高中数学函数性质分析-高中数学寒假作业写完图片
2015年全国高中数学联赛（B卷）
（一试）
一、填空题（每个小题8分，满分64分
1：已知函数
f(x)?
?
?
a?x
x
?
alog
2
x?[0,3]x?(3,??)
，其中
a
为常数，如果
f(2)?f(4)
，
则
a
的取
值范围是
2：已知
y?f(x)
?x
3
为偶函数，且
f(10)?15
，则
f(?10)
的
值为
3：某房间的室温
T
（单位：摄氏度）与时间
t
（单位：小时）的函数关系为：
T?asint?bcost,t?(0,??)
，
其中
a,b
为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，
则
a?b
的最大值是
4：设正四棱柱
ABCD?A
1
B<
br>1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是单位正方形，
如果二面角
A
1
?BD?C
1
的
大小为
?
，则
AA
1
?
3
5：已知数列?
a
n
?
为等差数列，首项与公差均为正数，且
a
2<
br>,a
5
,a
9
依次成等比数列，则使得
a
1
?a
2
?????a
k
?100a
1
的最小正整数
k
的值是
22
6：设
k
为实数，在平面
直角坐标系中有两个点集
A?(x,y)x?y?2(x?y)
和
??
B?
?
(x,y)kx?y?k?3?0
?
，若
A?B
是单元集
，则
k
的值为
y
2
x
2<
br>??1
上的动点，点
A(1,1),B(0,?1)
，则
PA?PB<
br>的最大值为 7：设
P
为椭圆
43
8：正2015边形
A
1
A
2
???A
2015
内接于单位圆
O
，任取它的两个不同顶点
A
i
,A
j
，
则
OA
i
?OA
j
?1
的概率为
二、解答题
9：（本题满分16分）数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3,
对任意正整数
m,n
，均有
a<
br>m?n
?a
m
?a
n
?2mn
（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）如果存在实数
c
使得
1
?c
对所有正整数
k
都成立，求
c
的取值范围
?
a
i?1
i
k
10：（本题满
分20分）设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4<
br>为四个有理数，使得：
31
?
?
aa1?i?j?4
??
?
?24,?2,?,?,1,3
?
，求
a?a
?<
br>ij
?
28
?
12
?a
3
?a
4<
br>的值
x
2
y
2
11：（本题满分20分）已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点为
F(c,0)
，存在经过点
F
ab
的一条直线
l
交椭圆于
A,B
两点，使得
OA?OB
，求该椭圆的离心率的取值范围
（加试）
1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数
a,b,c
都有： <
br>(a?bc)
2
?(b?ac)
2
?(c?ab)
2
1
?
，并确定等号成立的充要条件
222
(a?b)?(b?c)?(c?a)2
2：（本题满分40分）如图，在等腰
?ABC
中，
AB?AC
，设
I
为其内心，设
D
为
?ABC
内的一个点，满足
I
,B,C,D
四点共圆，过点
C
作
BD
的平行线，与
AD<
br>的延长线交于
E
求证：
CD?BD?CE
2
)
满足： 3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个
正整数组
(a,b,c)(a,b,c?2015
abc?1,bac?1,cab?1
4：（本题满分50分）给定正整数
m
,n(2?m?n)
，设
a
1
,a
2
,???,a
m
是
1,2,???,n
中任取
m
个
互不相同的数构成的一
个排列，如果存在
k?
?
1,2,???,m
?
使得
ak
?k
为奇数，或者存在整数
k,l(1?k?l?m)
，使得
a
k
?a
l
，则称
a
1
,a
2
,???,a
m
是一个“好排列”，试确定所有好排列
的个数。