2020年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版 精品

二○○一年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9
分和0分两档；其它 各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再
增加其他中间档次．
2．如 果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参
照本评分标准适当划分档次评 分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、 （C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个
是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每 小题选对得6分；不选、选
错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知
a
为给定的实数，那么集合
M
={
x
|
x
-3
x
-
a
+2=0，
x
∈R}的子集 的个数为
（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定
【答】（ C
222
22
）
【解】 方程
x
-3
x
-
a
+2=0的根的判别式Δ=1+4
a
>0，方程有两个不相等的实数
根．由
M
有2个元素，得集合
M
有2=4个子集．
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;
命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有
2
（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个
【答】（ B
【解】 只有命题1对．
3．在四个函数
y< br>=sin|
x
|，
y
=cos|
x
|，
y< br>=|ctg
x
|，
y
=lg|sin
x
|中以
?
为周期、在(0，
上单调递增的偶函数是
（A）
y
=sin|
x
| （B）
y
=cos|
x
| （C）
y
=|ctg
x
| （D）
y
=lg|sin
x
|
【答】（ D ）
）
?
)
2
【解】
y
=sin|
x
|不是周 期函数．
y
=cos|
x
|=cos
x
以2
?为周期．
y
=|ctg
x
|在（0，

?
）上单调递减．只有
y
=lg|sin
x
|满足全部条件．
2
4．如果满足∠
ABC
=60°，
AC
=12，
BC
=
k
的△
ABC
恰有一个，那么
k
的取值范围 是
（A）
k
=
83
（B）0<
k
≤12 （C）
k
≥12 （D） 0<
k
≤12或
k
=
83

【答】（ D
【解】 根据题设，△
ABC

k
60°

B

A

C

）

k
共有两类如图．


C

12
12
B

60°

A




易得
k
=
83
或0<
k
≤12．本题也可用特殊值法，排 除（A）、（B）、（C）．
5．若
(1?x?x)
333
2100022000
的展开式为
a
0
?a
1
x?a
2< br>x???a
2000
x
，
则
a
0
?a3
?a
6
?a
9
???a
1998
的值为
（A）
3
（B）
3
666
（C）
3
999
（D）
3
2001

【答】（ C ）
【解】 令
x
=1可得
3
1000=
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
???a
2000
；
232000
令
x
=
?可得0=
a
0
?a
1
?
?a
2
??a
3
?
???a
2000
?
；
32
（其中
?
??
1
?
3
i
，则
?
=1且
?
+
?
+1=0）
22
2464000
2
令
x
=
?
可得0=
a
0
?a
1< br>?
?a
2
?
?a
3
?
???a
20 00
?
．
以上三式相加可得
3
1000
=3（
a
0
?a
3
?a
6
?a
9
???a
1998
）．
999
所以
a
0
?a
3
? a
6
?a
9
???a
1998
=
3
．
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格
之和小 于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定
【答】（ A
【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为
x
、
y
元枝．
）
1
则6
x
+3
y
>24,4
x
+5
y
<2 2.令6
x
+3
y
=
a
>24,4
x
+5
y
=
b
<22,解出
x
=
1
(5a?3b )
,
y
=
(3b?2a)
.
9
18

11
所以2
x
-3
y
=
(11a?12b)?( 11?24?12?22)
=0，即2
x
>3
y
．
99
也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．
7．椭圆
?
?
23
1
的短轴长等于．
3
2?cos
?
23
213
【解】
?
( 0)?a?c?1,
?
(
?
)?a?c?
1
.
故< br>a?,c??b?
．从而
2b?
．
3
333
38．若复数
z
1
，
z
2
满足|
z
1
|=2，|
z
2
|=3，3
z
1< br>-2
z
2
=
3
3072
?i
，则
z
1
·
z
2
=
??i
．
2
1313
【解】 由3
z
1
-2
z
2< br>=
z
2
?z
2
?z
1
?
1
3
11
z
1
?z
1
?z
2
=
z< br>1
z
2
(2z
2
?3z
1
)
26
3
?i
6(3z?2z)6(3z?2z)
3072
121 2
2
可得
z
1
z
2
????6??
??i
．本题也可设三角形式
3
1313
2z
2
?3z
1
2z
2
?3z
1
?i
2
进行运算．
9． 正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则直线
A
1
C
1
与
BD
1
的距离是
【解】 作正方体的截面
BB
1
D
1< br>D
，则
A
1
C
1
⊥面
BB
1
D
1
D
．设
A
1
C
1
与
B1
D
1
交于点
O
，在面
BB
1
D1
D
内作
OH
⊥
BD
1
，
H
为垂足，则
OH
为
A
1
C
1
与
BD
1
的公垂线．显然
OH
等于直角三角形
BB
1
D
1
斜边上
高的一半，即
OH
=
6
．
6

B
1


O

H

D

1

A

1

C

1

6
．
6
A

B

D

C

2
13
10. 不等式
?2?
的解集为
(0,1)?(1,2
7
)?(4,??)
．
log
1
x2
2
【解】
13
13
13
?2?
或
?2??
．
?2?
等价于
log
1
x2
log
1
x2
log
1
x2
2
2
2

即
17
11
??
．
??
或
2
log
1
x2< br>log
1
x
2
2
此时
log
1
x? ?2
或
log
1
x?0
或
?
2
2
2
?log
1
x?0
．
2
7
∴解为
x
>4或0<
x
<1 或 1<
x
<
2
．
即解集为
(0,1)?(1,2
7
)?(4,??)
．
1 1．函数
y?x?x
2
?3x?2
的值域为
[1,)?[2,??)
．
2
2
7
3
2
【解】
y?x?x2
?3x?2
?
x
2
?3x?2?y?x?0
． 2
y?2
3
两边平方得
(2y?3)x?y
2
?2，从而
y?
且
x?
．
2y?3
2
y
2
?2y
2
?3y?23
?0
?
?0?1?y?
或
y?2
． 由
y?x?y?
2y?32y?32
y
2
?2
任取
y?2
，令
x?
，易知
x?2
，于是< br>x
2
?3x?2?0
且
y?x?x
2
?3x?2．
2y?3
y
2
?2
3
任取
1?y?
，同样令
x?
，易知
x?1
，
2y?3
2
于是
x
2
?3x?2?0
且
y?x?x
2
?3x?2< br>．
3
因此，所求函数的值域为
[1,)?[2,??)
．
2
12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），
要求同一块中种同一种 植物，相邻的两块种不同的植物．现有4
种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案．

F
E
A
B
C
D
【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．
考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法．
考虑A、C、E种三种植物，此时共有
P
4
×2×2×2=192种方法．
故总计有108+432+192=732种方法．
3

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设{
a
n
} 为等差数列，{
b
n
}为等比数列，且
b
1
=
a< br>1
，
b
2
=
a
2
，
b
3< br>=
a
3
（
a
1
<
a
2
） ，又
n???
222
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
．试求{
a
n
}的首项与公差．
【解】 设所求公差为
d
，∵
a
1
<
a
2
，∴
d
>0．由此得
a
1
2
(
a
1
+2
d
)
2
=(
a
1
+
d< br>)
4

化简得2
a
1
+4
a
1d
+
d
=0
解得
d
=(
?2?2
)
a
1
.………………………………………………………………5分
而
?2?2
<0，故
a
1
<0．
2
a
2
若
d
=(
?2?2
)
a
1
，则
q?
2
?(2?1)
2
；
a
1
2
a
2
若
d
=(
?2?2
)< br>a
1
，则
q?
2
?(2?1)
2
；………… ………………………………10分
a
1
22
但
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
存在，故|
q|<1．于是
q?(2?1)
2
不可能．
n???
从而
a
1
2
1?(2?1)
2
?2?1?a
1
2?(22?2)(2?1)?2
．
所以
a
1
=
?2< br>，
d
=(
?2?2
)
a
1
=(
? 2?2
)(
?2
)=
22?2
．……………………20
分

x
2
2
2
14．设曲线
C
1
：
2
?y?1
（
a
为正常数）与
C
2
：y
=2（
x
+
m
） 在
x
轴上方仅有一个
a
公共点
P
．
⑴ 求实数
m
的取值范围（用
a
表示）；
⑵
O
为原 点，若
C
1
与
x
轴的负半轴交于点
A
，当0<a
<
值（用
a
表示）．
1
时，试求Δ
OAP
的面积的最大
2

?
x
2
?
2
?y
2
?1,
2222
⑴ 【解】 由
?
a
消去
y
得，
x
+2
ax
+2
am
-
a
=0． ①
2
?
?
y?2(x?m)
设
f
(
x
)=
x
+2
ax
+2
am
-
a
，问题⑴转化为方程①在
x
∈(-
a
，< br>a
)上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
2
22
a
1? Δ=0得
m
=
?1
．此时
x
p
= -
a
，当且仅当-
a
<-
a
<
a
，即0<
a
<1时适合；
2
2222
2?
f
(
a
)·< br>f
(-
a
)<0当且仅当–
a
<
m
<
a
；
3?
f
(-
a
)=0得
m
=
a
．此时
x
p
=
a
-2
a
，当且仅当-
a
< a
-2
a
<
a
，即0<
a
<1时适合．f
(
a
)=0
得
m
=-
a
，此时 < br>x
p
=-
a
-2
a
，由于-
a
-2
a
<-
a
，从而
m
≠-
a
．
2 2
22
a
2
?1
综上可知，当0<
a
<1时，m
=或-
a
<
m
≤
a
；
2
当
a
≥1时，-
a
<
m
<
a
.…………… ………………………………………10分
⑵ 【解】 Δ
OAP
的面积
S
=
1
ay
p
．
2
1
∵0<
a
<，故-
a
<
m
≤
a
时，
0??a
2
?aa
2
?1?2m?a
，由 唯一性得
2
x
p
=
?a?aa?1?2m
．显然当
m
=
a
时，
x
p
取值最小．由于
x
p>0，从而
y
p
?1?
值最大，此时
y
p
=2
a?a
2
，∴
S
=
a
a?a
2
．
22
x
2
p
a
2
取
1
a
2
?1
2
当
m
=时，
x
p
=-
a
，
y
p
=
1?a
2
，此时
S
=< br>a
1?a
2
．
2
2
下面比较
a
a ?a
2
与
令
a
a?a
2
=
1
a< br>1?a
2
的大小：
2
1
1
a
1?a
2
，得
a
=.
2
3
1
1
a1?a
2
．此时
S
m ax
=
a1?a
2
．
2
2
故当0<
a
≤时 ,
aa(1?a)?
1
3

当<
a
<

1
3
1
1
时，
aa( 1?a)?a1?a
2
．此时
S
max
=
a
a?a
2
．……………20分
2
2
15．用电阻值分别 为
a
1
、
a
2
、

a
3
、
a
4
、
a
5
、
a
6
(
a
1
>
a
2
>
a
3
>
a
4
>
a
5
>
a
6
)
的电阻组装成一个如图的组件，在
组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电 阻值最小？证明你的结论．
【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为
R
F G
．当
R
i
=
a
i
，
i
=3， 4，5，6，
R
1
，
R
2
是
a
1
，
a
2
的任意排列时，
R
FG
最小．………………………… ………………5分
证明如下
1°设当两个电阻
R
1
，
R
2
并联时，所得组件阻值为
R
：则
1
?
1
?
1
．故交换二电
RR
1
R
2
阻的位置，不改变< br>R
值，且当
R
1
或
R
2
变小时，
R
也减小，因此不妨取
R
1
>
R
2
．
2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为
R
AB
：


R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
A
R
1
R
2
?R
3
?
12
．
R
1
?R
2
R
1
?R
2

R
1

R
2

图1
R
3

B
显然
R
1
+
R
2
越大，
R
AB
越小，所以为使
R
AB
最小必须 取
R
3
为所取三个电阻中阻值最小的
一个．
3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻
为
R
CD
：
R
1

R
3

R
2

C
D
R
4

图2
RR?R
1
R
3
?R
1
R
4
?R
2
R
3
?R< br>2
R
4
111
．
???
12
R
C D
R
AB
R
4
R
1
R
2
R
4
?R
1
R
3
R
4
?R
2
R< br>3
R
4

若记
S
1
?
1?i? j?4
?
RR
ij
，
S
2
?
i
1 ?i?j?k?4
?
RRR
jk
．则
S
1
、
S
2
为定值．
于是
R
CD
?
S
2?R
1
R
2
R
3
．
S
1
? R
3
R
4
只有当
R
3
R
4
最小，
R
1
R
2
R
3
最大时，
R
CD< br>最小，故应取
R
4
<
R
3
，
R
3< br><
R
2
，
R
3
<
R
1
，即 得总电阻
的阻值最小．……………………………………………………………………15分
4° 对于图3，把由
R
1
、
R
2
、
R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替．要使
R
FG
最小，由 3°
必需使
R
6
<
R
5
；且由1°，应使
R
CE
最小．由2°知要使
R
CE
最小，必需使
R
5
<
R
4
，且应使
R
CD
最小．
而由3°，要使
R
CD
最小，应使
R
4
<
R
3

<
R
2
且
R
4
<
R
3

<
R
1
．
这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分


R
1

A
C
R
2

R
4

R
3

B
D
R
5

E
G



F
R
6

图3

二○○一年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本 解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参
照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个 档次，不要再增加其它中间档次．

一．如图，△
ABC
中，
O< br>为外心，三条高
AD
、
BE
、
CF
交于点
H
，直线
ED
和
AB
交于
点
M
，
FD
和
AC
交于点
N
．
求证：（1）
OB
⊥
DF
，
OC
⊥
DE
．
（2）
OH
⊥
MN
．
【证明】（1）∵
A
，
C
，
D
，
F
四点共圆，
∴∠
BDF
=∠
BAC
．
又∵∠
OBC
=

A
1
(180°-∠
BOC
)=90°-∠
BAC
，
2
O
F
H
D
E
C
N
∴
OB
⊥
DF
．
同理
OC
⊥
DE
．………………………10分
（2） ∵
CF
⊥
MA
，
∴
MC
-
MH
=
AC
-
AH
．……①
∵
BE
⊥
NA
，
∴
NB
-
NH
=
AB
-
AH
．……②
∵
DA
⊥
BC
，
∴
BD
-
CD
=
BA
-
AC
．……③
∵
OB
⊥
DF
，
∴
BN
-
BD
=
ON
-
OD
．……④
∵
OC
⊥
DE
，
2222
2222
2222
2222
B
M
∴
CM
-
CD
=
OM
-
OD
．……⑤………………………………………………30分
①-②+③+④-⑤，得
2222
NH
2
-
MH
2
=
ON
2
-
OM
2
．

MO
2
-
MH
2
=
NO
2
-
NH
2
．
所以
OH
⊥
MN
．…………………………… ……………………………………………50分

二．设
x
i
? 0
（
i
=1，2，…，
n
），且
大值与最小值．
【解】先求最小值，因为
(
?
x
i?1
n
2
in
2
i
?2
1?k?j?n
?
n
k
x
k
x
j
?1
，求
?
x
i
的最j
i?1
?
x)
i
i?1
n
2
??
x?2
i?11?k?j?n
?
x
k
x
j< br>?1?
?
x
i?1
n
i
≥1，
等号成立当且仅当存在
i
使得
x
i
=1，
x
j
=0，
j
≠
i
．
∴
?
x
i?1
n
i
的最小值为1．…………………………… …………………………………10分

n
再求最大值，令
x
k
?ky
k
，
∴< br>?
ky
k?1
2
k
?2
1?k?j?n
?< br>kyy
kj
?1
．…………①
设M =
?
x
=
?
k
k?1k?1
nn
ky
k
．
?
y
1
?y
2
???y
n
?a
1
,
?
y
2
???y
n
?a
2
,
?< br>令
?

?
?
?
y
n
?a
n
.
?
222
则①
?
a
1
?a
2< br>???a
n
?1
．………………………………………………………30分 令
a
n
+1
=0，则M=
?
k?1
n
k(a
k
?a
k?1
)

nnn
=
?k?1
n
ka
k
?
?
ka
k?1
?< br>?
ka
k
?
?
k?1a
k
?
?(k?k?1)a
k
．
k?1k?1k?1k?1
n
由柯西不等式得
M
?
???
2
?
2
?
(k?k?1)(a)?(k?k?1)
?
?
?
?
?
?
．
?
k?1
?< br>k?1
?
k?1
?
n
1
2
n
12
2
k
n
1
2
22
a
k
a< br>n
a
1
2
等号成立
?

??????
22
1
(k?k?1)(n?n?1)
?
2
a
1
2
?a
2
2
???a
n
1?(2?1)???(n?n?1 )
22
?
2
a
k
(k?k?1)
2

?a
k
?
k?k?1
?
2
?
( k?k?1)
?
?
?
?
k?1
?
n
12
．（
k
=1，2，…，
n
）
由于
a
1
?a
2
???a
n
，从而 y
k
?a
k
?a
k?1
?
2k?(k?1?k ?1)
?
2
?
(k?k?1)
?
?
?
?< br>k?1
?
1
2
n
1
2
?0
，即x
k
?0
．
所求最大值为
?

?
(
?
?
k?1
n
?
……………………………………………50 分
k?k?1)
2
?
．
?

三．将边长为正整数
m
，
n
的矩形划分成若干边长均
为正整数的正方形．每个正方形的边 均平行于矩形的相
应边．试求这些正方形边长之和的最小值．

【解】记所求最小值 为
f
（
m
，
n
），可以证明
f
（
m
，
D

C

n

A

m

B

n
）=
m
+
n
-(
m
，
n
)． (*)
其中(
m
，< br>n
)表示
m
和
n
的最大公约数．………………………………… ……………10分
事实上，不妨设
m
≥
n
．
(1)关 于
m
归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为
m
+
n
-(
m
，
n
)．


当
m
=1时,命题显然成立．
假设当
m
≤
k
时，结论成立（
k
≥1）．当
m
=
k
+1时，若< br>n
=
k
+1，则命题显然成立．若
n
<
k
+1，从矩形
ABCD
中切去正方形
AA
1
D
1
D
（如图），由归纳假设矩形
A
1
BCD
1
有一种分法使得所得正方形边长之和恰为
m
-
n
+
n
-(
m
-
n
，
n
)=
m
-(
m
，
n
).






D
D
1
C
n
A
m
A
1
B

于是原矩形
ABCD
有一种分法使得所得正方形边长之和为
m
+
n
- (
m
，
n
)．…………20分
(2)关于
m
归纳可以证明(*)成立．
当
m
=1时,由于
n
=1，显然
f
(
m
，
n
)=1=
m
+
n
- (
m
，
n
)．
假设当
m
≤
k
时 ，对任意1≤
n
≤
m
有
f
(
m
，
n
)=
m
+
n
- (
m
，
n
)．
若
m
=
k
+1，当
n
=
k
+1时显然
f
（
m
，
n
）=
k
+1=
m
+
n
- (
m
，
n
)．
当1≤
n
≤
k
时 ，设矩形
ABCD
按要求分成了
p
个正方形，其边长分别为
a
1
，
a
2
，…，
a
p
，
不妨设
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
p
．
显然
a
1
=
n
或
a
1
<
n
．
若
a
1
<
n
，则在
AD
与
BC< br>之间的与
AD
平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形（或
其边界），于是< br>a
1
+
a
2
+…+
a
p
不小于AB
与
CD
之和．
所以
a
1
+
a< br>2
+…+
a
p
≥2
m
>
m
+
n
- (
m
，
n
)．
若< br>a
1
=
n
，则一个边长分别为
m
-
n
和
n
的矩形可按题目要求分成边长分别为
a
2
，…，
a< br>p
的正方形，由归纳假设

a
2
+…+
a
p
≥
m
-
n
+
n
-(
m
-
n
，
n
)=
m
- (
m
，
n
)．
从而
a
1
+
a< br>2
+…+
a
p
≥
m
+
n
-(
m
，
n
)．
于是当
m
=
k
+1时，< br>f
（
m
，
n
）≥
m
+
n
- (
m
，
n
)．
再由(1)可知
f
(
m
，
n
)=
m
+
n
- (
m
，
n
)．…………………………………………………50
分