高中数学必修四教案和课件ppt课件-兖州实验高中数学老师
2016年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)
说明:
1. 评阅
试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分
标准的评
分档次给分,不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤
正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次给分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11
小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分
1.设实数
a
满足<
br>a?9a
3
?11a?|a|
,则
a
的取值范围是
2.设复数
z,w
满足
|z|?3
,其中
i
是虚数单位,<
br>z,w
分别表示
z,w
的共轭复数,
(z?w)(z?w)?7?4i
,
则
(z?2w)(z?2w)
的模为
3.正实数
u,v
,w
均不等于1,若
log
u
vw?log
v
w?5
,
log
v
u?log
w
v?3
,则
logw
u
的值为
4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B中装有4
张5元纸币和3张1元纸币.现随机从
两个袋子中各取出两张纸币,则A中剩下的纸币面值之和大于B中
剩下的纸币面值之和的概率为
5.设P为一圆锥的顶点,A,B,C是其底面圆周上的三点,满足?ABC
=90°,M为AP的中点.若AB=1,
AC=2,
AP?2
,则二面角M—BC—A的大小为
4
6.设函数
f(x)?sin
kxkx
?cos
4
,其中
k
是一个正整数.若对任意实数
a
,均有
1010
{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}
,则
k
的最小值为
y
2
?1
,左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,过点
F
2
作直线与双曲线C的右半支交
于7.双曲线C的方程为
x?
3
2
点P,Q,使得
?F
1<
br>PQ
=90°,则
?F
1
PQ
的内切圆半径是
8.
设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是1
,2,…,100中的4个互不相同的数,满足
122222
(a
1
?a<
br>2
?a
3
)(a
2
?a
3
?a
4<
br>)?(a
1
a
2
?a
2
a
3
?a<
br>3
a
4
)
2
则这样的有序数组
(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)
的个数为
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.
(本题满分16分)在
?ABC
中,已知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB<
br>.求
sinC
的最大值.
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
1页,共14页
1
0.(本题满分20分)已知
f(x)
是R上的奇函数,
f(1)?1
,且对
任意
x?0
,均有
f(
求
f(1)f(
x
)?xf(x)
.
x?1
11
11111
)?f()f()?f()f()?
…
?f()f()
的值. <
br>1
11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系
xOy
中,F是x
轴正半轴上的一个动点.以F为焦点,
O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一
点,Q是
x
轴负半轴上一点,使得PQ为C的切线,且|
PQ|=2.圆
C<
br>1
,C
2
均与直线OP相切于点P,且均与轴相切.求点F的坐标,使圆
C
1
与
C
2
的面积之和取到
最小值.
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
2页,共14页
2016年全国高中数学联合竞赛加试
22
一、(本题满分40分)
设实数
a
1
,a
2
,
…
,a
2016满足
9a
i
?11a
i
2
求
(a
1<
br>?a
2
)
。
,2,
…
,2015
)(a2
?a
3
)
…
?1
(i?1
2
(a<
br>2015
?a
2016
)(a
2016
?a
1
2
)
的最大值。
二、(本题满分40分)如图所示,在
?ABC
中,X,Y是直线BC上两点(X,B
,C,Y顺次排列),使得
BX?AC?CY?AB
。
设
?ACX
,
?ABY
的外心分别为
O
1
,
O
2
,直
线
O
1
O
2
与AB,AC分别交于点U,V。
证明:
?AUV
是等腰三角形。
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
3页,共14页
三
、(本题满分50分)给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间用线段相连,
若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。
四、(本题满分50分)设
p
与
p?2
均是素数,
p?3
。数列
{a
n
}
的定义为
a
1
?2
,
a
n
?a
n?1
?<
br>?
?
pa
n?1
?
?
,
n
??n?2,3,
,…。这里
?
x
?
表示不小于实数
x的最小整数。
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4页,共14页
2016年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)
参考答案及评分标准
说明:
3. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他
各题的评阅,请严格按照本评分
标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
4. 如果考
生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分
档次给分,
解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分一个档次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分
1.设实数
a
满足<
br>a?9a
3
?11a?|a|
,则
a
的取值范围是
答案:
a?(?
2310
,?)
33
解:由
a?|a|
可得
a?0
,原不等式可变形为
9a
3
?11a|a|
1????1
aa
2即
?1?9a?11?1
,所以
a?(
2
104
231
0
,)
.又
a?0
,故
a?(?,?)
.
93<
br>33
(z?w)(z?w)?7?4i
,2.设复数
z,w
满足
|z|?3
,其中
i
是虚数单位,
z,w
分别表示
z,w
的共轭复数,
则
(z?2w)(z?2w)
的模为
答案:
65
解:由运算性质,
7?4i?(z?w)(z?w)?
|z|
2
?|w|
2
?(zw?zw)
,因为
|z|
与
|w|
为实数,
22
Re(zw?zw)?0
,故
|z
|
2
?|w|
2
?7
,
zw?zw??4i
,又<
br>|z|?3
,所以
|w|
2
?2
,从而
(z?2w
)(z?2w)?|z|
2
?4|w|
2
?2(zw?zw)?9?8?8i
?1?8i
因此,
(z?2w)(z?2w)
的模为
65
.
3.正实
数
u,v,w
均不等于1,若
log
u
vw?log
vw?5
,
log
v
u?log
w
v?3
,则<
br>log
w
u
的值为
答案:
4
5
解:令
log
u
v?a
,
log
v
w?b
,则
log
v
u?
11
,
log
w
v?
,
log
u
vw?log
u
v?log
u
v?log
v
w?a?ab
ab
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5页,共14页
条件化为
a?ab?b?5
,
115
??3
,由此可得<
br>ab?
,因此
ab4
4
log
w
u?log
w
v?log
v
u??
.
5
4.袋子A中装有2张10
元纸币和3张1元纸币,袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从
两个袋子中各取出两张纸
币,则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为
答案:
9
<
br>35
解:一种取法符合要求,等价于从A中取走的两张纸币的总面值
a
小于从B
中取走的两张纸币的总面值
b
,
2
从而
a?b?5?5?10
.故只能从A中国取走两张1元纸币,相应的取法数为
C
3
又此时
b?a?
2
,
?3
.
22
即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有
C
7
?C
3
?18
种取法.因此,所求的概率为
3
?18549
.
??
22
C
5
?C
7
1
0?2135
5.设P为一圆锥的顶点,A,B,C是其底面圆周上的三点,满足
?ABC=90°,M为AP的中点.若AB=1,
AC=2,
AP?
答案:
ar
ctan
2
,则二面角M—BC—A的大小为
2
3
解:
由
?ABC
=90°知,AC为底面圆的直径.设底面中心为O,则
PO?
1
AC?1
,进而
PO?AP
2
?AO
2
?1
.
2
设H为M在底面上的射影,则H为AO的中点.在底面中作
HK?BC
于点K,则由三垂线定理知
MK?BC
,从而
?MKH
为二面角M—
平面ABC,易知
AO?
BC—A的平面角.
1HKHC33
??
,结合
HK
与
AB
平行知,,即
HK?
,这样
2
ABAC44
MH22
ta?nMKH??
.故二面角M—BC—A的大小为
arctan
.
HK33
kx
4
kx
?cos
4
6.设函数
f(x)?sin
,其中
k
是一个正整数.若对任意实数
a
,均有
1010
因
MH?AH?
{f(x)|a?x?a
?1}?{f(x)|x?R}
,则
k
的最小值为
答案:16
k
xkxkxkx
?cos
2
)
2
?2sin
2
co
s
2
10101010
kx12kx3
?1?sin
2<
br>?cos?
5454
5m
?
(m?Z)
时,
f(x)
取到最大值.根据条件知,任意一个长为1的开区间
(a,a?1)
其中当
且仅当
x?
k
5
?
?1
,即
k?5
?. 至少包含一个最大值点,从而
k
解:由条件知,
f(x)?(sin
2
反之,当
k?5
?
时,任意一个开区间均包含
f(x)
的
一个完整周期,此时
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6页,共14页
{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}
成立.综上可知,正整数的最
小值为
[5
?
]?1?16
.
y
2
?1
,左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,过点
F
2
作直线与双曲线C的右半支交于7.双曲线C的方程为
x?
3
2
点
P,Q,使得
?F
1
PQ
=90°,则
?F
1
PQ
的内切圆半径是
答案:
7?1
解:由双曲线的性质知,
F
1
F
2
?2?1?3?4
,
PF
1
?
PF
2
?QF
1
?QF
2
?2
.
222
因
?F
1
PQ
=90°,故
PF?PF?FF
12
12
,因此
PF
1
?PF
2
?2(PF
1
2
?PF
2
2
)?(PF
1
?PF
2
)
2
?2?4
2
?2
2
?27
从而直角
?F
1
PQ
的内切圆半径
是
r?
111
(F
1
P?PQ?F
1
Q)?(PF
1
?PF
2
)?(
QF
1
?QF
2
)?7?1
222
8.设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是1,2,…
,100中的4个互不相同的数,满足
122222
(a
1
?a
2
?a
3
)(a
2
?a
3
?a
4
)
?(a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
3
a
4
)
2
则这样的有序数组
(a
1,a
2
,a
3
,a
4
)
的个数为
答案:40
122222
解:由柯西不等式知,
(a
1
?
a
2
?a
3
)(a
2
?a
3
?a
4
)?(a
1
a
2
?a
2
a
3
?
a
3
a
4
)
2
,等号成立的充分必要条件
是
a
1
a
2
a
3
,即
a
1
,a<
br>2
,a
3
,a
4
成等比数列.于是问题等价于计算满足
{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}?{1,
2,3,
…
??
a
2
a
3
a
4
n
,其中
m,n
为
m
,100}
的等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个数.设等比数列的公
比
q?1
,且
q
为有理数.记
q?
互素的正整数,且
m?n
.
先考虑
n?m
的情况.
a
1
n3
a
1
n
3
33
l?
此时
a
4
?a
1
()?
,注意到互素,故为正整数. 相应地,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
分别等于
m,n<
br>3
3
m
m
m
n
?1
,满足条件并以
q
为公比的等
m
100
3
比数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个数,即为满足不等式
nl?1
00
的正整数
l
的个数,即
[
3
]
.
n
34
3
由于
5?100
,故仅需考虑
q?2,3,,4,<
br>这些情况,相应的等比数列的个数为
23
m
3
l,m
2nl,mn
2
l,n
3
l
,它们均为正整数.这表明,对任意给
定的
q?
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7页,共14页
100
[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20
. 827276464
当
n?m
时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
. <
br>综上可知,共有40个满足条件的有序数组
(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)
.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.
(本题满分16分)在
?ABC
中,已知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB<
br>.求
sinC
的最大值.
b
2
?c
2
?a
2
解:由数量积的定义及余弦定理知,
AB?AC?cbcosA?
. 2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?
b
2
?c
2
同理得,
BA?BC?
,
CA?CB?
.故已知条件化为
22
b
2
?c
2
?a
2
?2(a
2
?c
2
?b
2
)?3(a
2
?b
2
?c
2
)
即
a?2b?3c
.………………………………8分
由余弦定理及基本不等式,得
222
1
222
a?b?(a?2b
2
)
222
a?b?c
3
cosC??
2ab2ab
?
abab2
??2??3b6a3b6a3
2
所以
sinC?1?cosC?
7
.……
…………………………12分
3
等号成立当且仅当
a:b:c?3:6:5
.因此
sinC
的最大值是
7
.……………16分
3
x
)?xf(x)
.
x?1
10.(本题满分20分)
已知
f(x)
是R上的奇函数,
f(1)?1
,且对任意
x?0,均有
f(
求
f(1)f(
1111111
)?f()f()?
f()f()?
…
?f()f()
的值.
1
1
解:设a
n
?f()(n
=1,2,3,…),则
a
1
?f(
1)?1
.
n
1
?
x1
x
k
?
1
,及
f(x)
为奇函数.可知
)?xf(x)
中取
x?
?(k?N*)
,注意到在
f(
?
1
x?1k
x?1k?1
??1
k
11111
f()??f(?)?f()
……………………
5分
k?1kkkk
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
8页,共14页
<
/p>
n?1
a
k?1
1
a
k?1
n?1<
br>11
即.……………………10分
?
,从而
a
n
?
a
1
?
?
?
?
?
a
k
k(n?1
)!
k?1
a
k
k?1
k
因此
?
aa
i?1
50
i101?i
49
11
?
?
?
?
?(99?i)!
i?1
(i?1)!(
100?i)!
i?0
i!
50
1
49
i
1
49
i
11
99
2
98
99?i
…………………
…20分
?(C
99
?C
99
)???2?
?
C
99
?
99!
?
99!
i?0
99!299!i?0
11.(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系
xOy
中,F是
x
轴正半轴上的一个动点.以F为焦点,
O为顶点作抛物线C.设P是第一象
限内C上的一点,Q是
x
轴负半轴上一点,使得PQ为C的切线,且|
PQ|=2.圆
C
1
,C
2
均与直线OP相切于点P,且均与轴相
的坐标,
使圆
C
1
与
C
2
的面积之和取到最小值.
解:设
抛物线C的方程是
y
2
?2px(p?0)
,点Q的坐
标为
切.求点F
(?a,0)(a?0)
,并设
C
1
,C
2的圆心分别为
O
1
(x
1
,y
1
),O
2
(x
2
,y
2
)
.
设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)
,将其与C的方程联立,消去
x
可知
y
2
?2pmy?2pa?0
.
因为PQ与C相切于点P,所以上述方程的判别式为<
br>??4pm?4?2pa?0
,解得
m?
知,点P的坐标为
(x
P
,y
P
)?(a,2pa)
.于是
22
2a
.进而可
p
|PQ|?1?m
2
|y
P
?0|?1?
由|PQ|=2可得
2a
?2pa?2a(p?2a)
.
p
4a
2
?2pa?4
①……………………5分
注意到OP与圆
C
1
,C
2
相切
于点P,所以
OP?O
1
O
2
.设
圆
C
1
,C
2
与
x
轴分别相切于点M,N,则
OO
1,OO
2
分别是
?POM,?PON
的平分线,故
?O
1
OO
2
=90°.从而由射
知
22
y
1
y
2
?O
1
M?O
2
N?O
1
P?O<
br>2
P?OP
2
?x
P
?y
P
?a
2
?2pa
影定理
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
9页,共14页
结合①,就有
y
1
y
2
?a
2
?2p a?4?3a
2
②……………………10分
由
O
1
,P,O
2
共线,可得
y
1
?2pa
2pa?y
2
化简得
?
y
1
?y
P
OPOMy
?
1
?
1
?
1
.
y
P
?y
2
PO
2
O2
Ny
2
y
1
?y
2
?
2
2 pa
y
1
y
2
③……………………15分
22
令
T?y
1
,则圆
C1
,C
2
的面积之和为
?
T
.根据题意,仅需考虑T取 到最小值的情况.
?y
2
根据②、③可知,
T?(y
1
?y
2
)
2
?2y
1
y
2
?
4< br>22
y
1
y
2
?2y
1
y
2
2pa
4(4?3a
2
)(2?a
2
)
222
?(4?3a)?2(4?3a)?
.
4?4a
2
1?a
2
2
作代换
t?1?a
,由于
4t?4?4a
2
? 2pa?0
,所以
t?0
.于是
T?
(3t?1)(t?1)11
?3t??4?23t??4?23?4
.
ttt
3
1
,此时
a?1?t?1?
,因此结合①得, < br>3
3
上式等号成立当且仅当
t?
p1?a
2
??2a
t
1?
1
3
?
3t
3?3
?1
3?3
从而F的坐标为
(
p1
,0)?(,0)
.………………………20分
2
3?3
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
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2016年全国高中数学联合竞赛
加试
22
一、(本题满
分40分)设实数
a
1
,a
2
,
…
,a
2
016
满足
9a
i
?11a
i
2
…。求
,
2015)
(i?1,2,(a?a)(a?a
?11223
)
…
2
(a
2015
?a
2016
)(a
2016
?a<
br>1
2
)
的最大值。
222
解:令
P?(a
1
?a
2
)(a
2
?a
3
)
…
(
a
2015
?a
2016
)(a
2016
?a
1<
br>2
)
,
由已知得,对
i?1,2,
…,2015,均有a
i
?a
i?1
?
2
若
a
2016<
br>?a
1
?0
,则
P?0
。……………10分
211
2
a
i?1
?a
i
2
?1
?0<
br>。
9
2
以下考虑
a
2016
?a
1
?0
的情况。约定
a
2017
?a
1
。由平均不等式得
1
2016
2016
1
2016
1
2016
2
?(a
i
?a
i?1
)?(
?
a
i<
br>?
?
a
i
2
?1
)
?
2
016
i?1
2016
i?1i?1
P
2016
1
2016
1
2016
2
?(
?
a
i
??
a
i
)?a
i
(1?a
i
)
………
………20分
?
2016
i?1
2016
i?1i?1
1
2016
a
i
?(1?a
i
)
2
111<
br>?[]??2016??
?
2016
i?1
2201644
所以
P?
1
4
2016
。………………30分
1
1
P?
,2015)
时,上述不等式等号成立,且有
9a
i
?11a
i
2
…,此时。
(i?1,2,
?1
2
4
2016
1
综上所述,所求最大值为
2016
。………………40
分
4
当
a
1
?a
2
?
…
?a<
br>2016
?
二、(本题满分40分)如图所示,在
?ABC
中,X,Y是直线BC上两点(X,B,C,Y顺次排列),使得
BX?AC?CY?AB
。
设
?ACX
,
?ABY
的外心分别为
O
1
,
O
2
,直线
O
1
O
2
与AB,AC分别
交于点U,V。
证明:
?AUV
是等腰三角形。
证
法一:作
?BAC
的内角平分线交BC于点P,设三角形ACX和ABY的外接圆分别为
?
1
和
?
2
。由内角平
2016年全国高中数学联合竞赛
一试第
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BPABBXAB
??
。由条件可得。从而
CYAC
CP
AC
PXBX?BPABBP
???
PYCY?CPACCP
即
CP?PX?BP?PY
。…………20分 分线的性质知,
故P对圆
?
1
和
?
2
的幂相等
,所以P在
?
1
和
?
2
的根轴上。…………30分
于是
AP?O
1
O
2
,这表明点U,V关于直线AP对称,从而三
角形AUV是等腰三角形。…………40分
证法二:设
?ABC
的外心为
O,连接
OO
1
,
OO
2
。过点
O,O
1
,O
2
,分别作直线BC的垂线,垂足分别为
D,D
1
,D
2
,作于点K。
我们证明。在直角三角形
OKO
1
中,
OO
1
?
O
1
K
sin?O
1
OK
由外心性质,
OO
1
?AC
。又
OD?BC<
br>,故
?O
1
OK??ACB
。
而
D,D
1
分别是BC,CX的中点,所以
DD
1
?CD
1
?CD?<
br>因此
111
CX?BC?BX
。
222
1
BX<
br>O
1
KDD
1
BX
2
OO
1????R
AB
sin?O
1
OKsin?ACBAB
2RCY
这里R是
?ABC
的外接圆半径。同理
OO
2
?R
。…………10分
AC
BXCY
?
由已知条件可得,故
O
O
1
?OO
2
。…………20分
ABAC
<
br>由于
O
1
O
2
?AC
,所以
?AVU?90°
??OO
1
O
2
。同理
?AUV?
90
°
??OO
2
O
1
。…………30分
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
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又因为
OO
1
?OO
2
,故
?OO
1
O<
br>2
??OO
2
O
1
,从而
?AUV??AVU
。这样
AU?AV
,即
?AUV
是
等腰三角形。………………40
分
三、(本题满分50分)给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点
之间用线段相连,
若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值。
解:以这10个点为顶点,所连线段为边。得到一个10阶简单图G。我们证明G的边数不超过15.
设G的顶点为
v
1
,v
2
,
…
,v
10
,共有
k
条边,用
deg(v
i
)
表示顶点
v
i
的度。若
deg(v
i
)?3
对
i?
1,2,
…,10
都成立,则
1
10
1
k?
?<
br>deg(v
i
)??10?3?15
2
i?1
2<
br>假设存在
v
i
满足
deg(v
i
)?4
。不
妨设
deg(v
1
)?n?4
,且
v
1
与
v
2
,
…
,v
n?1
均相邻。于是
v
2<
br>,
…
,v
n?1
之间
没有边,否则就形成三角形,所以,v
1
,v
2
,
…
,v
n?1
之间恰有
n
条边。…………10分
对每个
j(n?2?j?10)
,(否则
设
v
j
与
v
s
,v
t
(2?s?t?n?
1)
相
v
j
至多与
v
2
,
…
,v
n?1
中的一个顶点相邻
邻,则
v
1
,v
s
,v
j
,v
t
就对应了一个空间四边形的四个顶点,这与题设条件矛盾。)
从而
v
2
,
…
,v
n?1
与
v
n
?2
,
…
,v
10
之间的边数至多
10?(n?1)?9?
n
条。…………20分
(9?n)
2
]
条边,因此G的边数 在<
br>v
n?2
,
…
,v
10
这
9?n
个
顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多
[
4
(9?n)
2
(
9?n)
2
25
k?n?(9?n)?[]?9?[]?9?[]?15
……
……30分
444
如图给出的图共有15条边,且满足要求。
综上所述,所求边数的最大值为15.………50分
四、(本题满分50分)设<
br>p
与
p?2
均是素数,
p?3
。数列
{a
n
}
的定义为
a
1
?2
,
a
n
?a
n?1
?
?
?
pa
n?1
?
,
?
?
n
?
n?2,3,
,…。这里
?
x
?<
br>表示不小于实数
x
的最小整数。
证明:对
n?3,4,
…<
br>,p?1
均有
n|pa
n?1
?1
成立。
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
13页,共14页
证明:首先注意,
{a
n
}
是整数数列。
对
n
用数学归纳法。当
n?3
时,由条件知
a
2
?
2?p
,故
pa
2
?1?(p?1)
2
。因
p与
p?2
均是素数,
且
p?3
,故必须
3|p?1。因此
3|pa
2
?1
,即
n?3
时结论成立。 对
3?n?p?1
,设对
k?3,
…
,n?1
成立k|pa
k?1
?1
,此时
?
?
pa
k?1<
br>?
pa
k?1
?1
,
?
?
kk
?
?
故
pa
k?1
?1?p(a
k?2
?
?
k?2
?
)?1?p(a
k?2
?
?
k?1
??
pa
?
pa
k?2
?1
)?1
k
?1
?
(pa
k?2
?1)(p?k?1)
…………10分
k?1
故对
3?n?p?1
,有
p?n?1p?n?1p?n?2
(pa
n?2
?1)??(pa
n?3
?1)
n
?1n?1n?2
p?n?1p?n?2p?3
??
…
?(pa
2<
br>?1)
…………20分 =…
?
n?1n?23
pa
n?1<
br>?1?
因此
pa
n?1
?1?
2n(p?1)
nC
p?n
(p?n)(p?2)
n
由此知(注意
C<
br>p?n
是整数)
n|(p?n)(p?2)(pa
n?1
?1)
①…………40分
因
n?p
,
p
是素数,故
(n,n?
p)?(n,p)?1
,又
p?2
是大于
n
的素数,故
(n
,p?2)?1
,从而
n
与
(p?n)(p?2)
互素,故由①知<
br>n|pa
n?1
?1
,则数学归纳法知,本题得证。………50分
2016年全国高中数学联合竞赛一试第
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