2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案

2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B
卷）参考答案及评分标准
说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题
的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参
考本评分标 准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、

11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分
．

1. 在等比数列
{a }
中，
a




2, a
3



1
3

，则
aa



．


2011

n


2


3



aa
的值为



答案： ．
9

8

7
2017

















8

1





a

a a

3
解：数列
{a

}
的公比为
q


3

，故

a
aa
2

2

n

7
2017
3 1

a a


1 2011 2011

q
6
( a
1
a
2011
)

q
6






．

2. 设复数 z 满足z 9 10

z
22 i ，则

z

的值为





9

．


答案：
5
．

解：设z a b i, a , b R ．由条件得

( a 9) b i 10 a ( 10b 22) i ．

比较两边实虚部可得

a ??9 ?? 10 a,


















































b ? ?10b ? 22,

解得a 1, b 2 ，故z 1 2 i ，进
而
z
5
．




3. 设
f

(

x)
是定义在
R
上的函数，若
f

(

x

)

x
2
是奇函数，
f

(

x) 2
x
是偶函数，

则
f

(1)
的值为 ．

答案： ．


4
解：由条件知，
f

(1) 1


7








2

f ( 1)
( 1)
f ( 1) 1, f (1) 2






1

f ( 1)
，


两式相加消去
f

( 1)
，可知
2

f

(1) 3
1
，即
f

(1)

．

2

7








2

4







4. 在
ABC
中，若
sin

A

2sin

C
，且三条边a , b, c 成等比数列，则
cos

A
的值
为 ．



答案：
4
2

．
asinA
2
C

2
，又b ac ，于是a : b : c 2 : 2 : 1，从 解：由正弦定理知，
c

sin
(
2)

．
而由余弦定理得，
cos

A

1 2

2
4
2 bc

2 2 1

5. 在正四面体
ABCD
中，E , F 分别在棱 AB , AC 上，满足BE ? 3, EF ? 4 ，且
．
EF 与面
BCD
平行，则?DEF 的面积为
b
2
c
2
a
2

2

2

2

1

答案：233 ．
解：由条件知，EF 平行于BC ．因为正四面体
ABCD 的各个面是全等的正三角形，故

AE

AF

EF

4, AD

AB

AE

BE

7 ．





由余弦定理得，
DE AD
2

AE
2

2 AD AE cos 60
49

16

28 37 ，
同理有DF 37 ．


作等腰 DEF 底边EF 上的高DH ，则EH
1
2
EF 2 ，故
S

DEF


1
DH DE
2
EH
2
33 ，于是
2

EF DH

2
5
33 ．
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集K ( x , y ) | x , y 1, 0, 1 ．在K 中随机取出
三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 2 的概率为 ．

答案：
14
．
解：注意
K
中共有 9 个点，故在
K
中随机取出三个点的方式数为
种．当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况．
（2）三点是边长为1, 1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有
4

4

16 种情况．
（3）三点是边长为2, 2, 2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于



(0, 0) 的有 4 个，直角顶点位于( 1, 0), (0, 1) 的各有一个，共有
8
种情况．

综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进
30
5
．

而所求概率为

84
14
7. 设
a
为非零实数，在平面直角坐标系
xOy
中，二次曲线
x

2

ay

2

a
2

0
的
焦距为 4，则
a
的值

为 ．




答案：
2


117
．
x
2
y
2
解：二次曲线方程可写成
1
．显然必须
a 0
，故二次曲线为双曲
a a


2


y
2


x
2
2







2

2 2


线，其标准方程为
( a )
2

( a)
2


1
．则
c
( a )

( a )

a
a
，注意到焦距

2c 4
，可知
a a 4
，又
a 0

2
，所以
a
1

．
17
2





为




8. 若正整数a , b, c 满足2017 10 a 100b 1000c ，则数组( a , b, c) 的个数

．

答案：
574
．
解：由条件知
c

2017
1000

2

．

当c 1 时，有
10

b

20
．对于每个这样的正整数b ，由10b a 201
知，
2

相应的 的个数为
202 10b
．从而这样的正整数组的个数为
a
1011
20
b 10




2








当c 2 时，由20 b

2017
，知
b

20
．进而200

100
故a 200, 201．此时共有 2 组( a , b, c) ．

综上所述，满足条件的正整数组的个数为



201 ，
a
2017
10


．


二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．

xx
9. （本题满分 16 分）设不等式 2 a 5 2 对所有
的取值范围．

成立，求实数
a

解：设t 2 ，则t [2, 4]，于是 对所有 成立．由于

22
t a 5 t
( t a ) (5 t)

(2 t a 5)(5 a) 0 ． ………………8 分

对给定实数a ，设 f ( t ) (2 t a 5)(5 a) ，则 f ( t) 是关于
t
的一次函数或
常

值函数．注意t [2, 4]，因此 f ( t) ? 0 等价
于

x

(2) ( 1 a )(5 a) 0,


f (4) (3 a )(5 a) 0,
















………………12 分


解得3 a 5．
所以实数
a
的取值范围是3 a 5．




………………16 分
10. （本题满分 20 分）设数列 {a
n
} 是等差数列，数列 {b
n
} 满足

2

b a a a , n 1, 2, ．
n

n 1 n 2 n

（1）证明：数列
{b
n
}
也是等差数列；
（2） 设数列{a
n
}、{b
n
}的公差均是d 0 ，并且存在正整数
s

,

t
，使得a
s

b
t
是整数，求
a
1
的最小值．
解：（1）设等差数列{a
n
}的公差是d ，则

2
b

b
n

( a
n

2
a
n

3

a )

( a a

a
n
2
)
n1n1n1n2

a
n

2
( a
n

3
a
n

1
) ( a
n

1
a
n
)( a
n

1
a
n
)

a
n

2
2 d ( a
n

1
a
n
) d


(2a
n

2
a
n

1
a
n
) d
所以数列{b
n
}也是等差数列．


（2） 由已知条件及（1）的结果知
2
b a a a ( a
n n 1
．
………………5 分
，故
n
n 2
n n

．因为
2
d )( a 2 d ) a
n
．这样
3da
n
2d
2
a
n

若正整数
s

,

t
满足

2
．

9


，则

………………10 分

3

a ( s 1) d a ( t

9
s

ts t 1 1
2
s t 2
Z ．
2a

1

3 9

2
记
l

2a
s t 2

，则
l

Z
，且18a
3(3l

1 1
3 9
a b a a
2







1)d

9
2
s

t

1)

1
是一个非零的
………………15 分




整数，故

又当

，从而
时，有
a
1
．
1
17
1 Z ．
b

3
18 18

综上所述，
a
1
的最小值为
18
．
1
………………20 分
11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1

:

y

2

4x
，曲线
C
C
1

上一点
P

作一条倾斜角为
45
的直线
l

，与
C
2

交于两



22
2
: ( x 4) y 8
．经过
个不同的点
Q

,

R
，求
PQ PR
的取值范围．

解：设
P

(t

2

, 2t

)
，则直线
l
的方程为
y x

2t t
2
，代入曲线
C
2
的方程得，
化简可得

①

由于
l
与
C
2
交于两个不同的点，故关于
x
的方程①的判别式 为正．计算得，


(t
2
2t 4)
2
2((t
2
2t )
2
8)
(t

2

2t

)

2
8(t
2
2t ) 16 2(t
2
2t )
2
16
( x

4)
2

( x

2t

t
2
)
2
8
，
2 x
2

2(t
2

2t

4) x

(t
2

2t )
2

8

0
．



4
22222

(t 2t ) 8(t 2t )(t 2t ) (t 2t 8)t (t 2)(t 2)(t 4)
，
4)
．

t ( 2, 0) (2,
因此有

②
………………10 分







设
Q

,

R
的横坐标分别为
x
1

,

x
2
，由①知，

x x t
2
1

2
2t 4, x x
((t 2t ) 8)
，
1 2

2
1
22
因此，结合
l
的倾斜角为
45
可知，



PQ

PR 2( x
1

t
2
) 2( x
2

t
2
)

2 x
1
x
2

2 t
2
( x
1

x
2
)

2t
4
(t
2
2t )
2
8 2t
2
(t
2
2t 4) 2t
4
t
4
4t
3
4t
2
8 2t
4
4t
3
8t
2
2t
4




t 4t 8 (t 2) 4
．

4222



③
………………15 分
由②可知，
t
2
2 ( 2, 2) (2, 14)
，故
( t
2
2)
2
[0,


PQ PR
4) (4, 196)
，从而由③得，
(t
2
2)
2
4 [4, 8) (8, 200)
．………………20

分

注 1：利用
的圆心到
l
的距离小于
C
2
的半径，列出不等
式
C
2



4 2 t
t
2


2



2 2
，

同样可以求得②中
t
的范围．

注 2：更简便的计算
PQ PR
的方式是利用圆幂定理．事实上，
C
2
的圆心



为
M (4, 0)
，半径为
r 22
，故
PQ

PR

PM

r

(t

4)

(2t )

(22)

t

4t

8
．
22222242

4