2008年全国高中数学联赛二试试题与答案

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；
2．如果考生的 解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，10 分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形
ABCD
，
?B??D?180
o
，
P
是平面上的 动点，令
f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB
．
（Ⅰ）求证：当
f(P)
达到最小值时，
P,A,B,C
四点共圆；
AE3
BC
（Ⅱ）设
E
是
?ABC
外接圆
O
的
?
，
AB
上一点，满足：
?
?3?1
，
AB2
EC
1
?ECB??ECA
，又
DA,DC
是
eO
的切线，
AC?2
，求
f(P)
的最小值．
2
[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点
P
，有

PA?BC?PC?AB?PB?AC
．
因此
f(P)?PA?BC?PC?AB?PD?CA


?PB?CA?PD?CA
?(PB?PD)?CA
．
因为上面不等式当且 仅当
P,A,B,C
顺次共圆时取等号，因此当
AC
上时， 且仅当
P
在
?ABC
的外接圆且在
?
f(P)?(PB?PD)?CA． …10
分
又因
PB?PD?BD
，此不等式当且仅当
B,P,D
共线且
P
在
因此当且仅当
P
为
?ABC
的外接圆与
BD
的交
BD
上时取等号 ．
点时，
f(P)
取最小值
f(P)
min
?AC?BD< br>．
故当
f(P)
达最小值时，
P,A,B,C
四点共圆． …20分
（Ⅱ）记
?ECB?
?
，则
?ECA?2
?，由正弦定理有
AEsin2
?
3
，从而
??
ABsi n3
?
2
3sin3
?
?2sin2
?
，即
3(3sin
?
?4sin
3
?
)?4sin
?
cos
?
，所以
33?43(1?cos
2
?
)?4co s
?
?0
，
整理得
43cos
2
?
?4 cos
?
?3?0
， …30分
解得
cos
?
?
3
1
或
cos
?
??
（舍去），
2
23
故
?
?30< br>o
，
?ACE?60
o
．
BC
,有
sin(?EAC?30
o
)?(3?1)sin?EAC
，即
?3?1
=
EC
sin?EAC
312?31
sin?EAC?cos?EAC?(3?1)sin?EAC
，整理得
sin?EAC?co s?EAC
，故
2222
1
o
tan?EAC??2?3
， 可得
?EAC?75
， …40分
2 ?3
从而
?E?45
o
，
?DAC??DCA??E?45
o
，
?ADC
为等腰直角三角形．因
AC?2
，则
由已知< br>sin
?
?EAC?30
0
?

CD?1
．
又
?ABC
也是等腰直角三角形，故
BC?2
，
BD
2
?1?2?2?1?2cos135
o
?5
，
BD?5
．
故
f(P)
min
?BD?AC?5?2?10
． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接
BD
交
?ABC
的外接圆
O
于
P
0
点（因为
D
在
eO< br>外，故
P
0
在
BD
上）．
过
A,C,D< br>分别作
P
0
A,P
0
C,P
0
D
的 垂线，两两相交得
?A
1
B
1
C
1
，易知
P
0
在
?ACD
内，从而
在
?A
1
B1
C
1
内，记
?ABC
之三内角分别为
x，y，z，则
?AP
0
C?180??y?z?x
，又因
B
1< br>C
1
?P
0
A
，
B
1
A
1
?P
0
C
，得
?B
1
?y
，同理有
?A
1
?x
，
?C
1
?z
，
所以?A
1
B
1
C
1
∽
?ABC
． …10分
设
B
1
C
1
?
?
BC
，
C
1
A
1
?
?
CA
，
A
1
B
1
?
?
AB
，则对平
面上任意点
M
，有

?
f(P
0
)?
?
(P
0
A?BC?P
0
D?CA?P
0
C?AB)


?P
0
A?B
1
C1
?P
0
D?C
1
A
1
?P
0
C?A
1
B
1


?2S
?A
1
B
1
C
1


?MA?B
1
C
1
?MD?C
1
A
1?MC?A
1
B
1


?
?
(MA?BC?MD?CA?MC?AB)


?
?
f(M)
，
从而
f(P
0
)?f(M)
．
由
M
点的任意性，知< br>P
0
点是使
f(P)
达最小值的点．
由点
P
0
在
eO
上，故
P
0
,A,B,C
四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ），
f(P)
的最小值
2

f(P
0
)?S
?ABC

111
?

?2
?
S
?ABC
，
记
?ECB?
?< br>，则
?ECA?2
?
，由正弦定理有
即
3(3sin
?
?4sin
3
?
)?4sin
?
cos
?
，所以
33?43(1?cos
2
?
)?4cos
?
? 0
，
AEsin2
?
3
，从而
3sin3
??2sin2
?
，
??
ABsin3
?
2
整理 得
43cos
2
?
?4cos
?
?3?0
， …30分
解得
cos
?
?
3
1
或
cos
?
??
（舍去），
2
23

故
?
?30
o
，
?ACE?60
o
．
BC
,有
sin(?EAC?30
o
)?(3?1)sin?EAC
，即
?3?1
=
EC
sin?EAC
312?31
sin?EAC?cos?EAC?(3?1)sin?EAC
，整理得
sin?EAC?co s?EAC
，故
2222
1
o
tan?EAC??2?3
， 可得
?EAC?75
， …40分
2 ?3
所以
?E?45?
，
?ABC
为等腰直角三角形，
AC ?2
，
S
?ABC
?1
，因为
?AB
1
C ?45?
，
B
1
点
由已知
sin
?
?EA C?30
0
?

在
eO
上，?AB
1
B?90?
，所以
B
1
BDC
1为矩形，
B
1
C
1
?BD?1?2?2?1?2cos135? ?5
，
故
?
?
5
，所以
f(P)
min< br>?2?
5
?1?10
． …50分
2
2
[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用
A,B,C
等代表
A,B,C
所对应的复数．
由三角形不等式，对于复数
z
1
,z
2
，有

z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，
当且仅当
z
1
与
z
2
（复向量）同向时取等号．
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
有
PA?BC?PC?AB?PA?BC?PC?AB
，
所以
(A?P)(C?B)?(C?P)(B?A)


?(A?P)(C?B)?(C?P)(B?A)
（1）

??P?C?A?B?C?B?P?A

uuuruuur

?(B?P)(C?A)?PB?AC
，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
从而
PA?BC?PC?AB?PD?CA

uuuruuuruuuruuur

?PB?AC?PD?AC

uuuruuuruuur
?(PB?PD)?AC

uuuruuur
?BD?AC
． （2） …10分
（1）式取等号的条件是
复数
(A?P)(C?B)
与
(C?P)(B?A)

同向，故存在实数
?
?0
，使得

(A?P)(C?B)?
?
(C?P)(B?A)
，
A?PB?A
，
?
?
C?PC?B
A?PB?A
所以
arg()?arg()
，
C?PC?B
uuuruuur
uuu ruuur
向量
PC
旋转到
PA
所成的角等于
BC
旋转到
AB
所成的角，
从而
P,A,B,C
四点共圆．
（2）式取等号的条件显然为
B,P,D
共线且
P
在
BD
上 ．
故当
f(P)
达最小值时
P
点在
?ABC
之外 接圆上，
P,A,B,C
四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
f(P)
min
?BD?AC
．
以下同解法一．

二、（本题满分50分）
设
f(x)
是周期函数，
T
和1是
f(x)
的周期且
0?T?1
．证明 ：
（Ⅰ）若
T
为有理数，则存在素数
p
，使
1
是
f(x)
的周期；
p
（Ⅱ）若
T
为无理数，则存在各项均 为无理数的数列
{a
n
}
满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n?1,2,???)
，且每个
a
n
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期．

[证] （Ⅰ）若
T
是有理数，则存在正整数
m, n
使得
T?
n
且
(m,n)?1
，从而存在整数
a ,b
，
m
使得

ma?nb?1
．
于是
1ma?nb
??a?bT?a?1?b?T

mm
是
f(x)
的周期． …10分
又因
0?T?1
，从而
m?2
．设
p
是
m
的素因子，则
m?pm
?
，
m
?
?N< br>?
，从而
11

?m
?
?

pm
是
f(x)
的周期． …20分
（Ⅱ）若
T
是无理数，令
1

a
1
?1?
??
T
，
?
?
T< br>?
?
则
0?a
1
?1
，且
a
1是无理数，令
??

a
2
?1?
?
1
?
a
1
，
?
a
1
?
……
??

a
n?1
?1?
?
1
?
a
n
，
?
a
n
?
……． …30分
由数学归纳法易知
a
n
均为无理数且
0?a
n< br>?1
．又
即
a
n?1
?1?
?
?
1
?
1
?
1
?
?
??
?1
，故1?a
n
?
??
a
n
，
a
n
?
a
n
??
a
n
?
?
1
?
?
a
n
?a
n
．因此
{a
n
}
是递减数列． …40分
?
a< br>n
?
1
最后证：每个
a
n
是
f(x)
的周期．事实上，因1和
T
是
f(x)
的周期，故
a
1< br>?1?
??
T
亦
?
?
T
?
?
??
是
f(x)
的周期．假设
a
k
是
f(x)< br>的周期，则
a
k?1
?1?
?
1
?
a
k
也是
f(x)
的周期．由数学归纳
?
a
k
?< br>法，已证得
a
n
均是
f(x)
的周期． …50分

三、（本题满分50分）
设
a
k
?0
，
k?1,2,L,2008
．证明：当且仅当
?
a
k
? 1
时，存在数列
{x
n
}
满足以下条件：
k?1
2008
（ⅰ）
0?x
0
?x
n
?x
n?1
，
n?1,2,3,L
；
（ⅱ）
limx
n
存在； < br>n??
2008
k?1
2007
k?0
（ⅲ）
xn
?x
n?1
?
?
a
k
x
n?k?
?
a
k?1
x
n?k
，
n?1,2,3,L
．
[证] 必要性：假设存在
{x
n
}
满足（ⅰ）， （ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

x
n
?x
n?1
?
?
a
k
(x< br>n?k
?x
n?k?1
)
，
n?N
*
，
k?1
2008
其中
x
0
?0
．
将上式从第1项加到第
n
项，并注意到
x
0
?0
得

x
n
?a
1
(x
n?1
? x
1
)?a
2
(x
n?2
?x
2
)?L? a
2008
(x
n?2008
?x
2008
)
． …10分
由（ⅱ）可设
b?limx
n
，将上式取极限得
n??

b?a
1
(b?x
1
) ?a
2
(b?x
2
)?L?a
2008
(b?x
2 008
)


?b?
?
a
k
?(a
1
x
1
?a
2
x
2
?L
?a
2008
x
2008
)

k?1
2008
?b?
?
a
k
，
k?1
2008
因此
?
a
k
?1
． …20分
k?1
2008
充分性：假设
?
a
k
? 1
．定义多项式函数如下：
k?1
2008

f (s)??1?
?
a
k
s
k
，
s?[0,1]，
k?1
2008
则
f(s)
在[0,1]上是递增函数，且
f(0)??1?0
，
f(1)??1?
?
a
k
? 0
．
k?1
2008
因此方程
f(s)?0
在[0,1] 内有唯一的根
s?s
0
，且
0?s
0
?1
，即f(s
0
)?0
． …30分
k
下取数列
{x< br>n
}
为
x
n
?
?
s
0
，< br>n?1,2,L
，则明显地
{x
n
}
满足题设条件（ⅰ），且
k?1
n
n?1
s?s
00

x
n
?
?
s?
．
1?s
0
k? 1
n
k
0
s?ss
n?1
因
0?s
0?1
，故
lims
0
?0
，因此
limx
n< br>?lim
00
?
0
，即
{x
n
}
的 极限存在，满
n??
n??n??
1?s1?s
00
足（ⅱ）． …40分
k
最后验证
{x
n
}
满足（ⅲ），因
f (s
0
)?0
，即
?
a
k
s
0
? 1
，从而
k?1
2008
n?1

xn
?x
n?1
?s?(
?
as)s?
?
as< br>n
0
k
k0
n
0
k?1k?1
200820 08
n?k
k0
?
?
a
k
(x
n?k?x
n?k?1
)
．
k?1
2008
综上，存在数列
{x
n
}
满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分