贵州省高中数学教师资格证面试-高中数学函数2017文科
【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的
评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、
11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1.
已知实数集合
{1, 2, 3, x}
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
x
的
值为 ．
答案：
-3
．
解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为
0
．显然
x < 0
，
从而
1 + 2 + x = 0
，得
x = -3
．
m m m+1
2. 若平面向量
a = (2, -1)
与
b = (2-1,
2)
垂直，其中 m 为实数，则 a 的
模为
．
答案： 10
．
解：令 2
m
= t ，则
t > 0
．条件等价于
t ? (t -1) + (-1) ? 2t = 0 ，解得
t = 3
．
因此 a 的模为 3
2
+ (-1)
2
= 10
．
3. 设a, b ? (0, p) ，cos a, cos b 是方程5x
2
-3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b
的 值为
答案：
．
7
．
5
3 1
解：由条件知
cos a + cos b = , cos a cos b = - ，从而
5
5
(sin a sin b )
2
= (1- cos
2
a)(1- cos
2
b ) = 1- cos
2
a -
cos
2
b + cos
2
a cos
2
b
?
3
?
?
4
?
=
7
．
= (1+ cos a
cos b)
2
- (cos a + cos b)
2
=
?
÷
-
?
÷÷
?
è 5 ?
?
è5? 25
2 2
7
又由a, b
? (0, p) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = ．
5
4. 设三棱锥
P - ABC
满足 PA = PB = 3,
AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的
体积的最大值为 ．
2 6
答案： ．
3
M
为棱
AB
的中点，则
解：设三棱锥
P - ABC
的高为
h
．取
h ? PM = 3
2
-1
2
= 2 2
．
PAB
垂直于平面 当平面
ABC
时，
h
取到最大值
2
2
．此时三棱锥
P - ABC
的体
1
积取到最大值 S
1
2 6
? 2 2 =
3 ? 2 2 = ．
?
3
DABC
3 3
5. 将 5 个数
2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不
为
0），则产生的不同的 8 位数的个数为
．
答案：
95
．
解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以
0
为开头的排列共有
4? 4! = 96
个．其中，
(2, 0, 1, 9, 2019)
和
(2019, 2, 0, 1, 9)
这两种排列对应同一个数 除了
20192019
，其余
的数互不相等．因此满足条件的 8
位数的个数为
96 -1 = 95
．
x
n-4
与
xy
两项的系数相等，则
6. 设整数
n
n >
4
，
( x + 2
y -1)
n
的展开式中
的值为
．
n
答案：
51
．
r n-r
n
解：注意到 ( x
+ 2
y -1)=
?
C
n
x (2
y
-1)
r
．
r=0
n-4
n-4 4
x
n-4
项仅出现在求和指标
r = 4
时的展开式
x
其中
C
4
x (2y
-1)
中，其
n
n(n-1)(n - 2)(n -3)
项系数为 (-1)
4
C
4
= ．
n
24
-1
而
xy
项仅出现在求和指标
r = n -1
时的展开式
xy
C
n
? y -1)
n-1
中，其
n
x
(2
n-1
2
n-3n-3
项系数为
C
n
C
n-1
4? (-1)
= (-1) 2n(n -1)(n
- 2) ．
n(n -1)(n - 2)(n - 3)
因此有 =
(-1)
n-3
2n(n -1)(n - 2) ．注意到
n > 4
，化简得
24
n - 3 = (-1)
n-3
48 ，故只能是
n
为奇数且
n - 3 = 48
．解得
n = 51
．
7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0)
为圆心、
r
为半径的圆上存在一点
(a, b)
满足
b
2
? 4a
，则
r
的最小值为
答案：
4
．
解：由条件知 (a - r
-1)
2
+ b
2
= r
2
，故
．
4a ? b
2
= r
2
- (a - r
-1)
2
= 2r (a -1) - (a -
1)
2
．
即 a
2
- 2(r -1)a + 2r +1 ? 0 ．
上述关于
a
的一元二次不等式有解，故判别式
(2(r -1))
2
- 4(2r +1) = 4r (r - 4) ? 0 ，
解得 r ? 4
．
经检验，当
r = 4
时， (a, b) = (3, 2
3) 满足条件．因此
r
的最小值为
4
．
8.
设等差数列{a
n
} 的各项均为整数，首项 a
1
= 2019
，且对任意正整数
n
，总
存在正整数
m
，使得
a
1
+ a
2
++ a
n
= a
m
．这样的数列{a
n
} 的个数为 ．
答案：
5
．
解：设{a
n
} 的公差为
d
．由条件知
a
1
+ a
2
= a
k
（
k
是某个正整数），则
2a
1
+ d = a
1
+ (k -1)d ，
a
1
．这样就有
d =
即 (k -
2)d = a
1
，因此必有
k ? 2
，且
k - 2
n -1
a = a + (n -1)d = a + a ，
n
1 1 1
k - 2
而此时对任意正整数
n
，
=
a n +
n(n -1)
d = a + (n -1)a +
n(n
-1)
d
+ a
n 1 1 1
2 2
?
n(n -1)
?
= a + (n -1)(k - 2) + d
，
?
1
?
è
2
?
确实为{a
n
} 中的一项．
+a a
2 1
+
因此，仅需考虑使 k - 2| a
1
成立的正整数
k
的个数．注意到
2019
为两个素数
3
与
673
之积，易知
k - 2
可取-1, 1, 3, 673,
2019 这
5
个值，对应得到
5
个满足条
件的等差数列．
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56
分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
G
中，
F
为一个焦点，
A, B
为两个顶点．若
9.（本题满分 16 分）在椭圆
FA = 3,
FB = 2 ，求
AB
的所有可能值．
y
x
解：不妨设平面直角坐标系中椭圆
G
的标准方程为
2
+
2
= 1 (a > b > 0) ，
ab
F
为
G
的右焦点．
并记
c =
a
2
- b
2
．由对称性，可设
易知
F
到
G
的左顶点的距离为
a + c
，到右顶点的距离为
a - c
，到上、下顶
点的距离均为
a
．分以下情况讨论：
a + c = 3, a - c = 2 ，故
AB = 2a = 5
（相
(1)
A, B
分别为左、右顶点．此时
2 2
2
y
4 x
应地，b= (a + c)(a -
c) = 6 ，
G
的方程为
+ = 1 ）． …………………4
分
25 6
(2)
A
为左顶点，
B
为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故
c = 1
，进
2
2 2
x y
2 2 2
2 2
G
的方程为 +
= 1 ）而 b= a- c= 3 ，所以
AB =
a + b=
7
（相应的
．
4 3
…………………8 分
(3)
A
为上顶点或下顶点，
B
为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2
，故
c = 1
，进
2
x y
G
的方程为 +
= 1 ）而 b
2
= a
2
- c
2
= 8 ，所以
AB =
a
2
+ b
2
=
17
（相应的
．
9 8
…………………12 分
7, 17
． 综上可知，
AB
的所有可能值为
5,
…………………16 分
10. （本题满分 20 分）设 a, b, c 均大于 1，满足
ì
lg
a + log
b
c = 3,
?
í
lg b +
log
a
c = 4.
?
?
求 lg a ? lg
c 的最大值．
lg a = x, lg b = y, lg c = z
，由
a, b, c >1
可知
x, y, z > 0
．
解：设
z z
xy + z = 3y = 4x
．
由条件及换底公式知 x + = 3, y + = 4 ，即
y x
…………………5 分
2 2