高中数学中的N表示什么-综合高中数学期末考试
路漫漫其修远兮
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设
8 分和 0 分两档；其他各题的
评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、
11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8
小题，每小题 8 分，满分 64 分
．
1. 设集合
A
1,
2, 3,, 99,
B
2
x
x
A
,
C
x
2
x
A
，则
B
素个数为 ．
答案：24 ．
1 3 99
解：由条件知，
B
C
，
2, 4, 6, , 198 ,1, , 2, , 2, 4, 6,
, 48
2 2 2
故
B
C
的元素个数为 24 ．
2. 设点
P
到平面
的距离为 3 ，点
Q
在平面 上，使得直线
PQ
与 所成
角不小于30且不大于60，则这样的点
Q
所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
OP
3
解：设点
P
在平面上的射影为
O
．由条件知，
tan
OQP
, 3 ，
OQ
3
即
OQ
[1, 3]，故所求的区域面积为 ．
3 1 8
2 2
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
，则
abc
+
def
是偶数的
概率为 ．
答案：
9
10
．
解：先考虑
abc
+
def
为奇数的情况，此时
abc
,
def
一奇一偶，若
abc
为奇数，
的元
C
则
a
,
b
,
c
为1, 3, 5的排列，进而
d
,
e
,
f
为2,
4, 6的排列，这样有3!×3! = 36 种情况，
由对称性可知，使
abc
+
def
为奇数的情况数为36×2 = 72 种．从而
abc
+
def
为偶
72 72 9
数的概率为1? = 1? = ．
6! 720 10
x
2
y
2
a
4. 在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
:
2
b
2
1(
a
b
0)
的左、右焦点
分别是
F
、
F
，椭圆
C
的弦
ST
与
UV
分别平行于
x
轴与
y
轴，且相交于点
P
．已
1 2
知线段
PU
,
PS
,
PV
,
PT
的长分别为1, 2, 3, 6
，则
PF
F
1 2
的面积为 ．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设
P
(
x
,
y
) 在第一象限，则由条件知
P
P
1
1
x
PT
PS
y
PV
PU
1
，
P
2,
P
2
1
2
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
即
P
(2,1)．进而由 1,
PU
1
1
PS
P
2
得
U
(2,
2),
S
(4, 1) ，代入椭圆
C
的方程知
20, 5
x
1
4
a
2
1
4
16
1
2 2
2
，解得
a
b
．
b
2
a
2
b
15
1
从而
S
2
F
F
1 2
y
2
a
2
b
P
y
．
PF
F
1 2
P
5. 设
f
(
x
) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1]上严格递减，
1
x
2,
且满足
f
() 1,
f
(2) 2 ，则不等式组
的解集为
1
f
(
x
) 2
答案：[
2,
82]．
解：由
f
(
x
) 为偶函数及在[0,
1]上严格递减知，
f
(
x
) 在[1, 0] 上严格递增，
注意到
．
再结合
f
(
x
) 以 2
为周期可知，[1, 2]是
f
(
x
) 的严格递增区间．
f
(
所以
1
而1 2 8
2)
f
f
( ) 1, (8 2 )
f
( 2 )
f
(2 ) 2
2
[
) ，
，
f
(
x
) 2
f
(2)
f
(
x
)
f
(8
2 2 ，故原不等式组成立当且仅当
x
1，使得关于
x
的方程
zx
2
2, 82]．
6. 设复数
z
满足
z
的复数
z
的和为
3
答案：
．
2
解：设
z
a
zx
有实根，则这样
2 2 0
．
b
i
(
a
,
b
R,
a
2
b
i)
x
2
2(
a
b
2
1)
．
①
将原方程改为(
a
b
i)
x
2 0，分离实部与虚部后等价于
ax
，
2 2 0
ax
2
bx
2
bx
．
2 0
1时，①无实数解，从而
a
1满足条件．
②
1，此时存在实 若
b
0，则
a
2
，但当
a
1
数
x
1 3 满足①、②，故
z
若
b
0，则由②知
x
1
入①解得
{0, 2}，但显然
x
0 不满足①，故只能是
x
2 ，代
15 1
15i
．
，相应有
a
，进而
b
z
4 4
4
1
15i 3
．
4
2
1 15i
综上，满足条件的所有复数
z
之和为 1
4
7. 设
O
为
ABC
的外心，若
AO
AB
2
AC
，则sin
10
答案： ．
4
解：不失一般性，设
故
1
2
AC
AO
AB
BO
，
BAC
的值为 ．
ABC
的外接圆半径
R
2
．由条件知，
①
AC
BO
．
1
2
2
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
取
AC
的中点
M
，则
OM
AC
，结合①知
OM
BO
，且
B
与
A
位于直线
OM
的同侧．于是cos
BOC
cos (90
在
MC
MOC
)
sin
MOC
1
．
4
OC
OC
2
BOC
中，由余弦定理得
BC
OB
2
OB
2
OC
cos
BOC
10
10
4
8
，
BC
进而在
ABC
中，由正弦定理得
sin
BAC
2
R
8. 设整数数列
1
,
2
, ,
10
10
3
1
,
2
．
2
5
a
，且
，
a
a
a
i
1
a
满足
a
{1
a
i
i
a
a
a
},
a
i
, 2
．
1, 2, , 9
则这样的数列的个数为
答案：80．
解：设
1
{1, 2}( 1, 2, , 9)
b
i
a
i
a
i
a
10
i
a
1
b
1
，则有
2
a
1
b
2
9
b
，
a
b
5 6
①
b
2
b
3
b
4
a
5
a
2
a
8 5
b
7
b
． ②
用
t
表示
b
b
b
中值为 2 的项数．由②知，
t
也是
5
,
6
,
7
b
b
b
中值为 2 的项数，
其中
t
{0, 1, 2, 3}．因此
b
b
b
的取法数为(C )
2
,
3
, ,
7
0 2
2 3
7
2
,
3
,
4
(C )
1 2
3
(C
)
2 2
3
(C )
3
3
20．
取定
2
,
3
, ,
8
,
9
b
b
b
后，任意指定
b
b
的值，有 2
2
4
种方
式． 最后由①知，应取
1
{1,2}
b
唯一的，并且确定了整数
使得
b
1
b
2 9
b
为偶数，这样的
b
的取法是
1
1
,
2
, ,
9
b
唯一对应一个满足条件
a
的值，进而数列
的
1
数列
1
,
2
, ,
10
b
b
a
a
为 20
a
． 综上可知，满足条件的数列的个数
4 80．
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）已知定义在 R
上的函数
f
(
x
) 为
log
x
1
, 0
x
9,
f
(
x
)
3
4
x
,
x
9.
设
a
,
b
,
c
是三个互不相同的实数，满足
f
(
a
)
f
(
b
)
f
(
c
) ，求
abc
的取值范围．
解：不妨假设
a
b
c
．由于
f
(
x
) 在(0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，
1
，
故结合图像可知
)，
…………………4 分
在[9,) 上严格递减，且
f
(3) 0,
f
(9)
a
(0, 3)
，
b
(3,
9)，
c
(9,
并且
f
(
a
)
f
(
b
)
f
(
c
) (0,
1) ．
由
f
(
a
)
f
(
b
) 得
1
即
log
a
3
log
a
log
b
3 3
1，
3
log
b
2，因此
ab
2
3
9
．于是
abc
9
c
． …………………8 分
又
3
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
0
f
(
c
) 4
c
1， …………………12 分
故
c
(9, 16) ．进而
abc
9
c
(81, 144) ．
所以，
abc
的取值范围是(81, 144) ．
r
…………………16 分
f
(
c
)∈(0,1)．过
0
注：对任意的
r
(81, 144) ，取
c
= ，则
c
∈
，从而
0
9
0
(9,16)
点
(
c
,
f
(
c
))作平行于
x
轴的直线
l
，则
l
与
f
(
x
)的图像另有两个交点(
a
,
f
(
a
)) ，
0 0
(
b
,
f
(
b
)) （其中
a
(0, 3),
b
(3,
9)
），
满足
f
(
a
)
f
(
b
)
f
(
c
)
，
并且
ab
9 ，从
而
abc
=
r
．
10.（本题满分 20 分）已知实数列
1
,
2
,
3
,
满足：对任意正整数
n
，
a
a
a
有
a
S
a
，其中
(2 ) 1
S
表示数列的前
n
项和．证
明：
n
n
n
n
(1) 对任意正整数
n
，有 2
a
n
1
n
；
1
．
(2) 对任意正整数
n
，有
a
a
n
n
证明：(1) 约定
有
1
0
0
．由条件知，对任意正整数
n
，
(2
) (
)(
S
)
2
，
a
n
S
n
a
n
S
n
S
n
1
S
n
S
n
1
S
2
S
n
1
n
从而
2
2
S
n
n
S
0
n
，即
S
n
1
n
（当
n
0 时亦成立）． …………………5 分
1 2 显然，
a
n
S
n
n
S
n
n
1
n
n
n
．
n
…………………10 分
n
1
(2) 仅需考虑
a
,
a
同号的情况．不失一般性，可设
a
,
a
均为正（否则
将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则
S
n
1
S
n
S
n
1
n
，故必有
S
n
n
S
,
n
1
，
n
1
此时
a
n
n
n
a
1,
n
1
n
n
，
1
从而
a
a
n
n
1
n
n
(
1)(
n
1
n
) (
n
1
n
)(
n
1
n
) 1
．
…………………20 分
11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系
xOy
中，设
AB
是抛物线
y
2
4
x
的
过点
F
(1, 0)
的弦，
分
AOB
的外接圆交抛物线于点
P
（不同于点
O
,
A
,
B
）．若
PF
平
APB
，求
PF
的所有可能值．
A
,
,
y
, ,
B
,
y
P
y
y
y
y
两两不等且非零．
，由条件知
1
,
2
,
3
y
2
y
2
2
y
2
3
解：设
1
4
1
4
2
4
3
ty
，故
4 4 0
①
y
2
设直线
AB
的方程为
x
ty
1，与抛物线方程联立可得
y
2
y
y
1 2
．
4
注意到
AOB
的外接圆过点
O
，可设该圆的方程为
x
2
dxey
，与
0
y
2
y
4
d
x
联立得，
1
y
y
y
y
这四个不
y
2
0
ey
．该四次方程有
1
,
2
,
3
, 0
4 16 4
4
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
同的实根，故由韦达定理得
y
1
y
2
y
3
，从而
0 0
②
2
y
y
．
3
y
(
1
)
PA
因
PF
平分
FA
…………………5 分
y
APB
，由角平分线定理知，
PB
FB
y
，结合①、②，有
1
2
2
y
2
1 2
y
2
3
(
y
y
)
2
2
2
2
4
(
y
3 1
2
y
2
PA
4
y
)
y
16(2
y
1
y
)
2
1
1
2 1
y
2
PB
2
y
2
y
2 2
y
y
2
y
2 2
y
y
2
(
2
3
)
1 2 2
16(2
2
)
1
2
2
4
(
y
2
(
y
4
y
)
3 2
8)
2
16(4
y
2
y
2
16)
16)
y
4
64
y
2
192
2
1
2
2
8)
1
，
………………10 分
192 (
y
16(4
y
y
y
64
y
2
1
2 2
2
26
2
1
4
1
2
2
2
2
即
1
6
64
1
2
22
192
1
2
64
12
2
192
2
y
y
y
y
(
y
y
2
4 1
2
2
2
y
y
4
1
3
y
，故
y
192) 0 ．
y
)(
y
y
y
2 2
1 2
当
2
2
0
，此时
P
与
O
重合，与条件不符．
y
1
y
时，
y
2 2
22 24
y
，故
y
1
当
4
1
12
192 0
y
)
2 2
2
2
2 1
y
y
y
y
(
y
时，注意到①，有
192(
y
y
)
1 2
1 2
208． …………………15 分
4 13
1
,
2
因
2
2
y
1
y
2
4 13 8
y
y
，故满足①以及
y
2
1
2
2 2
y
的实数
y
y
存
在，对应可得满足条件的点
A
,
B
．此时，结合①、②知
PF
4
．
13 1
y
3
1 (
y
1
y
2
)
2 2
y
1
2
y
2
4
2
208 4
4 4 4 4
…………………20 分
5
吾将上下而求索