式
cos
?
?
?

sin2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
1?tan
2
?
cos2
?
?

2
1?tan
?
tan2
?
?
2tan
?

1?tan
2
?
1

三倍角公式



sin3
?
?3sin
?
?4sin3
?
?4sin60
?
?
?
sin
?
sin60
?
?
?

cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos60
?
?
?
cos
?
cos60
?
?
?

二、某些特殊角的三角函数值
除了课本中的以外,还有一些
sin cos tan
????
????
15
?

6?2

4
6?2

4
5?1

4


6?2

4
6?2

4
2?3

75
?

2?3


18
?

72

?
5?1

4


三、三角函数求值
给出一个复杂的式子,要求化简。这样的题目经常考,而且一般化出来都是 一个具体值。要
熟练应用上面的常用式子,个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的,如果看到一 些
不常用的角,应当考虑用和差化积、积化和差,一般情况下直接使用不了的时候,可以考虑
先 乘一个三角函数,然后利用积化和差化简,最后再把这个三角函数除下去
举个例子
2
?
4
?
6
?
?cos?cos

777
2
?
提示:乘以
2sin
,化简后再除下去。 7
求值:
cos
求值:
cos10??cos50??sin40?si n80?


来个复杂的
设n为正整数,求证
22
?sin
i?1
n
i
?
2n?1

?
2n?12n
另外这个题目也可以用复数的知识来解决,在复数的那一章节里再讲

四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是:x为锐角,则
sinx?x ?tanx
;还有就是正余弦的有界性。

求证:x为锐角,sinx+tanx<2x

2




x?y?z?
?
12
,且
x? y?z?
?
2
,求乘积
cosxsinycosz
的最大值和最小值 。
注:这个题目比较难
数列
关于数列的知识可以说怎么学怎么有,还好我们只是 来了解竞赛中最基本的一些东西,不然
我可写不完了。?

1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法
注:以下各种情况只需掌握方法即可,没有必要记住结果,否 则数学就变成无意义的机械劳
动了。

a
n?1
?pa
n
?q

若p=1,则显然是以a
1
为首项,q为公差的等差数列,
若p≠1,则两 边同时加上
q
q
,变为
a
n?1
??
p?1
p?1
?
q
?
p
?
a?
?
n
p ?1
?
?

??
显然是以
a
1
?
q
为首项,p为公比的等比数列
p?1

a
n?1
?pa
n
?f
?
n
?
,其中f(n)不是常数
若p=1 ,则显然a
n
=a
1
+
?
f
?
i
?
,n≥2
i?1
n?1
若p≠1,则两边同时除以p
n+1,变形为
a
n?1
a
n
f
?
n
?
??
n?1nn?1
ppp
n?1
a
n
a< br>1
n?1
f
?
i
?
f
?
i
?
?
n?1
?
利用叠加法易得
n
??
?
i ?1
,从而
a
n
?p
?
a
1
?
?
i
?

p
i?1
pp
i?1
p
? ?
注:还有一些递推公式也可以用一般方法解决,但是其他情况我们一般使用其他更方便的方
法 ,下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法
当f(x)=x时,x的取值称为不动点,不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子:
a
n?1
?
a?a
n
?b
< br>c?a
n
?d
注:我感觉一般非用不动点不可的也就这个了,所以记住它的解法 就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以,只是又要待定系数,又要求倒数之类的,太复
杂,如果用不动点的方法,此题就很容易了

x?
a?x?b
2< br>,即
cx?
?
d?a
?
x?b?0

c?x?d
令此方程的两个根为x
1
,x
2

3



若x
1
=x
2
则有
11
??p

a
n?1
?x
1
a
n
?x
1
其中k可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解。
注:如果有能力,可以将p的表达式记住,p=
若x
1
≠x
2
则有
2c

a?d
a
n?1
?x
1
a?x
1

?q?
n
a
n?1
?x
2
a
n
?x2
其中k可以用待定系数法求解,然后再利用等比数列通项公式求解。
注:如果有能力,可以将q的表达式记住,q=
a?cx
1

a?cx
2
(3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子,通过这个来学会使用特征方程。

a
n?2
?pa
n?1
?qa
n

特征方程为x
2
=px+q,令其两根为x
1
,x
2 nn
则其通项公式为
a
n
?A?x
1
,A、B用待定系 数法求得。
?B?x
2

a
n?3
?pa
n?2
?qa
n?1
?ra
n

特征方程为x
3
=px
2
+qx+r,令其三根为x
1
,x
2
,x
3

nnn
则其通项公式为
a
n
?A?x
1
,A、B、C用待定系数法求得。
?B?x
2
?C?x
3
注:通 过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法,可以试着写出对
于一般线性递归式的 特征方程和通项公式,鉴于3次以上的方程求解比较困难,且竞赛中也
不多见,我们仅需掌握这两种就够 了。
(4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。 这样的题虽说有不少但
是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法,因此这里不详 细说了。
但需要记得有这样一个方法,适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西,看看下面的例子
a
n?1
?
2a
n

2
1?a
n
看起来似乎摸不着头脑,只需联系正切二倍角公式,马上就迎刃而解。
注:这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟,这样的题目竞赛书中能见到很多。

4



数列
?
a
n
?< br>定义如下:
a
1
?
2
,求
?
a
n< br>?
通项
2

a
n?1
?2?4?a
n注:这个不太好看出来,试试大胆的猜想,然后去验证。
(6)迭代法
先了解迭代的含义
f
0
?
x
?
?x,f
1
?
x
?
?f
?
x
?
,f
2?
x
?
?f
?
f
?
x
??
, f
3
?
x
?
?f
?
f
?
f
?
x
???
,??

f右上角的数字叫做迭代指数,其中
f
再来了解复合的表示
?n
?
x
?
是表示
f
n
?
x
?
的反函数
f?g
?
x
?
?f
?
g
?
x??

f?g?h
?
x
?
?f
?
g< br>?
h
?
x
???

如果设
F
?x
?
?g
?1
?f?g
?
x
?
,则< br>F
n
?
x
?
?g
?1
?
f
n
?
g
?
x
?
,就可以将求F(x)的迭代转变为
求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成
a
n?1
?F
?
a
n
?
,因此求通项和求 函数迭代就是一样的了。
我们尽量找到好的g(x),以便让f(x)变得足够简单,这样求f(x) 的n次迭代就很容易得到了。
从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。

练习
?
a
n
?
满足a
1
?1,a
2
?2,a
2n?1
?已知数列
a
2n
?a
2n ?1
,a
2n?2
?a
2n?1
a
2n
,试求数列 的
2
通项公式。
注:此题比较综合,需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。

下面是我的一个原创题目
已知数列
?
a
n
?< br>满足
a
1
?0,a
2
?1

a
n? 1
?n?
?
a
n
?a
n?1
?
,求该数列 的通项公式。

2数列求和
求和的方法很多,像裂项求和,错位相减等等,这些知 识就算单纯应付高考也应该都掌握了,
这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔(Abel)恒等式
有多种形式,最一般的是
?
ab?
?
S
?
b
kkk
k?1k?1
nn?1
k
? b
k?1
?
?S
n
b
n

其中
S
k
?
?
a
i?1
k
k

注:个人 认为,掌握这一个就够了,当然还有更为一般的形式,但是不容易记,也不常用。
Abel恒等式就是给 出了一个新的求和方法。很多时候能简化不少。
5




例:假设
a
1
?a
2
???a
n
?0,且
?
a?1
,求证:
?
2
i
i?1i?1< br>nn
a
i
i?i?1
?1

计数问题
1抽屉原则
我第一次接触抽屉原则,是在一本奥赛书的答案上,有一步骤是:由抽屉原则可得 ??,于
是我就问同学,什么是抽屉原则,同学告诉我,三个苹果放进两个抽屉,必有一个抽屉里至少有两个苹果。后来才发现,抽屉原则不只是这么简单的,它有着广泛的应用以及许多种不
同的变形 ,下面简单介绍一下抽屉原则。
抽屉原则的常见形式
一,把n+k(k≥1)个物体以任意 方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两
个物体。
二,把mn+k(k≥1) 个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有
m+1个物体。
三,把m
1
+m
2
+…+m
n
+k(k≥1)个物体以任意方式全部 放入n个抽屉中,那么后在一个抽
屉里至少放入了m
1
+1个物体,或在第二个抽屉里 至少放入了m
2
+1个物体,??,或在第
n个抽屉里至少放入了m
n
+1个物体
四,把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,有两种情况:①当n|m时(n|m表 示n
整除m),一定存在一个抽屉中至少放入了
个抽屉中至少放入了[
m
个物 体;②当n不能整除m时,一定存在一
n
m
]+1个物体([x]表示不超过x的最大 整数)
n
五,把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素。
注: 背下来上面的几种形式没有必要,但应当清楚这些形式虽然不同,却都表示的一个意思。
理解它们的含义 最重要。在各种竞赛题中,往往抽屉原则考得不少,但一般不会很明显的让
人看出来,构造抽屉才是抽屉 原则中最难的东西。一般来说,题目中一旦出现了“总有”“至
少有”“总存在”之类的词,就暗示着我 们:要构造抽屉了。
例:
从自然数1,2,3,?99,100这100个数中随意取出5 1个数来,求证:其中一定有两个数,
它们中的一个是另一个的倍数.
用2种颜色涂5×5共25个小方格,证明:必有一个四角同色的矩形出现.
2容斥原理 < br>容斥原理常常使用,其实说简单点,就是从多的往下减,减过头了在加回来,又加多了再减,
减多 了再加??,最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目,我们常常采用容斥
原理,去掉重复的 情况。
容斥原理基本形式:
6



A
1
?A
2
??A
n
?
?
|A
i
| ?
i?1
n
1?i?j?n
?
A?A
ij
?
1?i?j?k?n
?
A?A
ij
?A
k
???
?
?1
?
n?1
A
1
?A
2
??A
n

其中|A|表示集合A中元素的个数。
例:
在不大于2004的正整数中,至少可被3,5,7之一整除?
由数字1,2,3,4,5组 成的n位数,要求n位数中这五个数字每个至少出现一次,求所有
这种n位数的个数。
3递推方法
许多竞赛题目正面计算十分困难,于是我们避开正面计算,先考虑n-1时的情况 ,在计算n
时的情况比n-1时的情况增添了多少,然后写出一个递推式,这样就可以利用数列的知识进
行解决,但一般要求根据递推式求通项的能力要比较强,是和擅长数列的同学使用。没什么
具体 解释,多多练习吧

设m为大于1的正整数,数列{a
n
}满足:a1
+a
2
+??+a
n
模m余0,0i
< m(i=1,2??n)。
试求满足上述条件的不同数列{a
n
}的个数。
4映射计数
个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种,常常能将复杂至极的问题简单 化,变成
人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的,要求有大量的习题积累,才能形成建立映射的能力。
明确概念:对于y=f(x)
单射:不同的x对应不同的y,即|x|≤|y|
满射:每个y至少有一个x映射,即|x|≥|y|
双射:即是单射又是满射,即|x|=|y|
倍数映射:|x|=m|y|
m?N,m?1

注:双射即通常说的一一映射,有的人将双射理解为m=2的倍数映 射或其他映射,这是不对
的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。
?
7



利用映射解题,一般是建立双射,将要证 明的问题转化为其他的问题,但是计算总数不变。
而我们不仅要会建立双射,也应会建立单射和满射,因 为显然建立单射和满射是证明不等关
系的极好方法,不可以忽略。利用倍数映射解决的题目,我目前还没 遇到多少,但还是要时
刻记着有这样一种方法。
一,建立双射

集合{1,2,??,2004}有多少个元素和为奇数的子集?
将正整数n写成若干个1与 若干个2之和,和项的顺序不同认为是不同的写法,所有写法的
种数记为A(n);将正整数n写成若干 个大于1的正整数之和,和项顺序不同认为是不同的
写法,所有写法的种数记为B(n),求证:A(n )=B(n+2)
注:此题即为很好的映射计数例子。因为即便不用映射我们可以把A(n)求出来, 再把B(n+2)
求出来,然后比较后会发现两者相等,但这显然是超大工作量,如果使用了映射计数, 我们
只需用一些技巧,在A(n)和B(n+2)中建立双射,此题即得到证明。
二,建立单射或满射

设n为正整数,我们称{1,2,?,2n}的一个排列{ x
1
,x
2
,?,x
2n
}具有性质P:如果存在1≤i< br>≤2n-1,使得|x
i
-x
i+1
|=n,求证:对任何n,具有性 质P的排列比不具有性质P的排列个数
多。
注:映射计数可能会有一定难度,如果觉得掌握不 了也不要灰心,只要多练,时间一长自然
就会了。
不等式与最值
1平均不等式

a
i
?R
?
(i=1,2,…,n)
调和平均 值:
H
n
?
n
1
?
i?1
a
i< br>n
n

几何平均值:
G
n
?

?
a
i?1
n
i

算术平均值:
A
n
?

?
a
i?1
n
i
n

8



方幂平均值:
G
n
?
?
a
i?1
n
2
i
n

H
n
?G
n
?A
n
?G
n

等号成立当且仅当
a
1
?a
2
???a
n

注意:运用平均不等式需注意各项均为正数!
题外话:有很多同学十分“痛恨”
?< br>?
这两个符号,总是看不懂,其实这两个符号是
绝对好用的,并且以后会常常遇到,在大 学课本中更是家常便饭,多看几次自然也就习惯了。
例题:
求证:
4a?1?4b?1?4c?1?4d?1?6

a,b,c,d?R
?
,且a?b?c?d?1,
分析:
为了凑出 a+b+c+d,以便充分利用条件,将4a+1,4b+1,4c+1,4d+1视作整体,利用平均不等式。

2柯西不等式及其变形

a
i
,b
i
?R
(i=1,2,…,n),则
?
n
??
n
2
??
n
2
?
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?

?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
其中等号成立,当且仅当
2
a
i
为定值
b
i
注:这个式子在竞赛中极为常用,只需 简记为“积和方小于方和积”。等号成立条件比较特
殊,要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均 是正数,因此应用范围较广。
常用变形一:
若a
i
?R,b
i< br>?R
?
(i=1,2,…,n),则
?
n
?
??
a
i
?
n
a
i
2
?
i?1
?

?
n
?
i?1
b
i
?
b
i
i?1
2
注:要求b
i
为正数
常用变形二:

a
i
,b
i
?R
?(i=1,2,…,n),则
9



?
n< br>?
?
?
a
i
?
n
a
i
?< br>i?1
?

?
n
?
i?1
b
i?
a
i
b
i
i?1
2
注:要求a
i< br>,b
i
均为正数。当然,这两个式子虽常用,但是记不记并不太重要,只要将柯西
不等式原始的式子记得很熟,这两个式子其实是一眼就能看出来的,这就要求我们对柯西不
等式要做到 活学活用。
例:

5a?6b?7c?4d?1,求3a?2b?5c?d
的最小值。并指出等号成立的条件。
分析:
由于a,b,c,d各项系数不同,而且既有 1次项,又有2次项,显然要用柯西不等式。而且使
用柯西不等式不受-7c这项的影响。使用时,注意 写明等号成立条件,检验最小值能否取到。

柯西不等式推广——赫尔德不等式

a
i
,b
i
?R
?
(i=1,2,…,n),p> 1,q>1且
1
p
1
q
2222
11
??1

pq
?
p
??
q
?
ab?ab
?? ?
???
iiii
?

i?1
?
i?1
? ?
i?1
?
注:这个式子成立的前提挺多,不难看出当p=q=2时,这个式子即为柯 西不等式。

3排序不等式


4琴生不等式
首先来了解凸函数的定义
一般的,设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内 的任意两数x
1
,x
2
都有
nnn
?
x?x2
?
f
?
x
1
?
?f
?
x< br>2
?

f
?
1
?
?
2
?< br>2
?
则称f(x)是(a,b)内的下凸函数,一般说的凸函数,也就是下凸函数,例如 y=x
2
,从图像上即
可看出是下凸函数,也不难证明其满足上述不等式。如果对于某 一函数上述不等式的等号总
是不能成立,则称此函数为严格凸函数。
注:凸函数的定义为我们 提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使
用。此外利用二阶求导也可以判断一个 函数为凸函数,凸函数的二阶导数是非负数。
凸函数具有的常用性质
性质一:
对于(a,b)内的凸函数f(x),有
10



?
n
?
?
x
i
f
?
i?1
?< br>n
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
f
?
x
?
i
i?1
n
n

注:此即常说的琴生不等式

性质二:加权的琴生不等式
对于(a,b) 内的凸函数,若
?
a
i?1
n
i
?1
,则
?
n
?
n
f
?
?
a
i
x
i
?
?
?
a
i
f
?
x
i
?

?
i?1
?
i?1
注:加权琴生不等式很重要,当< br>a
i
?
1
时,即为原始的琴生不等式。
n
注:另外 ,对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分,如果将不等号全部反向,则得到的便
是凹函数,以及凹函数 的琴生不等式。

n
设x
i
>0(i=1,2,…,n),?
x
i?1
i
?1
,求证:
?
i?1
n
x
i
1?x
i
?
?
i?1
n
x
i

n?1
注:不仅要用琴生不等式,注意知识综合利用。

5利用二次函数的性质
一般来说,许多题目是涉及x,y,z三个量的证明题,由于二次函数 的性质十分好用,因此
凑出一个关于其中一个字母的二次函数,进而利用二次函数的性质可以解决最值问 题。


设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。
提示:
4
?
3z?1
?
z?z
2
?1? 4z?3z
2
将x=1-y-z代入,整理成关于y的二次函数,最值即为
4
?
3z?1
?
整理后不难得到z=0和z=1式分别取到最大值
即可。

????
2

1
和最小值0,然后只需举一例证明能够取 到
4
11

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本文更新与2020-09-17 19:56,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/401864.html

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