2017北京高中数学竞赛题-人教版高中数学修订
2019年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8
分和0分两档；第9小
题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档
次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步
骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．设集合<
br>E?
?
x|sinx|?
2．已知函数
f(x)?
?
?
1
?
4
?
?
,x?(?,)
?
，则E的
真子集的个数为 15 ．
233
?
6x?b9
的最大值为，则实数
b?
5
．
4
x
2
?4
3．若
|lg
?
|?1<
br>，则使函数
f(x)?sin(x?
?
)?cos(x?
?
)
为奇函数的
?
的个数为
3 ．
4．在△
ABC
中，已知
?B
的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，
BK?
32
，则
2
△
ABC
的面积为
157
16
．
*
5．数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
2
?3
，且
a
n?2
?|a
n?1
|?a
n
(n?N)
．记
{a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，则
S
100
?
89 ．
6．已知
OA?a
，
OB?b
，过
O
作直线
AB
的垂线，垂足为
P
．若
|a|?
3,|b|?3
，
?AOB?
?
6
，
OP?xa?yb，则
x?y?
-2 ．
7．已知实数
x,y,z
满足
xyz?32
，
x?y?z?4
，则
|x|?|y|?|z|
的最小值为
12 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定
的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于
58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为
26 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20
分）
9．已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图象经过点
(?2,0)
，
且不等式
2
2x?f(x)?
1
2
x?
2
对一切实数
x
都成立．
2
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）若对一切
x?
[?1,1]
，不等式
f(x?t)?f()
恒成立，求实数
t
的取
值范围．
解（1）由题设知，
4a?2b?c?0
．
①
令
2x?
x
2
1
2
1
x?2
，解得
x?2
，由题意可得
2?2?f(2)??2
2
?2
，即
22
4?f(2)?4
，所以
f(2)?4
，即
4a?
2b?c?4
． ②
由①、②可得
c?2?4a,b?1
．
……………………4分
又
f(x)?2x
恒成立，即
ax?(b?2)x?
c?0
恒成立，所以
a?0
，且
2
??(b?2)
2
?4ac?0
，即
(1?2)
2
?4a(2?4a)?0
，所以<
br>a?
因此函数
f(x)
的解析式为
f(x)?
1
，从而
c?2?4a?1
．
4
1
2
x?x?1
． ……………………8分
4
2
x
11
?
x
?
x
（2）由
f
(x?t)?f()
得
(x?t)
2
?(x?t)?1?
??
??1
，
2
44
?
2
?
2
整理得
(x?2t)(x?
当
?2t??
2t?8
)?0
． 3
2t?82t?8
即
t?2
时，
?2t?x??
，此
不等式对一切
x?[?1,1]
都成立
33
t??1
?
?<
br>?2
的充要条件是
?
2t?8
，此不等式组无解．
??1<
br>?
3
?
2t?8
2
当
?2t??
即
t?2
时，
(x?2t)?0
，矛盾． ……………………12分
3
2t?82t?8
当
?2t??
即
t?2
时，
?
?x??2t
，此不等式对一切
x?[?1,1]
都成立
33
?2t?8
51
?
???1
的充要条件是
?
，解得
??t??
．
3
22
?
?
?2t?1
综合可知
，实数
t
的取值范围是
?
?
10．已知数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
2
?
1<
br>??
5
,?
?
． ……………………16分
2
??
2
1
，且
4
a
n?1
?
(n?1)a
n
n?a
n
(n
?
2,3,4,
?
)
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）求证：对一切
n?N
，有
*
?
a
k
2
?
k?1
n
7
．
6
解 （1）由已知，对
n?2
有 1
a
n?1
?
n?a
n
n1
??
，
(n?1)a
n
(n?1)a
n
n?1
两边同除以n，得
111
??
，
na
n?1
(n?1)a
n
n(n?1)
即
1111
???(?)
， ……………………5分
na
n?1
(n?1)a
n
n?1n
n?1n?1
?1
?
11
?
1
?
1
于是，
?
?
??????(1?)
，
??
?
?
ka(k?1)
ak?1kn?1
?
k?2
?
k?2
?
k?1k
?
即
111
???(1?),n?2
，
(n?1)a
n<
br>a
2
n?1
1113n?2
1
??(1?)?
，a
n
?,n?2
．
(n?1)a
n
a
2
n?1n?1
3n?2
所以
又
n?1
时也成立，故
a
n
?
（2）当
k
?2
，有
2
a
k
?
1
,n?N
*
．
……………………10分
3n?2
11111
??(?)
，………………15分
(3k?2
)
2
(3k?4)(3k?1)33k?43k?1
所以
n?2
时，
有
?
a
k?1
n
2
k
1
?
11
1111
?
2
?1?
?
a
k
?1?
?(?)?(?)?
?
?(?)
?
3
?
255
83n?43n?1
?
k?2
1
?
11
?
17?1?
?
?
?
?1??.
3
?
23
n?1
?
66
n
又
n?1
时，
a
1
?1?
故对一切
n?N
，有
*
2
7
.
6
?
a
k
2
?
k?1
n
7
． ……………………20分
6
11．设
P?x?6x?11x?3x?31
，求使
P
为
完全平方数的整数
x
的值．
解
P?(x?3x?1)?3(x?10)
．
所以，当
x?10
时，
P?131
是完全平方数．
……………………5分
下证没有其它整数
x
满足要求．
（1）当
x?10
时，有
P?(x?3x?1)
，
又P?(x?3x)?2x?3x?31?0
，所以
P?(x?3x)
，
从而
(x?3x)?P?(x?3x?1)
．
又
x?Z
，所以此时
P
不是完全平方数．
……………………10分
（2）当
x?10
时，有
P?(x?3x?1)<
br>．令
P?y,y?Z
，
2
则
|y|?|x?3x?1|，即
|y|?1?|x?3x?1|
，
2
222
222222222
22
22
432
2
所以
y?2|y|?1?(x?3x?1)
，
即
?3(x?10)?2|x?3x?1|?1?0
．
解此不等式，得
x的整数值为
?2,?1,0,?3,?4,?5,?6
，但它们对应的
P
均不是完全平
方数．
综上所述，使
P
为完全平方数的整数
x
的值为10.
……………………20分
2
222