一对一如何提高高中数学成绩-河北省高中数学优质课
说明：
1.
评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2017 年全国高中数学联合竞赛加试（B
卷）参考答案及评分标准
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确
，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、（本题满分 40 分）设实数
a
,
b
,
c
满足
a b
c
0
．令
d
max{|
a
|, |
b
|, |
c|}
．
证明：
(1 a )(1 b )(1 c ) 1
d
2
．
因此
证明：当
d
1
时，不等式显然成立．
…………………10 分
以下设
0
d
1
．不妨设
a
,
b
不异号，即
ab
0
，那么有
(1
a
)(1
b )
1
a
b
ab
1
a
b
1
c
1
d
0
．
…………………20 分
(1
a )(1
b
)(1
c )
(1
c )(1
c
)
1
c
2
1
c
2
1
d
2
．
…………………40 分
二、（本题满分 40 分）给定正整数
m
，证明：存在正整数
k
，使得可
将正整数集N
+
分拆为
k
个互不相交的子集 A
1
, A
2
, ,
A
k
，每个子集 A
i
中
均不存在 4 个数 a ,b, c
,d （可以相同），满足
ab
?
cd
?
m
．
设a ,b, c ,d ∈ A
i
，则
ab ? cd ≡ i ?
i ? i ? i ? 0(mod m ?1) ，
故 m ? 1 ab ? cd ，而m
? 1 m ，所以在 A
i
中不存在 4 个数a ,b, c ,d ，满足
证明：取
k
?
m
?
1
，令 A
i
?
?
x x ≡ i (mod m ?
1), x ∈ N
+
?
，i ? 1,2, ,m ?1．
…………………20 分
…………………40 分
ab ?
cd ? m ．
三、（本题满分 50 分）如图，点
D
是锐角△
ABC
的外接圆
ω
上弧
BC
的
中点，直线DA 与圆
ω
过点B , C 的切线分别相交于点P , Q
，BQ 与
AC
的
交点为
X
，
CP
与
AB
的交点为
Y
，BQ
与
CP
的交点为
T
．求证：
AT
平分线段
XY
．
（答题时请将图画在答卷纸上）
P
D
A
Y
T
B
X
C
Q
M
1
证明：首先证明YX
∥
BC
，即证
AX
连接BD , CD ．因
为
SS
? ACQ
?
S
?ABC
??
?ACQ
，
SSS
?ABC
? ABP
?ABP
? ．
XC YB
AY
1
AC ? CQ sin ∠ACQ
1
AC ? BC sin ∠ACB
1
AC ? AQ sin
∠CAQ
2
?
2
??
2
， ①
1 AB ? BC sin ∠ABC 1 AB ?
BP sin ∠ABP 1 AB ? AP sin ∠BAP
2
2 2
由题设，BP , CQ 是圆
ω
的切线，所以 ∠ACQ ? ∠ABC , ∠ACB ? ∠ABP ， 又
∠CAQ ?
∠DBC ? ∠DCB ? ∠BAP （注意D 是弧
BC
的中点），于是由①知
所以
AB ? AQ
??
CQ
．
AC ? AP
BP
②
…………………20 分
因为∠CAQ ?
∠BAP ，所以∠BAQ ? ∠CAP ，于是
S
1
?ABQ
2
AB ? AQ sin ∠BAQ AB
? AQ
S
??1 ??
AC
? AP
，
?ACP
2 AC ? AP
sin ∠CAP
S
1
?BCQ
2
BC ? CQ sin ∠BCQ
CQ
而
S
??BP
，
?BCP
??
1
2
BC ? BP sin ∠CBP
SS
?ABQ
??
?CBQ
，
由②，③，④得
SS
?ACP ?BCP
③
④
即
?ABQ
??
S
?ACP
，
SS
?BCP
?CBQ
S
又
故
AXAY
XC
?
YB
．
?ABQ
??
AX
，
S
?ACP
??
AY
，
SS
?BCP
?CBQ
XC YB
…………………40 分
S
设边
BC
的中点为
M
，因为
AXCMBY
XC
?
MB
?
YA
? 1 ，
…………………50 分
所以由塞瓦定理知， AM , BX , CY
三线共点，交点即为
T
，故由
YX
∥
BC
可得，
AT 平分线段
XY
．
四、（本题满分 50 分）设
a
1
,
a
2
, ,
a
20
{1, 2, , 5},
b
1
,
b
2
, ,
b
20
{1, 2, , 10}
，
集合
X
(i , j ) 1
i
j
20, ( a
i
a
j
)(b
i
b
j
)
0
，求
X
的元素个数的最大值．
解：考虑一组满足条件的正整数
(
a
1
,
a
2
,
,
a
20
,
b
1
,
b
2
, ,
b
20
)
．
对
k
1,
2, , 5
，设
a
1
, ,
a
20
中取值为
k
的数有
t
k
个．根据
X
的定义，当
a
i
a
j
2
5
时，
(i
,
j
)
X
，因此至少有
C
t
k 1
2
k
5
个
(i
,
j)
不在
X
中．注意到
t
k
20
，由柯西不
k 1
等式，我们有
5
1
5
2
2
t
k
C
k
5
5
k
t
1
1
2 5
2
5
t
k 1
2
t
k
t
k
1
2
20
20
k 1
k
1
从而
X
的元素个数不超过
C
20
30 190 30
160
．
另一方面，取
a
aa
4 k
3
4k
2
k 1
k 1
5
1 30 ，
24k
j
1
则对任意
i
,
j
(1
i j
20)
，有
( a a )(b b ) ( a a
…………………30 分
a
4k
k ( k 1, 2, ,
5)
，
b
i
6 a
i
(i 1, 2,
, 20)
，
2
)((6 a )
(6 a )) ( a a
) 0
，
i
等号成立当且仅当
a a
i
i i
j
j
i
j
，这恰好发生5C
2
? 30 次．此时
X
的元素个数达到
j i
j
4
C
20
2
30 160
．
综上所述，
X
的元素个数的最大值为 160．
…………………50 分
3