2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
（高二年级）

说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档 ；其他各题的评阅，
请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考
本评分标准适当划分档次 评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．


一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分
．）

1．若对于 任意实数
x
，
|x?a|?|x?1|?2a
恒成立，则实数
a的最小值为
1
3
．
2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职， 若每个村至少1名，则不同的分配方案种数
为 150 ．
3．若
(x< br>2
?x?2)
3
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a
3
x
3
?a
4
x< br>4
?a
5
x
5
?a
6
x
6
，则
a
1
?a
3
?a
5
?
－4 ． < br>a
3
?b
3
4．已知顶角为的等腰三角形的底边长为
a
，腰长为，则的值为 3 ．
ab
2
5．设
a
n
?2
n
,b
n
?5n?1(n?
N
*
，
S?{a
1
,a
2
,,a
2015
}{b
1
,b
2
,,b
a
2015
}
，则集合
S
中的元素的个数
为 504 ．
6．已知点
P
在Rt△
A BC
所在平面内，，
?CAP
为锐角，
|AP|?2
，
AP ?AC?2
，
AP?AB?1
．当
7
．
|AB?AC?A P|
取得最小值时，
tan?CAP?
2
7．已知正三棱锥
P?AB C
的底面的边长为6,侧棱长为
21
，则该三棱锥的内切球的半径为
1 ．
8．函数
f(x)?(1?x?1?x?2)(1?x
2
?1)
的值域为
[2?2,8]
．
x
2
9．已知
F1
,F
2
是椭圆
?y
2
?1
的两个焦点,A,B
分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点
P
在线段
4
11．
AB
上，则
PF
1
?PF
2
的最小值为< br>?
5
p
2
?1
p?1
10．使得和都是完全平方数的 最大质数
p
为 7 ．
2
2

二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）
11．设平面点集
A ?{(x,y)|(y?x)?(y?
(x,y?)A
18
)?0}
，
B?{(x,y)|(x?1)
2
?(y?1)
2
?1}
．若25x
y
P
B2x?y
的最小值． ，求
解 作出平面点集
A
、
B
所表示的平面区域，
AB
表示如图
阴影部分
D
.
xz?
，令
z?2x?y
，则
y?2
?z
表示直线
y?2x?z
的纵截距.
易知：直线
y?2x?z
经过区域
D
中的点
P
时，
z?2x?y
取
得最小值. ……………（5分）
因为点
P
在圆
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
上，设它的坐标为
(1?cos
?
,1?sin
?
)
，结合 图形可知
?
?(,
?
)
.
2
1818
又点
P
在曲线
y?
上，所以有
(1?cos
?
)( 1?sin
?
)?
，
25x25
7
即
sin?
cos
?
?sin
?
?cos
?
??0. ………………………………………（10分）
25
?
O
x

设
sin
?
?cos
?
?t
，则
nisosc
?
(
?
?)1
1
2
t?
2
17
111
，代入 得
(t
2
?1)?t?
解得
t?
或
t??
（舍），
?0
，
225
55
1
即
sin
?
?cos
?
?
. ………………………………………（15分）
5
?
43
结合
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，并注意到
??(,
?
)
，解得
sin
?
?
，
co s
?
??
．
255
2929
所以，点
P
的坐标为
(,)
，
z?2x?y
的最小值为
z
min
?2????1
． ………（20分）
5555


12．设< br>T
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项之积 ，满足
T
n
?1?a
n
,n?
N
*
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
S
n
?T
1
2
?T
2
2
?
解 （1 ）易知
T
1
?a
1
?
a
n?1
?T
n
2
，求证：
a
n?1
?
11
?S
n< br>?a
n?1
?
．
23
1
，
T
n< br>?0,a
n
?1
，且由
T
n?1
?1?a
n ?1
,T
n
?1?a
n
，得
2
T1?a
n?1
a
111
?
n?1
???1
． ……………（5分） ，即
n?1
?
，即
T
n
1?a
n
1?a< br>n?1
1?a
n
1?a
n?1
1?a
n
11 1
??n?1??n?1?n?1
，故
1
1?a
n
1?a
1
1?
2
1n
． ………………………………………（10分）
a
n
?1??
n?1n?1< br>1
（2）由（1）得
T
n
?a
1
a
2
a
n
?
．
n?1
111
一方面，
S
n
?
2
?
2
??

23(n?1)
2
111111
???????a
n?1
?
；……………（15分）
2?33?4(n?1)(n?2)2n?22
所以
另一方面，
11111121
S
n
??????????
．
1113 557132
3
222
2?3?(n?1)???(n?)(n?)n?
44 42222223
2121n?111
?????a
n?1
?
． 又
?
3
n?
2
3n?2n?233
3
11
所 以
a
n?1
??S
n
?a
n?1
?
． ………………………………………（20分）
23

13 ．过直线
x?2y?13?0
上一动点
A
（
A
不在
y
轴上）作抛物线
y
2
?8x
的两条切线，
M,N
为
切点，直线
AM,AN
分别与
y
轴交于点
B,C
．
（1）证明直线
MN
恒过一定点；
（2）证明△
ABC
的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．
证明 （1）设
A(x
0
,y
0
)
，
M(x
1< br>,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
).
抛物线
y
2
?8x
的过点
M(x
1
,y
1
)
的切线方程为
AM
：
yy
1
? 4(x?x
1
)
．而
AM
过
A(x
0
,y
0
)
，故
y
0
y
1
?4(x
0
?x
1
)
①
①式说明 直线
y
0
y?4(x
0
?x)
恒过点
M(x
1
,y
1
)
．
………………………………………（5分）
同理可证得直线
y
0
y?4(x
0
?x)
恒过点
N(x
2
,y
2
)
．
故直线
y
0
y?4(x
0
?x)
过
M,N
两点，则直线
MN
的方程为：
y
0
y?4(x
0
?x)
．
又
x
0
?2y
0
?13< br>，代入
y
0
y?4(x
0
?x)
中，得
y< br>0
(y?8)?4(x?13)
．
所以直线
MN
恒过定点
(13,8)
． ………………………………………（10分）
（2）直线
AM
：
yy
1
?4(x?x
1
)
与
y
轴交于
B(0,
4x
1
)
．
y
1
抛物线
y
2
?8x
的焦点为
F(2,0)
，则
k
BF
4x
1< br>?0
8x
4
y
1
2x
???
1
，又
k
BA
?
，则
k
BA
?k
BF
? ?
2
1
??1
，
y
1
y
1
0?2 y
1
所以
BF?BA
.
同理可证
CF?CA
．所 以
A,B,C,F
四点共圆，且
AF
为直径．
因此，△
ABC
的外接圆恒过定点
F(2,0)
． ………………………………………（15分）
在
AF
和直线
x?2y?13 ?0
垂直时，圆的直径
AF
最小．此时，直线
AF
：
y?0 ??2(x?2)
， 与
x?2y?13?0
联立，求得
A(?1,6)，则
|AF|?35
.
所以，△
ABC
的外接圆的半径的最小值为

35
． ……………………………………（20分）
2